最后更新: 2026-06-04 07:39 查看: 11 次纠错评论(0) 课件开VIP

4.4 主方向和主曲率的计算

§4．4 主方向和主曲率的计算
根据法曲率的 Euler 公式，主曲率是法曲率的最大值和最小值．因此，计算主方向和主曲率是了解曲面在该点的弯曲情况的重要手段。在 §4．3 已经知道主方向和主曲率恰好是曲面在这一点的 Weingarten映射的特征方向和特征值．因此求曲面主方向和主曲率的问题归结为求 Weingarten 映射的特征方向和特征值。

设曲面 $S$ 的方程是 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ ．假定 $\delta \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_u \delta u+\boldsymbol{r}_v \delta v$ 是曲面在点 $(u, v)$ 的一个主方向，即 $(\delta u, \delta v) \neq 0$ ，并且有实数 $\lambda$ 使得

$$
\begin{equation*}
W(\delta \boldsymbol{r})=\lambda \delta \boldsymbol{r} \tag{4.1}
\end{equation*}
$$

将（4．1）式展开就是

$$
\begin{equation*}
-\left(\boldsymbol{n}_u \delta u+\boldsymbol{n}_v \delta v\right)=\lambda\left(\boldsymbol{r}_u \delta u+\boldsymbol{r}_v \delta v\right) . \tag{4.2}
\end{equation*}
$$

将上式分别与切向量 $r_u, r_v$ 作内积，得到

$$
\begin{aligned}
L \delta u+M \delta v & =\lambda(E \delta u+F \delta v), \\
M \delta u+N \delta v & =\lambda(F \delta u+G \delta v),
\end{aligned}
$$

所以 $(\delta u, \delta v)$ 应该是线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
(L-\lambda E) \delta u+(M-\lambda F) \delta v=0  \tag{4.3}\\
(M-\lambda F) \delta u+(N-\lambda G) \delta v=0
\end{array}\right.
$$

的非零解．根据线性方程组理论，线性齐次方程组（4．3）有非零解的充分必要条件，是它的系数行列式为零，即 $\lambda$ 要满足二次方程

$$
\left|\begin{array}{cc}
L-\lambda E & M-\lambda F  \tag{4.4}\\
M-\lambda F & N-\lambda G
\end{array}\right|=0 .
$$

将它展开得到

$$
\lambda^2\left(E G-F^2\right)-\lambda(L G-2 M F+N E)+\left(L N-M^2\right)=0,
$$

即

$$
\begin{equation*}
\lambda^2-\frac{L G-2 M F+N E}{E G-F^2} \lambda+\frac{L N-M^2}{E G-F^2}=0 . \tag{4.5}
\end{equation*}
$$

根据定理 3.3 知道，二次方程（4．5）必定有两个实根 $\kappa_1, \kappa_2$ 。这个事实也能够用方程（4．5）的判别式来检验。事实上，二次方程（4．5）的判别式是

$$
\left((E N-G L)-\frac{2 F}{E}(E M-F L)\right)^2+\frac{4\left(E G-F^2\right)}{E^2}(E M-F L)^2 \geq 0 .
$$

由二次方程的系数与根的关系得知

$$
\begin{gather*}
\kappa_1+\kappa_2=2 H=\frac{L G-2 M F+N E}{E G-F^2}  \tag{4.6}\\
\kappa_1 \kappa_2=K=\frac{L N-M^2}{E G-F^2} \tag{4.7}
\end{gather*}
$$

我们把 $H=\frac{1}{2}\left(\kappa_1+\kappa_2\right)$ 称为曲面的 平均曲率，把 $K=\kappa_1 \kappa_2$ 称为曲面的 Gauss 曲率，或总曲率。（4．6）和（4．7）式分别给出了平均曲率 $H$ 和 Gauss 曲率 $K$ 用曲面的第一类基本量和第二类基本量计算的公式．这样，主曲率是方程

$$
\begin{equation*}
\lambda^2-2 H \lambda+K=0 \tag{4.8}
\end{equation*}
$$

的根，于是

$$
\begin{equation*}
\kappa_1=H+\sqrt{H^2-K}, \quad \kappa_2=H-\sqrt{H^2-K} . \tag{4.9}
\end{equation*}
$$

