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4.2 法曲率

§4．2 法曲率
上一节所定义的第二基本形式直观地描述了曲面在每一点处的弯曲状况．自然，曲面上的曲线受到曲面的制约，因而曲面的弯曲情况能够借助于落在它上面的曲线的弯曲性质来了解，而且曲面上曲线的曲率（特别是本节要介绍的曲线的法曲率）与曲面的第二基本形式有关．作为例子，很明显，直线是不可能放到球面上去的，即在球面上不存在曲率为零的曲线．
设曲面 $S$ 的参数方程是 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ ，它上面的曲线 $C$ 可以用参数方程

$$
\begin{equation*}
u=u(s), \quad v=v(s) \tag{2.1}
\end{equation*}
$$

来表示，假定这里的 $s$ 是曲线的弧长参数．作为空间 $E^3$ 中的曲线， $C$ 的参数方程将是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u(s), v(s)), \tag{2.2}
\end{equation*}
$$

因此它的单位切向量是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\alpha}(s)=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{~d} s}=\boldsymbol{r}_u \frac{\mathrm{~d} u(s)}{\mathrm{d} s}+\boldsymbol{r}_v \frac{\mathrm{~d} v(s)}{\mathrm{d} s}, \tag{2.3}
\end{equation*}
$$

曲率向量是

$$
\begin{align*}
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}}{\mathrm{~d} s}=\kappa \boldsymbol{\beta}= & \boldsymbol{r}_{u u}\left(\frac{\mathrm{~d} u(s)}{\mathrm{d} s}\right)^2+2 \boldsymbol{r}_{u v} \frac{\mathrm{~d} u(s)}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} v(s)}{\mathrm{d} s}+\boldsymbol{r}_{v v}\left(\frac{\mathrm{~d} v(s)}{\mathrm{d} s}\right)^2 \\
& +\boldsymbol{r}_u \frac{\mathrm{~d}^2 u(s)}{\mathrm{d} s^2}+\boldsymbol{r}_v \frac{\mathrm{~d}^2 v(s)}{\mathrm{d} s^2} \tag{2.4}
\end{align*}
$$

因此曲线 $C$ 的曲率向量在曲面的法向量 $n$ 上的正交投影是

$$
\begin{align*}
\kappa_n & =\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{n}=\kappa(\boldsymbol{\beta} \cdot \boldsymbol{n}) \\
& =L\left(\frac{\mathrm{~d} u(s)}{\mathrm{d} s}\right)^2+2 M \frac{\mathrm{~d} u(s)}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} v(s)}{\mathrm{d} s}+N\left(\frac{\mathrm{~d} v(s)}{\mathrm{d} s}\right)^2 \tag{2.5}
\end{align*}
$$

从上面的表达式可以知道，$\kappa_n$ 只依赖于曲面在该点的第二类基本量 $L, M, N$ ，以及曲线 $C$ 的单位切向量 $\left(\frac{\mathrm{d} u(s)}{\mathrm{d} s}, \frac{\mathrm{~d} v(s)}{\mathrm{d} s}\right)$ ，通常把 $\kappa_n$ 称为曲面 $S$ 上曲线 $C$ 的 法曲率．由此可见，如果曲面 $S$ 上有两条曲线 $C_1, C_2$ 在点 $p$ 处有相同的单位切向量，则这两条曲线在点 $p$ 有相同的法曲率．若命 $\angle(\beta, n)=\theta$ 是曲线 $C$ 的主法向量 $\beta$ 与曲面 $S$ 的法向量 $n$ 之间的夹角，则有

$$
\begin{equation*}
\kappa_n=\kappa \cos \theta . \tag{2.6}
\end{equation*}
$$

从（2．6）式还能得到一个有趣的事实：在曲面 $S$ 上考虑经过点 $p \doteq \boldsymbol{r}(u(s), v(s))$ ，并且在点 $p$ 处彼此相切的所有曲线，则这些曲线在点 $p$

![图片](/uploads/2026-06/0ade26.jpg)
 
