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5.1 自然标架的运动公式

第五章 曲面论基本定理
在前面两章，我们已经定义了曲面的第一基本形式和第二基本形式，并且根据这两个基本形式描述了曲面在一点附近的形状。曲面的两个基本形式 I，II 与曲面上保持定向不变的参数变换是无关的，与 $E^3$ 中直角坐标变换也是无关的，因而当曲面在空间 $E^3$ 中作刚体运动时它的两个基本形式 I，II 是保持不变的．总之，基本形式 I，II 是曲面的两个不变式．一个自然的问题是：这两个基本形式是否足以确定曲面的形状？I，II 是否构成曲面的完全的不变量系统？本章的目的是给出这些问题的肯定回答．

§5．1 自然标架的运动公式
在研究空间曲线时，我们在曲线上曲率不为零的每一个点处附加一个确定的 Frenet 标架，那么 Frenet 标架沿曲线的运动便反映出曲线本身的弯曲情况．Frenet 标架可以通过曲线的参数方程的导数和适当的代数运算显式地表示出来，从而 $E^3$ 中一条曲线可以转化为 $E^3$上所有的标架构成的空间中的一条曲线．曲线论的基本定理和存在定理都是通过标架空间中的这个单参数标架族进行证明的，因为只有这个单参数标架族在运动时给出的信息才完整地表达曲线的弯曲形状．对于空间中的正则参数曲面 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ ，我们也需要以某种确定的方式在每一点附加一个标架，这个标架就是自然标架 $\left\{r ; r_u, r_v, n\right\}$ 。与曲线的情形不同的是，自然标架和曲面的参数选择是有关系的，而且一般来说自然标架不是正交标架，更不是单位正交标架．当然，我们可以在曲面上取单位正交标架场，如 $\left\{r ; e_1, e_2, n\right\}$ ，其中 $e_1, e_2$ 是曲面在该点的彼此正交的主方向单位向量．但是，主方向本身并不能够像曲线的 Frenet 标架那样从曲面的参数方程 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ 的偏导数直截了当地显式表示出来．即使我们假定在曲面上取了正交曲率线网作

为曲面的参数曲线网，也只能做到 $r_u / / e_1, r_v / / e_2$ ，而不是 $r_u=e_1$ ， $r_v=e_2$ ．由此可见，从自然标架场出发展开我们的理论比较方便．后来 Cartan 发展了活动标架理论来研究微分几何学，在曲面上可以取任意的标架场，包括单位正交标架场，此时要用＂微分＂替代＂偏导数＂，因而相应地要用到外微分方法．我们将在第七章介绍 Cartan 的活动标架和外微分法．

由于我们要做的是多元函数的偏导数，会出现很多求和式，因此把前面所用的由 Gauss 引进的记号系统改成所谓的张量记号系统是比较方便的．首先，把曲面的参数记成带上指标的量，如 $u^1, u^2$ ，代替原来的 $u, v$ ．要注意的是，在新的记号系统中， $\mathrm{d} u^2$ 是参数 $u^2$ 的微分，而不是微分 $\mathrm{d} u$ 的平方．从上下文来看能够知道我们用的是哪一种记号系统，因此是不会混淆的．这样，曲面 $S$ 的参数方程记为

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right), \tag{1.1}
\end{equation*}
$$

并且命

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}_\alpha=\frac{\partial \boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right)}{\partial u^\alpha}, \quad \alpha=1,2 \tag{1.2}
\end{equation*}
$$
（需要指出的是，在第三章的 §3．5 我们曾经用过记号 $r_1$ 和 $r_2$ ，那时它们是指两个不同的曲面；从现在开始，如果没有特别的声明，$r_1$ 和 $r_2$ 只表示上式所定义的两个切向量）．在本书，希腊字母 $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \xi, \eta$等作为指标时取值是 1 和 2 ．于是，曲面 $S$ 的单位法向量是

$$
\begin{equation*}
n=\frac{r_1 \times r_2}{\left|r_1 \times r_2\right|} . \tag{1.3}
\end{equation*}
$$

这样，参数方程 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right)$ 的微分是

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \boldsymbol{r}=\mathrm{d} \boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right)=\sum_{\alpha=1}^2 \boldsymbol{r}_\alpha\left(u^1, u^2\right) \mathrm{d} u^\alpha=\boldsymbol{r}_\alpha\left(u^1, u^2\right) \mathrm{d} u^\alpha . \tag{1.4}
\end{equation*}
$$