直接验证可知，方程（4．4）在曲面保持定向的参数变换下是不变的，因此平均曲率 $H$ 和 Gauss 曲率 $K$ 的表达式（4．6）和（4．7）在曲面保持定向的参数变换下也是不变的。

定理 4.1 曲面的主曲率 $\kappa_1, \kappa_2$ 是定义在曲面上的连续函数，并且在每一个非脐点的一个邻域内，主曲率 $\kappa_1, \kappa_2$ 是连续可微的函数。

证明 已经假定曲面的参数方程至少是三次连续可微的，而曲面的第一类基本量和第二类基本量是曲面的参数方程经过两次偏导数得到的，因此平均曲率 $H$ 和 Gauss 曲率 $K$ 都是连续可微的函数．式表明，主曲率 $\kappa_1, \kappa_2$ 是连续的．在非脐点的邻域内我们有 $\kappa_1 \neq \kappa_2$ ，即 $H^2-K>0$ ，因此 $\sqrt{H^2-K}$ 还是连续可微的，故主曲率 $\kappa_1, \kappa_2$ 是连续可微的函数．证毕．

现在把求主方向和主曲率的方法综述如下：首先，按照公式（4．6）和（4．7）用曲面的第一类基本量和第二类基本量计算曲面的平均曲率 $H$ 和 Gauss 曲率 $K$ ，并解二次方程（4．8），得到曲面的主曲率 $\kappa_1, \kappa_2$ ．其次，分两种情形来处理：在非脐点的情形，$\kappa_1 \neq \kappa_2$ ，逐次将 $\kappa_1$ 和 $\kappa_2$代替线性方程组（4．3）中的 $\lambda$ ，其相应的方程组系数矩阵的秩是 1 ，因此对应于 $\kappa_1$ 的主方向是

$$
\begin{equation*}
\frac{\delta u}{\delta v}=-\frac{M-\kappa_1 F}{L-\kappa_1 E}=-\frac{N-\kappa_1 G}{M-\kappa_1 F}, \tag{4.10}
\end{equation*}
$$

对应于 $\kappa_2$ 的主方向是

$$
\begin{equation*}
\frac{\delta u}{\delta v}=-\frac{M-\kappa_2 F}{L-\kappa_2 E}=-\frac{N-\kappa_2 G}{M-\kappa_2 F} ; \tag{4.11}
\end{equation*}
$$

在脐点的情形，$\kappa_1=\kappa_2=\frac{L}{E}=\frac{M}{F}=\frac{N}{G}$ ，将 $\kappa_1$（或 $\kappa_2$ ）代替线性方程组（4．3）中的 $\lambda$ ，其相应的方程组系数矩阵是零矩阵，此时任意的非零数组 $(\delta u, \delta v)$ 都是方程组（4．3）的解，即主方向是不定的．

上述求解的次序是先求主曲率、后求主方向．这种求解的过程可以倒过来，即为先求主方向，后求主曲率的方法．将方程组（4．3）改写，得到

$$
\begin{align*}
& (L \delta u+M \delta v)-\lambda(E \delta u+F \delta v)=0,  \tag{4.12}\\
& (M \delta u+N \delta v)-\lambda(F \delta u+G \delta v)=0,
\end{align*}
$$

因此

$$
\begin{equation*}
\lambda=\frac{L \delta u+M \delta v}{E \delta u+F \delta v}=\frac{M \delta u+N \delta v}{F \delta u+G \delta v} . \tag{4.13}
\end{equation*}
$$

上式说明，主方向 $(\delta u, \delta v)$ 必须满足方程

$$
\left|\begin{array}{ll}
L \delta u+M \delta v & E \delta u+F \delta v  \tag{4.14}\\
M \delta u+N \delta v & F \delta u+G \delta v
\end{array}\right|=0 .
$$

将方程（4．14）展开得到

$$
\begin{equation*}
(L F-M E)(\delta u)^2+(L G-N E) \delta u \delta v+(M G-N F)(\delta v)^2=0 \tag{4.15}
\end{equation*}
$$