的曲率中心都落在与该切方向垂直的平面（这些曲线的公共的法平面）内直径为 $1 /\left|\kappa_n\right|$ 的圆周上（参看图4．2）．实际上，根据（2．6）式，

$$
\frac{1}{\kappa}=\frac{1}{\kappa_n} \cos \theta,
$$

因此曲线 $C$ 的曲率中心是

$$
\boldsymbol{c}=\boldsymbol{r}(u(s), v(s))+\frac{1}{\kappa} \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{r}(u(s), v(s))+\frac{1}{\left|\kappa_n\right|} \cos \theta \cdot \boldsymbol{\beta}
$$

所以

$$
\begin{equation*}
|c-r(u(s), v(s))|^2=\frac{1}{\kappa_n^2} \cos ^2 \theta \tag{2.7}
\end{equation*}
$$

由于曲面上在一点相切的曲线在该点有相同的法曲率，所以法曲率的概念可以抽象出来作为曲面上在一点的切方向的函数．事实上，因为 $s$ 是曲线 $\boldsymbol{r}(s)=\boldsymbol{r}(u(s), v(s))$ 的弧长参数，所以

$$
\begin{aligned}
\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(s)\right|^2 & =E\left(\frac{\mathrm{~d} u(s)}{\mathrm{d} s}\right)^2+2 F \frac{\mathrm{~d} u(s)}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} v(s)}{\mathrm{d} s}+G\left(\frac{\mathrm{~d} v(s)}{\mathrm{d} s}\right)^2 \\
& =1
\end{aligned}
$$

即

$$
\mathrm{d} s^2=E(\mathrm{~d} u)^2+2 F \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+G(\mathrm{~d} v)^2=\mathrm{I} .
$$

代入（2．5）式得到

$$
\kappa_n=\frac{L(\mathrm{~d} u)^2+2 M \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+N(\mathrm{~d} v)^2}{\mathrm{~d} s^2}=\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{I}} .
$$

上述表达式的分子和分母都是（ $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ ）的二次齐次多项式，因此它只是 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} v}$ 的函数．

定义 2.1 设正则曲面 $S$ 的参数方程是 $r=\boldsymbol{r}(u, v)$ ，I 和 II 分别是它的第一基本形式和第二基本形式，则

$$
\begin{equation*}
\kappa_n=\frac{\mathbb{I}}{\mathrm{I}}=\frac{L(\mathrm{~d} u)^2+2 M \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+N(\mathrm{~d} v)^2}{E(\mathrm{~d} u)^2+2 F \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+G(\mathrm{~d} v)^2} \tag{2.8}
\end{equation*}
$$

称为曲面 $S$ 在点 $(u, v)$ 处沿切方向 $(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)$ 的法曲率．
于是，曲面 $S$ 在点 $(u, v)$ 处沿切方向 $(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)$ 的法曲率恰好等于曲面 $S$ 上经过点 $(u, v)$ 、以 $(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)$ 为切方向的曲线在该点的法曲率。曲面 $S$ 在点 $(u, v)$ 处由切方向（ $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ ）和法向量 $\boldsymbol{n}(u, v)$ 决定了一个平面，称为曲面 $S$ 在该点处由切方向 $(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)$ 确定的 法截面．法截面与曲面 $S$ 本身相交成一条平面曲线，它是曲面 $S$ 上经过点 $(u, v)$ 、以（ $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ ）为切方向的一条曲线，称为曲面在该点的一条 法截线．根据前面的讨论，曲面 $S$ 上所有在点 $(u, v)$ 处与法截线相切的曲线在该点有相同的法曲率，也就是法截线在该点处的法曲率．由于法截线是曲面 $S$ 上经过点 $(u, v)$ 、以 $(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)$ 为切方向的平面曲线，它以曲面在该点的法向量 $\boldsymbol{n}$ 为法向量，也就是它的主法向量 $\boldsymbol{\beta}= \pm \boldsymbol{n}$ ．换言之，在（2．6）式中的 $\theta=0$ 或 $\pi$ ，所以

$$
\begin{equation*}
\kappa=\left|\kappa_n\right| . \tag{2.9}
\end{equation*}
$$

如果规定曲面 $S$ 在点 $(u, v)$ 处由切方向 $(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)$ 确定的法截面以切方向（ $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ ）到曲面的法向量 $n(u, v)$ 的旋转方向为正定向，那么上面的结果还可以更确切地叙述为：

