最后更新: 2026-06-04 17:25 查看: 6 次纠错评论(0) 课件开VIP

4.5 Dupin 标形和曲面参数方程在一点的标准展开

§4．5 Dupin 标形和曲面参数方程在一点的标准展开
本节要对正则曲面在一点的弯曲情形作一些分析。除了一些特殊点以外，我们将根据曲面在一点的弯曲情形的不同，把曲面上的点分为三类，即所谓的椭圆点、双曲点和抛物点．首先对法曲率的 Euler 公式给出一个直观的解释．

设曲面 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ 在点 $p$ 的两个主曲率是 $\kappa_1, \kappa_2$ ，其对应的两个彼此正交的主方向单位向量是 $e_1, e_2$ ，则 Euler 公式说，曲面 $S$在点 $p$ 沿任意一个切方向

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{e}=\cos \theta \boldsymbol{e}_1+\sin \theta \boldsymbol{e}_2 \tag{5.1}
\end{equation*}
$$

的法曲率是

$$
\begin{equation*}
\kappa_n=\kappa_1 \cos ^2 \theta+\kappa_2 \sin ^2 \theta . \tag{5.2}
\end{equation*}
$$

自然，$\left\{p ; e_1, e_2\right\}$ 给出曲面 $S$ 在点 $p$ 处的切平面 $\Pi$ 上的直角坐标系．假定沿切方向 $\boldsymbol{e}$ 的法曲率 $\kappa_n(\theta) \neq 0$ ，则在该方向的射线上可以取一点 $q$ ，使得线段 $p q$ 的长度是

$$
\begin{equation*}
|p q|=\frac{1}{\sqrt{\left|\kappa_n(\theta)\right|}}, \tag{5.3}
\end{equation*}
$$

那么在上述直角坐标系下点 $q$ 的坐标是

$$
\begin{equation*}
x=\frac{1}{\sqrt{\left|\kappa_n(\theta)\right|}} \cos \theta, \quad y=\frac{1}{\sqrt{\left|\kappa_n(\theta)\right|}} \sin \theta \tag{5.4}
\end{equation*}
$$

根据 Euler 公式（5．2），点 $q$ 的坐标 $x, y$ 所满足的方程是

$$
\begin{equation*}
\kappa_1 x^2+\kappa_2 y^2=\operatorname{sign}\left(\kappa_n(\theta)\right) . \tag{5.5}
\end{equation*}
$$

这是一条二次曲线．
当 $K=\kappa_1 \kappa_2>0$ 时，$\kappa_n(\theta)$ 与 $\kappa_1, \kappa_2$ 同号，所以方程（5．5）成为

$$
\begin{equation*}
\left|\kappa_1\right| x^2+\left|\kappa_2\right| y^2=1 \tag{5.6}
\end{equation*}
$$

这是一个椭圆（参看图 4．4（a））．
当 $K=\kappa_1 \kappa_2<0$ 时，$\kappa_1$ 和 $\kappa_2$ 异号，所以方程（5．5）成为

$$
\begin{equation*}
\left|\kappa_1\right| x^2-\left|\kappa_2\right| y^2= \pm 1 \tag{5.7}
\end{equation*}
$$

这是两对彼此共轭的双曲线（参看图 4．4（b））．此时，曲面的渐近方向，即 $\kappa_n(\theta)=0$ 的方向，恰好是这两对共轭双曲线的渐近线的方向（其实这就是＂渐近方向＂的名称的由来）。
如果 $K=\kappa_1 \kappa_2=0$ ，但是 $\kappa_1, \kappa_2$ 不全为零，不妨设 $\kappa_2 \neq 0$ ，则方程（5．5）成为

$$
\begin{equation*}
\left|\kappa_2\right| y^2=1, \tag{5.8}
\end{equation*}
$$

这是与渐近方向 $e_1$ 平行的一对直线（参看图 4．4（c））．

![图片](/uploads/2026-06/f419d3.jpg)
 
 当 $\kappa_1=\kappa_2=0$ 时，相应的图不再存在．
我们把曲面 $S$ 在点 $p$ 的切平面 $\Pi$ 中在直角坐标系 $\left\{p ; e_1, e_2\right\}$下，方程（5．5）的轨迹称为曲面 $S$ 在点 $p$ 的 Dupin 标形，它可以看作曲面 $S$ 在点 $p$ 的法曲率 $\kappa_n$ 的一种直观描述。根据 Gauss 曲率 $K$ 的符号的不同，Dupin 标形表现为不同类型的二次曲线．因此，我们把 $K>0$ 的点称为 椭圆点，把 $K<0$ 的点称为 双曲点，把 $K=0$ 的点称为 抛物点．圆点属于椭圆点，而平点属于抛物点．