于是，首先解二次方程（4．15），得到主方向 $\delta u: \delta v$ ，然后将此值代入 （4．13）得到相应的主曲率．
为了便于记忆，用（ $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ ）代替（ $\delta u, \delta v$ ），并且把上面的方程（4．15）改写为

$$
\left|\begin{array}{ccc}
(\mathrm{d} v)^2 & -\mathrm{d} u \mathrm{~d} v & (\mathrm{~d} u)^2  \tag{4.16}\\
E & F & G \\
L & M & N
\end{array}\right|=0 .
$$

对于固定的点 $(u, v),(4.16)$ 式是求主方向 $(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)$ 的方程；如果把 $(u, v)$ 看作动点，则（4．16）式是曲面上的曲率线所满足的微分方程．

定理4．2 在曲面 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ 上的任意一个固定点 $(u, v)$ ，参数曲线的方向是彼此正交的主方向当且仅当在该点有 $F=M=0$ ．此时，$u$－曲线方向的主曲率是 $\kappa_1=L / E, v$－曲线方向的主曲率是 $\kappa_2=N / G$ 。

证明 必要性．因为 $r_u$ 和 $r_v$ 彼此正交，故 $F=0$ ．又假定 $(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)=(1,0)$ 是主方向，故代入方程（4．16）得到 $E M=0$ ，即 $M=0$ ．

充分性．假定在固定点 $(u, v)$ 有 $F=M=0$ ，则方程（4．16）成为

$$
(E N-G L) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v=0,
$$

因此 $(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)=(1,0)$ 和 $(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)=(0,1)$ 都是上述方程的解，即参数曲线的方向是彼此正交的主方向．将上述解分别代入（4．13）式得到相应的主曲率是

$$
\begin{equation*}
\kappa_1=\frac{L}{E}, \quad \kappa_2=\frac{N}{G} . \tag{4.17}
\end{equation*}
$$

证毕．
定理 4.2 的直接推论是
定理 4.3 在曲面 $S$ 上，参数曲线网是正交的曲率线网的充分必要条件是 $F=M \equiv 0$ ，并且此时曲面的两个基本形式分别是

$$
\begin{align*}
& \mathrm{I}=E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2  \tag{4.18}\\
& \mathrm{I}=\kappa_1 E(\mathrm{~d} u)^2+\kappa_2 G(\mathrm{~d} v)^2
\end{align*}
$$

其中 $\kappa_1, \kappa_2$ 是曲面的主曲率．
定理 4.3 表明，若在曲面上取正交的曲率线网作为曲面的参数曲线网时，则它的两个基本形式就能够写成十分简单的表达式．问题是这样的参数曲线网是否存在？我们知道，在曲面上由非脐点构成的集合是一个开集．当非脐点集是非空集的情形，定理 4.1 断言主曲率函数 $\kappa_1, \kappa_2$ 是这个非空开集上的连续可微函数，而且在每一点有两个完全确定的彼此正交的主方向。因此在非脐点集上有两个连续可微的、彼此正交的主方向场．由第三章的定理 4.1 容易得到下面有重要理论价值的定理：

定理4．4 在正则曲面 $S$ 上的每一个非脐点的一个邻域内存在参数系 $(u, v)$ ，使得参数曲线构成彼此正交的曲率线网．

如果在曲面上，脐点集构成一个开集，则由定理1．1和定理1．2得知，这一片曲面是平面或球面，于是它上面的任意的正交参数曲线网都是正交的曲率线网．在孤立脐点的邻域内，情况是十分复杂的，不能保证正交曲率线网的存在性．但是，无论如何，在曲面上任意一个固定点 $p$ 的邻域内总是可以取正交参数曲线网，使得在该点 $p$ 沿参数曲线的方向是曲面的主方向（参看习题 4.3 的第 4 题）。这对于有些问题的讨论仍然有重要的意义．