定理 2.1 曲面 $S$ 在点 $(u, v)$ 处沿切方向 $(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)$ 的法曲率 $\kappa_n$ ，等于以曲面 $S$ 在该点处由切方向（ $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ ）确定的法截线作为相应的有向法截面上的平面曲线的相对曲率 $\kappa_r$ ．

在直观上，可以把法截面想象为与曲面在一点处垂直的＂刀＂，法截线就是用这把刀在曲面上切割出来的剖面线．法曲率恰好是曲面在该点沿相应的切方向的剖面线的相对曲率，这正是 Euler 研究曲面形状的基本出发点。下一节要讲的 Euler 公式就是把法曲率作为切方向的函数具体地写出来。

例题 求平面，圆柱面和球面的法曲率．
解 参看 §4．1的例题．平面的第二基本形式是 $\mathrm{II}=0$ ，因此平面上在任意一点处沿任意一个切方向的法曲率 $\kappa_n$ 都是零。很明显，平面上沿任意一个切方向的法截线都是直线。

圆柱面

$$
\boldsymbol{r}=\left(a \cos \frac{u}{a}, a \sin \frac{u}{a}, v\right)
$$
的第一基本形式和第二基本形式分别是

$$
\mathrm{I}=(\mathrm{d} u)^2+(\mathrm{d} v)^2, \quad \mathbb{I}=-\frac{1}{a}(\mathrm{~d} u)^2
$$

所以法曲率是

$$
\kappa_n=-\frac{(\mathrm{d} u)^2}{a\left((\mathrm{~d} u)^2+(\mathrm{d} v)^2\right)}
$$

若用 $\theta$ 表示切方向（ $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ ）与 $u$－曲线（圆柱面的平行圆）切方向的夹角，则

$$
\cos \theta=\frac{\mathrm{d} u}{\sqrt{(\mathrm{~d} u)^2+(\mathrm{d} v)^2}}
$$

所以

$$
\begin{equation*}
\kappa_n=-\frac{1}{a} \cos ^2 \theta . \tag{2.10}
\end{equation*}
$$

这意味着，圆柱面在一点的法曲率 $\kappa_n$ 在 $\theta=0$ 时取最小值 $-\frac{1}{a}$ ；在 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时取最大值 0 ．负号说明非直线的法截线（它是平面与圆柱面的交线，因而是一个椭圆）总是朝圆柱面的法向量 $n$ 的相反的方向弯曲的．换言之，圆柱面的法向量

$$
n=\left(\cos \frac{u}{a}, \sin \frac{v}{a}, 0\right)
$$

是曲面的外法向量，即曲面是朝 $-n$ 的方向弯曲的．
根据定理 1．2，球面的法曲率是常数

$$
\kappa_n=-\frac{1}{R},
$$

这里球面的法向量 $n=r$ 是外法向量．很明显，球面的法截线是半径为 $R$ 的大圆周．由于 $\kappa_n=\kappa \cos \theta$ ，因此球面上的曲线的曲率永远不会是零．

上面的例题提示我们应该把曲面在任意一个固定点处沿各个切方向的法曲率表示成切方向的方向角的函数。为此，假定曲面 $S: ~ \boldsymbol{r}= \boldsymbol{r}(u, v)$ 在点 $\boldsymbol{r}\left(u_0, v_0\right)$ 是正交的，于是曲面 $S$ 在该点的第一基本形式和第二基本形式分别是

$$
\mathrm{I}=E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2, \quad \mathbb{I}=L(\mathrm{~d} u)^2+2 M \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+N(\mathrm{~d} v)^2
$$

所以曲面 $S$ 在该点的法曲率是

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
\kappa_n= & \frac{\mathbb{I}}{\mathrm{I}}=\frac{L(\mathrm{~d} u)^2+2 M \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+N(\mathrm{~d} v)^2}{E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2} \\
= & \frac{L}{E}\left(\frac{\sqrt{E} \mathrm{~d} u}{\sqrt{E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2}}\right)^2 \\
& +\frac{2 M}{\sqrt{E G}} \frac{\sqrt{E} \mathrm{~d} u}{\sqrt{E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2}} \frac{\sqrt{G} \mathrm{~d} v}{\sqrt{E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2}} \\
& +\frac{N}{G}\left(\frac{\sqrt{G} \mathrm{~d} v}{\sqrt{E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2}}\right)^2 .
\end{aligned}\\
&\text { 用 } \theta \text { 记切方向 }(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v) \text { 与 } u \text {－曲线切方向的夹角，则 }\\
&\cos \theta=\frac{\sqrt{E} \mathrm{~d} u}{\sqrt{E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2}}, \quad \sin \theta=\frac{\sqrt{G} \mathrm{~d} v}{\sqrt{E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2}},
\end{aligned}
$$

