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4.3 Weingarten 映射和主曲率

§4．3 Weingarten 映射和主曲率
本节首先介绍 Gauss 映射，然后把 Gauss 映射的切映射与曲面的第二基本形式联系起来．这样，Gauss 映射及其切映射成为研究曲面弯曲状况的强有力的工具．

设 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ 是一块正则参数曲面，它在每一点处有一个确定的单位法向量 $n(u, v)$ ．将 $n(u, v)$ 在空间 $E^3$ 中平行移动到坐标原点 $O$ ，那么它的终点便落在 $E^3$ 中的单位球面 $\Sigma$ 上，于是得到从曲面 $S$ 到 $\Sigma$的一个可微映射 $g: S \rightarrow \Sigma$ ，使得

$$
\begin{equation*}
g(\boldsymbol{r}(u, v))=\boldsymbol{n}(u, v) . \tag{3.1}
\end{equation*}
$$

这个映射称为 Gauss 映射．很明显，当曲面 $S$ 弯曲得比较厉害时，则当曲面 $S$ 上的点变动时其相应的法向量的变化就比较大，于是法向量场在 $\Sigma$ 上所扫过的面积与曲面上的点扫过的面积之比就比较大（参看图4．3）．这正是 Gauss 观察曲面形状的出发点．据说，Gauss 的灵感来自他担任天文台台长时从事大地测量的研究工作．

![图片](/uploads/2026-06/34b068.jpg)
 
 在第三章 §3．5 我们已经提到过，两个曲面之间的可微映射在对应点的切空间之间诱导出一个线性映射，称为该映射的切映射．这样， Gauss 映射 $g: S \rightarrow \Sigma$ 便诱导出从曲面 $S$ 在点 $p$ 的切空间 $T_p S$ 到球面 $\Sigma$ 在像点 $g(p)$ 的切空间 $T_{g(p)} \Sigma$ 的切映射

$$
\begin{equation*}
g_*: T_p S \rightarrow T_{g(p)} \Sigma \tag{3.2}
\end{equation*}
$$

下面我们来求这个切映射的表达式。
设曲面 $S$ 上的一条曲线的参数方程是

$$
\begin{equation*}
u=u(t), \quad v=v(t) \tag{3.3}
\end{equation*}
$$

于是它在 Gauss 映射下的像是

$$
g(\boldsymbol{r}(u(t), v(t)))=\boldsymbol{n}(u(t), v(t))
$$

根据诱导切映射的定义，

$$
g_*\left(\frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{~d} t}\right)=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{n}(u(t), v(t))}{\mathrm{d} t}=\boldsymbol{n}_u \frac{\mathrm{~d} u(t)}{\mathrm{d} t}+\boldsymbol{n}_v \frac{\mathrm{~d} v(t)}{\mathrm{d} t},
$$

因此

$$
\begin{equation*}
g_*\left(r_u\right)=n_u, \quad g_*\left(r_v\right)=n_v . \tag{3.4}
\end{equation*}
$$

由于 $n$ 是球面 $\Sigma$ 的向径，因此它本身也是球面 $\Sigma$ 的法向量，这就是说曲面 $S$ 在点 $p$ 的切平面和球面 $\Sigma$ 在点 $g(p)$ 的切平面是彼此平行的，特别是切空间 $T_p S$ 和切空间 $T_{g(p)} \Sigma$ 可以自然地等同起来，于是球面 $\Sigma$ 的切向量 $n_u, n_v$ 可以看作曲面 $S$ 的切向量。这样，切映射 $g_*$ 成为从切空间 $T_p S$ 到它自身的线性映射，命

$$
\begin{equation*}
W=-g_*: T_p S \rightarrow T_p S, \tag{3.5}
\end{equation*}
$$

称 $W$ 为曲面 $S$ 在点 $p$ 的 Weingarten 映射．根据线性代数的理论，在具有欧氏内积的向量空间上的自共轭线性变换和二次型是彼此确定的．我们在这里定义的 Weingarten 映射和曲面的第二基本形式恰好有这种关系。

定理 3.1 曲面 $S$ 的第二基本形式 II 可以用 Weingarten 映射表示成

$$
\begin{equation*}
\mathbb{I}=W(\mathrm{~d} \boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r} . \tag{3.6}
\end{equation*}
$$

证明 曲面 $S$ 上任意一个切向量可以表示成

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_u \mathrm{~d} u+\boldsymbol{r}_v \mathrm{~d} v, \tag{3.7}
\end{equation*}
$$
其中 $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ 是切向量的分量．根据（3．5）和（3．4）式，

$$
\begin{align*}
W(\mathrm{~d} \boldsymbol{r}) & =W\left(\boldsymbol{r}_u \mathrm{~d} u+\boldsymbol{r}_v \mathrm{~d} v\right)=-g_*\left(\boldsymbol{r}_u \mathrm{~d} u+\boldsymbol{r}_v \mathrm{~d} v\right) \\
& =-g_*\left(\boldsymbol{r}_u\right) \mathrm{d} u-g_*\left(\boldsymbol{r}_v\right) \mathrm{d} v \\
& =-\left(\boldsymbol{n}_u \mathrm{~d} u+\boldsymbol{n}_v \mathrm{~d} v\right)=-\mathrm{d} \boldsymbol{n}, \tag{3.8}
\end{align*}
$$