在本节的最后，我们来导出 Weingarten 映射在曲面的自然基底下的矩阵．设曲面 $S$ 的参数方程是 $r=r(u, v)$ ．根据 Weingarten 映射的定义，

$$
W\left(\boldsymbol{r}_u\right)=-\boldsymbol{n}_u, \quad W\left(\boldsymbol{r}_v\right)=-\boldsymbol{n}_v .
$$

因为 $n_u, n_v$ 是曲面 $S$ 的切向量，不妨设

$$
\binom{-n_u}{-n_v}=\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12}  \tag{4.19}\\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right)\binom{r_u}{r_v} .
$$

将上式两边分别与向量组（ $r_u, r_v$ ）作内积

$$
\binom{-n_u}{-n_v} \cdot\left(\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v\right)=\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right)\binom{\boldsymbol{r}_u}{\boldsymbol{r}_v} \cdot\left(\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v\right),
$$

得到

$$
\left(\begin{array}{cc}
L & M \\
M & N
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
E & F \\
F & G
\end{array}\right),
$$

所以

$$
\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12}  \tag{4.20}\\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
L & M \\
M & N
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ll}
E & F \\
F & G
\end{array}\right)^{-1} .
$$

对于 $2 \times 2$ 可逆矩阵容易知道其逆矩阵的公式是

$$
\left(\begin{array}{ll}
E & F \\
F & G
\end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{E G-F^2}\left(\begin{array}{rr}
G & -F \\
-F & E
\end{array}\right)
$$

因此

$$
\left(\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12}  \tag{4.21}\\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right)=\frac{1}{E G-F^2}\left(\begin{array}{cc}
L G-M F & -L F+M E \\
M G-N F & -M F+N E
\end{array}\right),
$$

所以
$$
W\binom{r_u}{r_v}=\frac{1}{E G-F^2}\left(\begin{array}{cc}
L G-M F & -L F+M E  \tag{4.22}\\
M G-N F & -M F+N E
\end{array}\right)\binom{r_u}{r_v} .
$$

线性变换在某基底下的矩阵的迹和行列式是线性变换的不变量，它们与基底的选取无关．从（4．22）式知道，Weingarten 映射 $W$ 在自然基底 $\left(r_u, r_v\right)$ 下的矩阵的迹和行列式分别是 $2 H$ 和 $K$ ，即

$$
\begin{gathered}
2 H=a_{11}+a_{22}=\frac{L G-2 M F+N E}{E G-F^2}, \\
K=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}=\frac{L N-M^2}{E G-F^2},
\end{gathered}
$$

在这里，我们顺便能够得到 Gauss 曲率的几何意义．从（4．19）式和（4．22）式得到

$$
\boldsymbol{n}_u \times \boldsymbol{n}_v=\left(a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}\right) \boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v=K \boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v,
$$
因此

$$
\begin{equation*}
\left|\boldsymbol{n}_u \times \boldsymbol{n}_v\right|=|K| \cdot\left|\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v\right| . \tag{4.23}
\end{equation*}
$$

面积元素 $\mathrm{d} \sigma=\left|\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v\right| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ 实质上是曲面 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ 上由参数曲线 $u=u_0, u=u_0+\mathrm{d} u, v=v_0, v=v_0+\mathrm{d} v$ 围成的小区域的面积，它在 Gauss 映射下的像的面积是 $\mathrm{d} \sigma_0=\left|\boldsymbol{n}_u \times \boldsymbol{n}_v\right| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，因此（4．23）式成为

$$
\mathrm{d} \sigma_0=|K| \mathrm{d} \sigma,
$$

即

$$
\begin{equation*}
|K|=\frac{\mathrm{d} \sigma_0}{\mathrm{~d} \sigma} \tag{4.24}
\end{equation*}
$$

如果 $D$ 是曲面 $S$ 上围绕点 $p$ 的一个邻域，用 $g(D)$ 表示它在 Gauss 映射下的像，那么 $g(D)$ 的面积是

$$
A(g(D))=\int_{g(D)} \mathrm{d} \sigma_0=\int_D|K| \mathrm{d} \sigma
$$

利用重积分的中值定理，并且让区域 $D$ 收缩于一点 $p$ 取极限得到

$$
\begin{equation*}
|K(p)|=\lim _{D \rightarrow p} \frac{A(g(D))}{A(D)} \tag{4.25}
\end{equation*}
$$
由此可见，曲面 $S$ 在点 $p$ 的 Gauss 曲率的绝对值 $|K(p)|$ 是，围绕点 $p$的小区域 $D$ 在 Gauss 映射下的像 $g(D)$ 的面积与区域 $D$ 的面积之比在区域 $D$ 收缩到点 $p$ 时的极限．在曲线论中，关于曲线的曲率有类似的解释（参看第二章的（3．6）式）。