![图片](/uploads/2026-06/250f75.jpg)
 
 
 现在我们来观察曲面在一点附近的大致形状．设曲面 $S: r= \boldsymbol{r}(u, v)$ 在点 $p$ 的两个彼此正交的主方向单位向量是 $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2$ ，并且 $\boldsymbol{n}= e_1 \times e_2$ ．在 §4．3 已经知道，在曲面 $S$ 上总是可以取点 $p$ 附近的参数系 $(u, v)$ 使得在点 $p$ 处有 $r_u=e_1, r_v=e_2$ ，于是在点 $p$ 处下式成立：

$$
\begin{equation*}
E=G=1, \quad F=M=0, \quad L=\kappa_1, \quad N=\kappa_2 . \tag{5.9}
\end{equation*}
$$

不妨设点 $p$ 对应于参数值 $u=0, v=0$ ．根据 Taylor 展开式，我们有

$$
\begin{align*}
\boldsymbol{r}(u, v)= & \boldsymbol{r}(0)+\boldsymbol{r}_u(0) u+\boldsymbol{r}_v(0) v+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{r}_{u u}(0) u^2\right. \\
& \left.+2 \boldsymbol{r}_{u v}(0) u v+\boldsymbol{r}_{v v}(0) v^2\right)+\boldsymbol{o}\left(u^2+v^2\right) \tag{5.10}
\end{align*}
$$

将 $r_{u u}(0), r_{u v}(0), r_{v v}(0)$ 分解出切分量和法分量，并且注意到

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}_{u u}(0) \cdot \boldsymbol{n}=L=\kappa_1, \boldsymbol{r}_{u v}(0) \cdot \boldsymbol{n}=0, \boldsymbol{r}_{v v}(0) \cdot \boldsymbol{n}=N=\kappa_2 \tag{5.11}
\end{equation*}
$$

于是（5．10）式可以写成

$$
\begin{align*}
\boldsymbol{r}(u, v)= & \boldsymbol{r}(0)+\left(u+o\left(\sqrt{u^2+v^2}\right)\right) \boldsymbol{e}_1+\left(v+o\left(\sqrt{u^2+v^2}\right)\right) \boldsymbol{e}_2 \\
& +\frac{1}{2}\left(\kappa_1 u^2+\kappa_2 v^2+o\left(u^2+v^2\right)\right) \boldsymbol{n} \tag{5.12}
\end{align*}
$$

如果把 $\left\{p ; \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{n}\right\}$ 取成空间 $E^3$ 的直角坐标系，那么曲面 $S$ 的参数方程成为

$$
\begin{aligned}
& x=u+o\left(\sqrt{u^2+v^2}\right) \\
& y=v+o\left(\sqrt{u^2+v^2}\right) \\
& z=\frac{1}{2}\left(\kappa_1 u^2+\kappa_2 v^2\right)+o\left(u^2+v^2\right)
\end{aligned}
$$

或者

$$
\begin{equation*}
z=\frac{1}{2}\left(\kappa_1 x^2+\kappa_2 y^2\right)+o\left(x^2+y^2\right) . \tag{5.13}
\end{equation*}
$$

我们把（5．13）式称为曲面 $S$ 的参数方程在点 $p$ 的标准展开．当 $\kappa_1, \kappa_2$不全为零时，（5．13）式右端在 $u^2+v^2 \rightarrow 0$ 时作为无穷小量的的主要部分是

$$
\begin{equation*}
z=\frac{1}{2}\left(\kappa_1 x^2+\kappa_2 y^2\right) . \tag{5.14}
\end{equation*}
$$