所以

$$
\mathbb{I}=-\mathrm{d} \boldsymbol{n} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}=W(\mathrm{~d} \boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r} .
$$

证毕．
定理3．2 Weingarten 映射 $W$ 是从切空间 $T_p S$ 到它自身的自共轭映射，即对于曲面 $S$ 在点 $(u, v)$ 的任意两个切方向 $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ 和 $\delta \boldsymbol{r}$ ，下面的公式

$$
\begin{equation*}
W(\mathrm{~d} \boldsymbol{r}) \cdot \delta \boldsymbol{r}=\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot W(\delta \boldsymbol{r}) \tag{3.9}
\end{equation*}
$$

成立。
证明 设

$$
\mathrm{d} \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_u \mathrm{~d} u+\boldsymbol{r}_v \mathrm{~d} v, \quad \delta \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_u \delta u+\boldsymbol{r}_v \delta v
$$

由（3．8）式得到

$$
W(\mathrm{~d} \boldsymbol{r})=-\left(\boldsymbol{n}_u \mathrm{~d} u+\boldsymbol{n}_v \mathrm{~d} v\right), \quad W(\delta \boldsymbol{r})=-\left(\boldsymbol{n}_u \delta u+\boldsymbol{n}_v \delta v\right) .
$$

这样

$$
\begin{aligned}
W(\mathrm{~d} \boldsymbol{r}) \cdot \delta \boldsymbol{r} & =-\left(\boldsymbol{n}_u \mathrm{~d} u+\boldsymbol{n}_v \mathrm{~d} v\right) \cdot\left(\boldsymbol{r}_u \delta u+\boldsymbol{r}_v \delta v\right) \\
& =L \mathrm{~d} u \delta u+M(\mathrm{~d} u \delta v+\mathrm{d} v \delta u)+N \mathrm{~d} v \delta v \\
& =-\left(\boldsymbol{r}_u \mathrm{~d} u+\boldsymbol{r}_v \mathrm{~d} v\right) \cdot\left(\boldsymbol{n}_u \delta u+\boldsymbol{n}_v \delta v\right) \\
& =\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot W(\delta \boldsymbol{r})
\end{aligned}
$$

证毕．
如果有非零切向量 $\mathrm{d} r$ 和实数 $\lambda$ ，使得

$$
\begin{equation*}
W(\mathrm{~d} \boldsymbol{r})=\lambda \mathrm{d} \boldsymbol{r} \tag{3.10}
\end{equation*}
$$
则称 $\lambda$ 是 Weingarten 变换 $W$ 的特征值，并且把 $\mathrm{d} r$ 称为对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量．此时，

$$
W(\mathrm{~d} \boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}=\lambda \mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r},
$$

因此由定理 3.1 得知，曲面沿特征向量 $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ 的法曲率是

$$
\begin{equation*}
\kappa_n=\frac{\mathbb{I}}{\mathrm{I}}=\frac{W(\mathrm{~d} \boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{~d} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}}=\lambda . \tag{3.11}
\end{equation*}
$$

这说明，如果 $\lambda$ 是 Weingarten 映射 $W$ 的一个实特征值，则它正好是曲面在该点沿与它对应的特征方向的法曲率．

定理 3.2 告诉我们，Weingarten 映射 $W: T_p S \rightarrow T_p S$ 是自共轭映射．根据线性代数理论（参看附录 §2），从一个二维向量空间到它自身的自共轭映射正好有两个实特征值（这两个实特征值可能相等），并且对应地有两个线性无关的实特征向量．特别地，当这两个实特征值不相等时，对应的实特征方向是完全确定的，并且它们彼此正交；如果这两个实特征值相等，则曲面在该点的任意一个切方向都是特征方向。由此可见，曲面在每一点 $p$ 的 Weingarten 映射 $W: T_p S \rightarrow T_p S$必定有两个特征值，并且不管那两个特征值是否相等，在点 $p$ 总是有两个彼此正交的特征方向。

根据前面的讨论知道，我们有下面的定理：
定理 3.3 正则参数曲面在每一点的 Weingarten 映射的两个特征值恰好是该曲面在这一点的主曲率，对应的特征方向是曲面的主方向。