因此

$$
\begin{aligned}
\kappa_n(\theta) & =\frac{L}{E} \cos ^2 \theta+\frac{2 M}{\sqrt{E G}} \cos \theta \sin \theta+\frac{N}{G} \sin ^2 \theta \\
& =\frac{L}{E} \frac{1+\cos 2 \theta}{2}+\frac{M}{\sqrt{E G}} \sin 2 \theta+\frac{N}{G} \frac{1-\cos 2 \theta}{2} \\
& =\frac{1}{2}\left(\frac{L}{E}+\frac{N}{G}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{L}{E}-\frac{N}{G}\right) \cos 2 \theta+\frac{M}{\sqrt{E G}} \sin 2 \theta
\end{aligned}
$$

命

$$
\begin{equation*}
A=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\left(\frac{L}{E}-\frac{N}{G}\right)\right)^2+\left(\frac{M}{\sqrt{E G}}\right)^2}, \tag{2.11}
\end{equation*}
$$

则当 $A \neq 0$ 时可以引进角 $\theta_0$ ，使得

$$
\begin{equation*}
\cos 2 \theta_0=\frac{1}{2 A}\left(\frac{L}{E}-\frac{N}{G}\right), \quad \sin 2 \theta_0=\frac{M}{A \sqrt{E G}}, \tag{2.12}
\end{equation*}
$$

于是

$$
\begin{aligned}
\kappa_n(\theta) & =\frac{1}{2}\left(\frac{L}{E}+\frac{N}{G}\right)+A\left(\cos 2 \theta \cos 2 \theta_0+\sin 2 \theta \sin 2 \theta_0\right) \\
& =\frac{1}{2}\left(\frac{L}{E}+\frac{N}{G}\right)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{equation*}
+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\left(\frac{L}{E}-\frac{N}{G}\right)\right)^2+\left(\frac{M}{\sqrt{E G}}\right)^2} \cos 2\left(\theta-\theta_0\right) . \tag{2.13}
\end{equation*}
$$

由此可见，当 $\theta=\theta_0$ 时，法曲率 $\kappa_n(\theta)$ 取最大值：

$$
\begin{equation*}
\kappa_1=\frac{1}{2}\left(\frac{L}{E}+\frac{N}{G}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\left(\frac{L}{E}-\frac{N}{G}\right)\right)^2+\left(\frac{M}{\sqrt{E G}}\right)^2} \tag{2.14}
\end{equation*}
$$

当 $\theta=\theta_0+\pi / 2$ 时，法曲率 $\kappa_n(\theta)$ 取最小值：

$$
\begin{equation*}
\kappa_2=\frac{1}{2}\left(\frac{L}{E}+\frac{N}{G}\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\left(\frac{L}{E}-\frac{N}{G}\right)\right)^2+\left(\frac{M}{\sqrt{E G}}\right)^2} \tag{2.15}
\end{equation*}
$$

当 $A=0$ 时，法曲率 $\kappa_n(\theta)$ 与角 $\theta$ 无关，即

$$
\kappa_n(\theta)=\frac{1}{2}\left(\frac{L}{E}+\frac{N}{G}\right)
$$

无论如何，上面的结果可以叙述成下列定理．
定理 2.2 正则参数曲面在任意一个固定点，其法曲率必定在两个彼此正交的切方向上分别取最大值和最小值．

定义2．2 正则参数曲面在任意一个固定点，其法曲率取最大值和最小值的方向称为曲面在该点的 主方向，相应的法曲率称为曲面在该点的 主曲率．

在正交参数曲线网下，主方向与 $u$－曲线的夹角是 $\theta_0$ 和 $\theta_0+\pi / 2$ ，其中 $\theta_0$ 是由（2．12）式给出的．主曲率 $\kappa_1, \kappa_2$ 分别由（2．14）和（2．15）式给出．根据（2．13）式，沿方向角为 $\theta$ 的切方向的法曲率是

$$
\begin{equation*}
\kappa_n(\theta)=\kappa_1 \cos ^2\left(\theta-\theta_0\right)+\kappa_2 \sin ^2\left(\theta-\theta_0\right) . \tag{2.16}
\end{equation*}
$$

