最后更新: 2026-06-04 17:28 查看: 12 次纠错评论(0) 课件开VIP

4.6 某些特殊曲面

§4．6 某些特殊曲面
本节我们要讨论几种特殊曲面的例子，这些特殊曲面包括 Gauss曲率为常数的曲面和平均曲率为零的曲面．在第六章 §6．4中我们将要证明 Gauss 曲率为常数的曲面的第一基本形式有完全确定的表达式，于是在任意两个有相同的常数 Gauss 曲率的曲面之间在局部上是能够建立保长对应的，因此了解常数 Gauss 曲率的曲面的例子是重要的．

首先我们在旋转曲面中寻求有常数 Gauss 曲率的曲面的例子。假定旋转曲面 $S$ 的方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=(u \cos v, u \sin v, f(u)), \tag{6.1}
\end{equation*}
$$

其中 $u>0,0 \leq v<2 \pi$ ，并且假定它有常数 Gauss 曲率 $K$ ．经直接计算得到曲面 $S$ 的第一基本形式和第二基本形式分别是

$$
\begin{gather*}
\mathrm{I}=\left(1+f^{\prime 2}(u)\right)(\mathrm{d} u)^2+u^2(\mathrm{~d} v)^2  \tag{6.2}\\
\mathrm{II}=\frac{f^{\prime \prime}(u)}{\sqrt{1+f^{\prime 2}(u)}}(\mathrm{d} u)^2+\frac{u f^{\prime}(u)}{\sqrt{1+f^{\prime 2}(u)}}(\mathrm{d} v)^2 . \tag{6.3}
\end{gather*}
$$

因此曲面 $S$ 的 Gauss 曲率是

$$
\begin{equation*}
K=\frac{L N-M^2}{E G-F^2}=\frac{f^{\prime}(u) f^{\prime \prime}(u)}{u\left(1+f^{\prime 2}(u)\right)^2} \tag{6.4}
\end{equation*}
$$

所以，待定的函数 $f(u)$ 应该满足微分方程

$$
\begin{equation*}
f^{\prime}(u) f^{\prime \prime}(u)=K u\left(1+f^{\prime 2}(u)\right)^2 . \tag{6.5}
\end{equation*}
$$

将上式积分一次得到

$$
\begin{equation*}
\frac{1}{1+f^{\prime 2}(u)}=c-K u^2, \tag{6.6}
\end{equation*}
$$

其中 $c$ 为任意常数．再次积分得到

$$
\begin{equation*}
f(u)= \pm \int \sqrt{\frac{1-c+K u^2}{c-K u^2}} \mathrm{~d} u \tag{6.7}
\end{equation*}
$$

如果 $K=0$ ，则

$$
\begin{equation*}
f(u)=a u+b, \quad a=\sqrt{\frac{1-c}{c}}, \quad 0<c<1 . \tag{6.8}
\end{equation*}
$$

此时，旋转面 $S$ 或者为平面 $(a=0)$ ，或者为圆锥面 $(a \neq 0)$ ．另一个 Gauss 曲率 $K=0$ 的旋转面是圆柱面，其方程是

$$
\boldsymbol{r}=(a \cos v, a \sin v, u),
$$

不在（6．1）式所描述的曲面之列．
如果 $K$ 是正数，不妨设 $K=\frac{1}{a^2}(a>0)$ ，则

$$
f(u)= \pm \int \sqrt{\frac{a^2(1-c)+u^2}{c a^2-u^2}} \mathrm{~d} u
$$

由此可见，$c$ 必须取正值．设 $c=b^2(b>0)$ ，则上式成为

$$
\begin{equation*}
f(u)= \pm \int \sqrt{\frac{a^2\left(1-b^2\right)+u^2}{a^2 b^2-u^2}} \mathrm{~d} u \tag{6.9}
\end{equation*}
$$