证明 我们在切空间 $T_p S$ 中总是可以取单位正交基底 $\left\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\right\}$ ，使得切向量 $e_1, e_2$ 是曲面 $S$ 在点 $p$ 的特征方向，对应的特征值是 $\lambda_1 \geq \lambda_2$ ，则

$$
\begin{equation*}
W\left(e_1\right)=\lambda_1 e_1, \quad W\left(e_2\right)=\lambda_2 e_2 . \tag{3.12}
\end{equation*}
$$
现在设 $e$ 是曲面 $S$ 在点 $p$ 的任意一个切向量，于是可以把它表示为

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{e}=\cos \theta \boldsymbol{e}_1+\sin \theta \boldsymbol{e}_2, \tag{3.13}
\end{equation*}
$$

则

$$
\begin{equation*}
W(\boldsymbol{e})=\cos \theta W\left(\boldsymbol{e}_1\right)+\sin \theta W\left(\boldsymbol{e}_2\right)=\lambda_1 \cos \theta \boldsymbol{e}_1+\lambda_2 \sin \theta \boldsymbol{e}_2, \tag{3.14}
\end{equation*}
$$

因此沿切方向 $e$ 的法曲率是

$$
\begin{aligned}
\kappa(\theta) & =\frac{W(\boldsymbol{e}) \cdot \boldsymbol{e}}{\boldsymbol{e} \cdot \boldsymbol{e}} \\
& =\left(\lambda_1 \cos \theta \boldsymbol{e}_1+\lambda_2 \sin \theta \boldsymbol{e}_2\right) \cdot\left(\cos \theta \boldsymbol{e}_1+\sin \theta \boldsymbol{e}_2\right) \\
& =\lambda_1 \cos ^2 \theta+\lambda_2 \sin ^2 \theta
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& =\lambda_1-\left(\lambda_1-\lambda_2\right) \sin ^2 \theta \\
& =\lambda_2+\left(\lambda_1-\lambda_2\right) \cos ^2 \theta
\end{aligned}
$$

由此可见，法曲率 $\kappa_n(\theta)$ 在 $\theta=0$ 时取最大值 $\lambda_1$ ，在 $\theta=\pi / 2$ 时取最小值 $\lambda_2$ 。换言之，Weingarten 映射的特征值 $\lambda_1 \geq \lambda_2$ 分别是曲面在该点的主曲率 $\kappa_1, \kappa_2$ ，因而其对应的特征方向是曲面在该点的主方向．证毕。

现在可以把上一节（§4．2）的公式（2．16）重新叙述成下面的定理．
定理 3．4（Euler 公式）设 $e_1, e_2$ 是曲面 $S$ 在点 $p$ 处的两个彼此正交的主方向单位向量，对应的主曲率是 $\kappa_1, \kappa_2$ ，则曲面 $S$ 在点 $p$ 处沿任意一个切向量 $e=\cos \theta e_1+\sin \theta e_2$ 的法曲率是

$$
\begin{equation*}
\kappa_n(\theta)=\kappa_1 \cos ^2 \theta+\kappa_2 \sin ^2 \theta . \tag{3.15}
\end{equation*}
$$

当 $\kappa_1=\kappa_2$ 时，对任意的切方向 $\theta$ 都有 $\kappa_n(\theta)=\kappa_1=\kappa_2$ ，这正是主方向不确定的情形．我们把这样的点称为曲面的 脐点．由于在脐点，法曲率

$$
\begin{equation*}
\kappa_n=\frac{L(\mathrm{~d} u)^2+2 M \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+N(\mathrm{~d} v)^2}{E(\mathrm{~d} u)^2+2 F \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+G(\mathrm{~d} v)^2} \tag{3.16}
\end{equation*}
$$

与切方向 $(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)$ 无关，即
$$
\left(L-\kappa_n E\right)(\mathrm{d} u)^2+2\left(M-\kappa_n F\right) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v+\left(N-\kappa_n G\right)(\mathrm{d} v)^2=0
$$

是关于 $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ 的恒等式，所以在该点有

$$
\begin{equation*}
\frac{L}{E}=\frac{M}{F}=\frac{N}{G} \tag{3.17}
\end{equation*}
$$

由此可见，脐点是曲面的第一类基本量和第二类基本量成比例的点。如果这个比是零，则称该脐点是 平点；如果这个比不是零，则称该脐点是圆点．按照这样的术语，定理 1.1 和定理 1.2 可以重述为：

命题 曲面 $S$ 是平面，当且仅当曲面 $S$ 上的点都是平点；曲面 $S$是球面，当且仅当曲面 $S$ 上的点都是圆点．

定义 3.1 设 $C$ 是正则曲面 $S$ 上的一条曲线．如果曲线 $C$ 在每一点的切向量都是曲面 $S$ 在该点的主方向，则称曲线 $C$ 是曲面 $S$ 上的一条 曲率线．