这是一个二次曲面，称为曲面 $S$ 在点 $p$ 的 近似曲面，记为 $S^*$ ．容易验证，曲面 $S^*$ 和 $S$ 在点 $p$ 相切，共同以 $e_1, e_2$ 为在点 $p$ 的主方向，以 $\kappa_1, \kappa_2$ 为对应的主曲率，因此曲面 $S^*$ 和 $S$ 在点 $p$ 沿每一个切方向有相同的法曲率。由此可见，就曲面 $S$ 在一点 $p$ 的弯曲情形而言，近似曲面 $S^*$ 可以看作曲面 $S$ 的模型．若点 $p$ 是椭圆点，$\kappa_1, \kappa_2$ 同号，则 （5．14）式给出的是一个椭圆抛物面（参看图 4．5（a）），曲面 $S$ 在点 $p$ 的附近落在点 $p$ 的切平面的一侧，即曲面 $S$ 在点 $p$ 是凸的．若点 $p$ 是双曲点，$\kappa_1, \kappa_2$ 异号，则（5．14）式给出的是一个双曲抛物面（参看图 4.5 （b）），曲面 $S$ 在点 $p$ 的附近必定落在点 $p$ 的切平面的两侧，而且它与切平面相交成两条曲线，这两条曲线在点 $p$ 的切方向是曲面在该点的渐近方向．若点 $p$ 是非平点的抛物点，则（5．14）给出的是一个抛物柱面（参看图 4．5（c））．观察 Dupin 标形的方程（5．5）和近似曲面 $S^*$ 的方程（5．14）不难发现，如果用平面 $z= \pm 1 / 2$ 去截近似曲面 $S^*$ ，则得曲线

$$
\begin{equation*}
\kappa_1 x^2+\kappa_2 y^2= \pm 1, \quad z= \pm \frac{1}{2} \tag{5.15}
\end{equation*}
$$

![图片](/uploads/2026-06/b7c7f0.jpg)
 
 ![图片](/uploads/2026-06/a7ca31.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2026-06/300b9d.jpg)
  
   将它投影到曲面 $S$ 在点 $p$ 的切平面 $\Pi$ 上，所得的正是曲面 $S$ 在点 $p$的 Dupin 标形。
   
  ![图片](/uploads/2026-06/e8b0fe.jpg)
  
  例题 设环面 $S$ 的方程是

$$
\boldsymbol{r}=((a+r \cos u) \cos v,(a+r \cos u) \sin v, r \sin u),
$$

其中 $r, a$ 是常数，且 $0<r<a$ ．考查环面 $S$ 上各种类型点的分布（参看图 4．6）．

解 直接计算得到
$$
\begin{aligned}
& E=r^2, \quad F=0, \quad G=(a+r \cos u)^2 \\
& L=r, \quad M=0, \quad N=\cos u(a+r \cos u)
\end{aligned}
$$

故

$$
K=\frac{L N-M^2}{E G-F^2}=\frac{\cos u}{r(a+r \cos u)}
$$

由此可见，$K$ 的符号由 $\cos u$ 的符号来确定：
当 $u=\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{3 \pi}{2}$ 时，$K=0$ ，这些点是抛物点，它们落在环面的最上面和最下面的两个平行圆上．

当 $\frac{\pi}{2}<u<\frac{3 \pi}{2}$ 时，$K<0$ ，这些点是双曲点，它们分布在环面的内侧．

当 $0 \leq u<\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{3 \pi}{2}<u \leq 2 \pi$ 时，$K>0$ ，这些点是椭圆点，它们分布在环面的外侧．

很明显，曲面上的椭圆点和双曲点分别构成曲面的开子集，它们的边界是由抛物点组成的．

如果曲面上的平点构成一个开集，则它必定是平面的一部分．在非平点的附近我们都能够用近似曲面去模拟原曲面在该点附近的大致形状．然而当平点是孤立点，或者平点沿曲线分布时，曲面的形状是比较复杂的，下面举两个例子：

![图片](/uploads/2026-06/c77240.jpg)
 
 （1）猴鞍面：$z=x^3-3 x y^2$ ，原点是孤立的平点（参看图 4．7（a））．
（2）$z=x^2 y^2$ ，曲面的平点落在 $x$ 轴和 $y$ 轴上（参看图 4．7（b））．
一般地，若将曲面的方程在平点作标准展开时，即把该点作为坐标原点、并且把曲面在该点的两个彼此正交的主方向取作 $x$ 轴和 $y$ 轴时，$z$ 必定是 $x, y$ 的 3 次以上的函数，但是在代数学中尚未给出这种函数的标准形式和分类，因此难以刻画和归纳曲面在这种点的附近的大致形状．

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