如果用 $\mathrm{I}_0$ 表示单位球面 $\Sigma$ 上的第一基本形式，那么它通过 Gauss映射 $g: S \rightarrow \Sigma$ 拉回到曲面 $S$ 上所得到的二次微分形式称为曲面 $S$ 的第三基本形式，记为

$$
\begin{equation*}
\mathrm{III}=g^* \mathrm{I}_0 . \tag{4.26}
\end{equation*}
$$

根据第三章（5．12）式，

$$
\begin{equation*}
\text { III }=\mathrm{d} \boldsymbol{n} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{n}=e(\mathrm{~d} u)^2+2 f \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+g(\mathrm{~d} v)^2, \tag{4.27}
\end{equation*}
$$
其中

$$
\begin{equation*}
e=\boldsymbol{n}_u \cdot \boldsymbol{n}_u, \quad f=\boldsymbol{n}_u \cdot \boldsymbol{n}_v, \quad g=\boldsymbol{n}_v \cdot \boldsymbol{n}_v \tag{4.28}
\end{equation*}
$$

从曲面 $S$ 的第三基本形式得不到更多的不变量，因为 III 和 I，II 有密切的关系。我们有下面的定理。

定理 4.5 曲面 $S$ 上的三个基本形式满足关系式

$$
\begin{equation*}
\text { III }-2 H \mathrm{II}+K \mathrm{I} \equiv 0, \tag{4.29}
\end{equation*}
$$

其中 $H, K$ 分别是曲面 $S$ 的平均曲率和 Gauss 曲率。
证明 因为 III，II，I，$H, K$ 都与曲面 $S$ 上保持定向的参数变换无关，所以我们只要在曲面 $S$ 上的任意一点 $p$ 的附近取一个特殊的参数系来验证（4．29）式就可以了。不妨设 $(u, v)$ 是点 $p$ 附近的参数系，使得 $u$－曲线和 $v$－曲线的方向是曲面 $S$ 在点 $p$ 的彼此正交的主方向，于是在点 $p$ 有 $F=M=0$（参看定理4．2），并且

$$
\begin{equation*}
\kappa_1=\frac{L}{E}, \quad \kappa_2=\frac{N}{G}, \quad-n_u=\kappa_1 r_u, \quad-n_v=\kappa_2 r_v \tag{4.30}
\end{equation*}
$$

所以

$$
e=n_u \cdot n_u=\left(\kappa_1\right)^2 E, \quad f=n_u \cdot n_v=0, \quad g=n_v \cdot n_v=\left(\kappa_2\right)^2 G,
$$

于是在点 $p$ 处有
$$
\begin{gathered}
\mathrm{I}=E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2 \\
\mathrm{II}=\kappa_1 E(\mathrm{~d} u)^2+\kappa_2 G(\mathrm{~d} v)^2 \\
\mathrm{III}=\left(\kappa_1\right)^2 E(\mathrm{~d} u)^2+\left(\kappa_2\right)^2 G(\mathrm{~d} v)^2 .
\end{gathered}
$$

因此
$2 H \mathrm{II}-K \mathrm{I}$

$$
\begin{aligned}
& =\left(\kappa_1+\kappa_2\right)\left(\kappa_1 E(\mathrm{~d} u)^2+\kappa_2 G(\mathrm{~d} v)^2\right)-\kappa_1 \kappa_2\left(E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2\right) \\
& =\left(\kappa_1\right)^2 E(\mathrm{~d} u)^2+\left(\kappa_2\right)^2 G(\mathrm{~d} v)^2=\text { III. }
\end{aligned}
$$

证毕．

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