通常把公式（2．16）称为关于法曲率的 Euler 公式．
在正则参数曲面的任意的参数系下，如何求主方向和主曲率？这是一个重要的问题．我们将在下面两节解决这个问题．为此，需要把曲面的主方向和主曲率解释为曲面的 Weingarten 映射（见 §4．3）的特征向量和特征值，从而获得更加丰富的几何内容．在本节的最后，我们引进曲面的渐近方向和渐近曲线的概念．

定义 2.3 在曲面 $S$ 上一点，其法曲率为零的切方向称为曲面 $S$在该点的 渐近方向．如果曲面 $S$ 上一条曲线在每一点的切方向都是曲面在该点的渐近方向，则称该曲线是曲面 $S$ 上的渐近曲线．

在一个固定点 $(u, v)$ ，渐近方向 $(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)$ 是二次方程

$$
\begin{equation*}
L(\mathrm{~d} u)^2+2 M \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+N(\mathrm{~d} v)^2=0 \tag{2.17}
\end{equation*}
$$

的解．因此，曲面在点 $(u, v)$ 有实渐近方向的充分必要条件是

$$
\begin{equation*}
L N-M^2 \leq 0 . \tag{2.18}
\end{equation*}
$$

当 $L N-M^2<0$ 时有两个不同的实渐近方向，它们是

$$
\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} v}=\frac{-M \pm \sqrt{M^2-L N}}{L}=\frac{N}{-M \mp \sqrt{M^2-L N}} .
$$

当 $L N-M^2=0$ 时有一个实渐近方向（或者认为两个实渐近方向重合在一起），它是

$$
\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} v}=-\frac{M}{L}=-\frac{N}{M} .
$$

把 $(u, v)$ 看作动点，则方程（2．17）是渐近曲线的微分方程．特别是，如果在曲面上条件 $L N-M^2<0$ 处处成立，则在曲面上存在两个处处线性无关的渐近方向场．于是，根据第三章的定理4．1，在曲面上存在由渐近曲线构成的参数曲线网．

定理 2.3 曲面上的参数曲线网是渐近曲线网的充分必要条件是 $L=N=0$ 。

证明 如果曲面上的参数曲线网是渐近曲线网，即 $u$－曲线和 $v$－曲线都是渐近曲线，于是 $(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)=(1,0)$ 和 $(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)=(0,1)$ 都是渐近方向．将它们分别代入（2．17）式，便得到 $L=N=0$ ．反过来，如果 $L=N=0$ ，则方程（2．17）成为

$$
2 M \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=0
$$

它的解是 $\mathrm{d} v=0$ 和 $\mathrm{d} u=0$ ，即 $u$－曲线和 $v$－曲线都是渐近曲线．证毕．
定理 2.4 曲面上的一条曲线是渐近曲线，当且仅当或者它是一条直线，或者它的密切平面恰好是曲面的切平面．

证明 根据公式（2．6），曲面上的一条曲线的法曲率是

$$
\kappa_n=\kappa \cos \theta,
$$

其中 $\theta$ 是曲线的主法向量 $\beta$ 与曲面的法向量 $n$ 之间的夹角．因此， $\kappa_n=0$ 的充分必要条件是 $\kappa=0$ 或者 $\cos \theta=0$ ．如果处处有 $\kappa=0$ ，则该曲线是直线．如果在曲线上有一点使 $\kappa \neq 0$ ，则必定有 $\cos \theta=0$ ，故 $\theta=\pi / 2$ ，于是 $\boldsymbol{\beta}$ 与曲面的法向量 $\boldsymbol{n}$ 垂直，即曲线的密切平面与曲面相切．证毕．

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