取 $b^2=1$ ，则得到

$$
\begin{equation*}
f(u)= \pm \int \frac{u}{\sqrt{a^2-u^2}} \mathrm{~d} u=\mp \sqrt{a^2-u^2}+c_0 \tag{6.10}
\end{equation*}
$$
它的图像是半径为 $a$ 的圆周，所以将它绕 $z$ 轴旋转得到的是半径为 $a$的球面．若取 $b^2>1$ ，或 $0<b^2<1$ ，积分（6．9）式，则得到非球面的正常曲率 $K=1 / a^2$ 的旋转面，这样的曲面可以看成是将球面去掉南、北极之后再往里压，或者向外抻的结果．按照第六章 $\S 6.4$ 的讨论知道，所有这样的曲面在局部上能够建立保长对应。然而在大范围微分几何学中已经证明，Gauss 曲率为正的凸闭曲面有刚硬性，即它们不可能与其他曲面有除了刚体运动以外的保长对应，因此球面也是刚硬的。但是在上面所说的变形中，已经把球面的南、北极去掉了，因而它不再是闭曲面了，不具有刚硬性。

如果 $K$ 是负数，不妨设 $K=-\frac{1}{a^2}(a>0)$ ，则

$$
f(u)= \pm \int \sqrt{\frac{a^2(1-c)-u^2}{c a^2+u^2}} \mathrm{~d} u .
$$

由此可见，必须有 $c<1$ ．设 $c=1-b^2(b>0)$ ，则上式成为

$$
\begin{equation*}
f(u)= \pm \int \sqrt{\frac{a^2 b^2-u^2}{a^2\left(1-b^2\right)+u^2}} \mathrm{~d} u . \tag{6.11}
\end{equation*}
$$

取 $b^2=1$ ，则得到

$$
\begin{equation*}
f(u)= \pm \int \frac{\sqrt{a^2-u^2}}{u} \mathrm{~d} u . \tag{6.12}
\end{equation*}
$$

作变量替换

$$
u=a \cos \varphi, \quad 0 \leq \varphi<\frac{\pi}{2},
$$

则得

$$
f=\mp \int a \cdot \frac{\sin ^2 \varphi}{\cos \varphi} \mathrm{~d} \varphi= \pm a(\log (\sec \varphi+\tan \varphi)-\sin \varphi), 0 \leq \varphi<\frac{\pi}{2} .
$$

在 $O y z$ 平面上，由函数 $f(\varphi)$ 给出的曲线是

$$
\begin{equation*}
y=a \cos \varphi, z= \pm a(\log (\sec \varphi+\tan \varphi)-\sin \varphi), 0 \leq \varphi<\frac{\pi}{2} \tag{6.13}
\end{equation*}
$$

这是由两条曳物线构成的曲线，在 $(y, z)=(a, 0)$ 处有一个尖点，$y$ 轴是它在尖点的切线，并且 $z$ 轴是它的渐近线．把上半条曳物线绕 $z$ 轴

![图片](/uploads/2026-06/b76b00.jpg)
 
 旋转一周所得到的曲面称为 伪球面（参看图 4．8），它的方程是

$$
\begin{gather*}
r=(a \cos \varphi \cos \theta, a \cos \varphi \sin \theta, a(\log (\sec \varphi+\tan \varphi)-\sin \varphi)) \\
(0 \leq \varphi<\pi / 2, \quad 0 \leq \theta<2 \pi) \tag{6.14}
\end{gather*}
$$

伪球面是 Gauss 曲率为负常数的曲面的典型例子．
当 $0<b^2<1$ 或 $b^2>1$ 时，积分（6．11）式便给出 Gauss 曲率为负常数的旋转曲面的其他例子。

平均曲率为零的曲面称为 极小曲面．极小曲面是微分几何研究的一个重要课题。一百多年来，关于以已知曲线为边界的极小曲面的存在性（即 Plateau 问题），以及大范围极小曲面的性质和极小曲面在高维的推广，人们做了大量的研究工作，并且取得了十分丰富的成果。利用变分法可以证明，如果在所有以给定的曲线 $C$ 为边界的曲面中曲面 $S$ 的面积达到最小值，则曲面 $S$ 必定是极小曲面．在这里，我们要给出极小曲面的一些例子。