从定义可知，曲率线是曲面 $S$ 上主方向场的积分曲线．设曲面 $S: r=r(u, v)$ 上的一条曲线 $C$ 的参数方程是

$$
u=u(t), \quad v=v(t) .
$$

根据定义 3.2 ，曲线 $C$ 是曲面 $S$ 上的曲率线的条件是

$$
W\left(\frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{r}(u(t), v(t))}{\mathrm{d} t}\right)=\lambda \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}(u(t), v(t))}{\mathrm{d} t} .
$$

由 Weingarten 映射的定义得知

$$
W\left(\frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{r}(u(t), v(t))}{\mathrm{d} t}\right)=-\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{n}(u(t), v(t))}{\mathrm{d} t},
$$

由此得到曲线 $C$ 是曲面 $S$ 上的曲率线的判别准则：

定理 3．5（Rodriques 定理）曲面 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ 上的一条曲线 $C: u=u(t), v=v(t)$ 是曲率线的充分必要条件是，曲面 $S$ 沿曲线 $C$的法向量场 $\boldsymbol{n}(u(t), v(t))$ 沿曲线 $C$ 的导数与曲线 $C$ 相切，即

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{n}(u(t), v(t))}{\mathrm{d} t} / / \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}(u(t), v(t))}{\mathrm{d} t} . \tag{3.18}
\end{equation*}
$$

根据定理 3.5 还可以得到曲率线的一个特征性质：
定理 3.6 曲面 $S$ 上的曲线 $C$ 是曲率线的充分必要条件是，曲面 $S$ 沿曲线 $C$ 的法线构成一个可展曲面．

证明 设曲面 $S: r=r(u, v)$ 上的一条曲线 $C$ 的参数方程是

$$
u=u(s), \quad v=v(s)
$$

其中 $s$ 是弧长参数．设曲面 $S$ 沿曲线 $C$ 的单位法向量是 $n(s)= \boldsymbol{n}(u(s), v(s))$ ，因此由曲面 $S$ 上沿曲线 $C$ 的法线构成的直纹面是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)+\boldsymbol{t n}(s), \tag{3.19}
\end{equation*}
$$
其中 $\boldsymbol{r}(s)=\boldsymbol{r}(u(s), v(s))$ ．根据第三章的定理 6．1，这个直纹面是可展曲面的充分必要条件是

$$
\begin{equation*}
\left(\boldsymbol{r}^{\prime}(s), \boldsymbol{n}(s), \boldsymbol{n}^{\prime}(s)\right)=0 . \tag{3.20}
\end{equation*}
$$

由于 $n(s)$ 是曲面 $S$ 的单位法向量，所以 $r^{\prime}(s) \cdot n(s)=0, n^{\prime}(s) \cdot n(s)=0$ ．因此 $n(s) / / \boldsymbol{r}^{\prime}(s) \times \boldsymbol{n}^{\prime}(s)$ ，不妨设

$$
\boldsymbol{r}^{\prime}(s) \times \boldsymbol{n}^{\prime}(s)=\lambda \boldsymbol{n}(s),
$$

则由（3．20）式得到

$$
0=-\left(\boldsymbol{r}^{\prime}(s) \times \boldsymbol{n}^{\prime}(s)\right) \cdot \boldsymbol{n}(s)=\lambda \boldsymbol{n}(s) \cdot \boldsymbol{n}(s)=\lambda
$$

故

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}^{\prime}(s) \times \boldsymbol{n}^{\prime}(s)=0, \quad \boldsymbol{r}^{\prime}(s) / / \boldsymbol{n}^{\prime}(s) . \tag{3.21}
\end{equation*}
$$

由此可见，曲面 $S$ 沿曲线 $C$ 的法线构成可展曲面的充分必要条件是 （3．21）式成立，即 $C$ 是曲面 $S$ 上的曲率线．证毕．

例题 1 求旋转面上的曲率线．
解 旋转面的经线是经过旋转轴的平面与旋转面的交线，它是生成旋转面的母线．旋转面沿一条经线的法线都经过旋转轴，因而落在经线本身所在的平面内，故由这些法线构成的直纹面是可展曲面．另外，旋转面沿平行圆（纬线）的法线都经过旋转轴上的一个定点，所以它们构成一个锥面，仍是可展曲面．由此可见，根据定理 3.7 ，旋转面上的经线和纬线都是旋转面上的曲率线，它们构成曲面的正交曲线网．

例题2 求可展曲面上的曲率线。
解 可展曲面是直纹面，而且曲面的切平面沿直母线是不变的．换言之，曲面的单位法向量沿直母线是常向量场，即曲面的单位法向量沿直母线的导数是零．由定理 3.6 可知，可展曲面的直母线必定是曲率线．根据定理 2．2，它们的正交轨线是另一个主方向场的积分曲线，因而是可展曲面的另一族曲率线．

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