下面我们来求旋转极小曲面．设曲面 $S$ 的方程如（6．1）式给出，根据（6．2）和（6．3）式，曲面 $S$ 的平均曲率是

$$
\begin{align*}
H & =\frac{1}{2}\left(\frac{f^{\prime \prime}(u)}{\left(\sqrt{1+f^{\prime 2}(u)}\right)^3}+\frac{f^{\prime}(u)}{u \sqrt{1+f^{\prime 2}(u)}}\right) \\
& =\frac{u f^{\prime \prime}(u)+f^{\prime}(u)\left(1+f^{\prime 2}(u)\right)}{2\left(\sqrt{1+f^{\prime 2}(u)}\right)^3} \tag{6.15}
\end{align*}
$$

由此可见，如果 $S$ 是极小曲面，则函数 $f(u)$ 必须满足微分方程

$$
\begin{equation*}
u f^{\prime \prime}(u)+f^{\prime}(u)\left(1+f^{\prime 2}(u)\right)=0 \tag{6.16}
\end{equation*}
$$

上式可以改写为

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} u}\left(\frac{u f^{\prime}(u)}{\sqrt{1+f^{\prime 2}(u)}}\right)=0
$$

因此得到它的第一积分

$$
\begin{equation*}
\frac{f^{\prime 2}(u)}{1+f^{\prime 2}(u)}=\frac{c}{u^2}, \tag{6.17}
\end{equation*}
$$

这里的常数 $c$ 必须是非负数．如果 $c=0$ ，则

$$
\begin{equation*}
f^{\prime}(u)=0, \quad f(u)=\text { const }, \tag{6.18}
\end{equation*}
$$

相应的曲面是平面．假定 $c=a^2, a>0$ ，则

$$
\begin{align*}
f^{\prime}(u) & = \pm \frac{a}{\sqrt{u^2-a^2}} \\
f(u) & = \pm \int \frac{a \mathrm{~d} u}{\sqrt{u^2-a^2}}= \pm a \log \left(u+\sqrt{u^2-a^2}\right) \tag{6.19}
\end{align*}
$$

相应的极小曲面的方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\left(u \cos v, u \sin v, \pm a \log \left(u+\sqrt{u^2-a^2}\right)\right), \tag{6.20}
\end{equation*}
$$

命

$$
\begin{equation*}
u=a \cosh \frac{r}{a}, \quad v=\theta \tag{6.21}
\end{equation*}
$$

则方程（6．20）成为

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\left(a \cosh \frac{r}{a} \cos \theta, a \cosh \frac{r}{a} \sin \theta, r\right) . \tag{6.22}
\end{equation*}
$$

![图片](/uploads/2026-06/709e91.jpg)
 
 函数（6．19）的图像是一条悬链线，它绕轴旋转一周所得的曲面（6．20）称为 悬链面，是旋转曲面中的极小曲面（参看图 4．9）．

根据定义， $2 H=\kappa_1+\kappa_2$ ，所以在极小曲面上两个主曲率的绝对值相等，符号相反，因此 $K=\kappa_1 \kappa_2=-\left(\kappa_1\right)^2 \leq 0$ ．这就是说，在极小曲面上没有椭圆点，只有平点或双曲点．另外，根据 Euler 公式，极小曲面在双曲点的渐近方向是彼此正交的．事实上，若设渐近方向与 $\kappa_1$ 所对应的主方向的夹角是 $\theta$ ，则 $\theta$ 满足方程

$$
0=\kappa_n(\theta)=\kappa_1\left(\cos ^2 \theta-\sin ^2 \theta\right)=\kappa_1 \cos 2 \theta,
$$

于是 $2 \theta=\frac{\pi}{2}$ ，这正好是两个渐近方向之间的夹角．
平均曲率为非零常数的曲面也是微分几何研究的重要课题．球面和圆柱面就是这样的一类曲面．Hopf 曾经提出一个问题：寻求平均曲率为非零常数的非球面闭曲面的例子．这个问题吸引了许多几何学家的关注。经过 50 多年的努力，这个问题最后在 20 世纪80年代被解决了。在1986年，Wente 成功地构造出 $E^3$ 中平均曲率为非零常数的环面的例子，但是它和它自己会相交．在解决这个问题的过程中发展了很多数学方法，推动了数学的发展．

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