在最后一式中，我们采用了 Einstein 的和式约定，即：在一个单项式中，如果同一个指标字母 $\alpha$ 出现两次，一次作为上指标，一次作为下指标，则该单项式实际上代表对于 $\alpha=1,2$ 的求和式．多对重复的指标字母表示多重的求和式，例如

$$
S_{\alpha \beta} T^{\alpha \beta \gamma}=\sum_{\alpha=1}^2 \sum_{\beta=1}^2 S_{\alpha \beta} T^{\alpha \beta \gamma}, \quad P_\alpha^\alpha=\sum_{\alpha=1}^2 P_\alpha^\alpha=P_1^1+P_2^2
$$

在求和式中，求和指标的字母本身并没有实质性意义，它们是所谓的 ＂哑＂指标，也可以用别的字母来代替，例如

$$
S_{\alpha \beta} T^{\alpha \beta \gamma}=S_{\xi \eta} T^{\xi \eta \gamma}
$$

但是这里的指标 $\gamma$ 不是哑指标，不表示求和，左、右两边应该保持一致．另外，在一个求和式中同一个指标字母出现三次以上是没有意义的，例如表达式 $S_\alpha T^{\alpha \alpha}$ 的写法是不适当的，如果要表示这样的和式必须写出和号，例如

$$
\sum_{\alpha=1}^2 S_\alpha T^{\alpha \alpha}=S_1 T^{11}+S_2 T^{22}
$$

不能用 Einstein 的和式约定．在表示多重和式时，Einstein 的和式约定起到十分重要的简化作用．

我们用 $g_{\alpha \beta}$ 和 $b_{\alpha \beta}$ 表示曲面 $S$ 的第一类基本量和第二类基本量，即

$$
\begin{align*}
& g_{\alpha \beta}=r_\alpha \cdot r_\beta \\
& b_{\alpha \beta}=r_{\alpha \beta} \cdot n=-r_\alpha \cdot n_\beta=-r_\beta \cdot n_\alpha \tag{1.5}
\end{align*}
$$

其中

$$
\boldsymbol{r}_{\alpha \beta}=\frac{\partial}{\partial u^\beta}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right)}{\partial u^\alpha}\right)
$$

这样，曲面 $S$ 的两个基本形式是

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=g_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\alpha \mathrm{d} u^\beta, \quad \mathbb{I}=b_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\alpha \mathrm{d} u^\beta \tag{1.6}
\end{equation*}
$$

另外，记

$$
\begin{equation*}
g=\operatorname{det}\left(g_{\alpha \beta}\right)=g_{11} g_{22}-\left(g_{12}\right)^2, \tag{1.7}
\end{equation*}
$$

$$
\begin{equation*}
b=\operatorname{det}\left(b_{\alpha \beta}\right)=b_{11} b_{22}-\left(b_{12}\right)^2 . \tag{1.8}
\end{equation*}
$$

既然矩阵 $\left(g_{\alpha \beta}\right)$ 是正定的，故它有逆矩阵，记为 $\left(g^{\alpha \beta}\right)$ ，于是

$$
g^{\alpha \beta} g_{\beta \gamma}=\delta_\gamma^\alpha= \begin{cases}1, & \alpha=\gamma  \tag{1.9}\\ 0, & \alpha \neq \gamma\end{cases}
$$

实际上，根据 $2 \times 2$ 可逆矩阵的逆矩阵的公式，显然有

$$
\left(\begin{array}{ll}
g^{11} & g^{12}  \tag{1.10}\\
g^{21} & g^{22}
\end{array}\right)=\frac{1}{g}\left(\begin{array}{rr}
g_{22} & -g_{12} \\
-g_{21} & g_{11}
\end{array}\right) .
$$

总起来说，Gauss 的记号和张量记号对照如下表．

![图片](/uploads/2026-06/8dba35.jpg)
 
 
 采用张量记号，正则参数曲面 $S$ 上的自然标架成为 $\left\{r ; r_1, r_2, n\right\}$ ．下面要求自然标架场的运动公式．首先根据定义，标架原点的偏导数是

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u^\alpha}=\boldsymbol{r}_\alpha . \tag{1.11}
\end{equation*}
$$

另外，既然 $r_1, r_2, n$ 是线性无关的，而 $\frac{\partial r_\alpha}{\partial u^\beta}, \frac{\partial n}{\partial u^\beta}$ 仍然是空间 $E^3$ 中的向量，因此不妨假定

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial r_\alpha}{\partial u^\beta}=\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma r_\gamma+C_{\alpha \beta} n,  \tag{1.12}\\
\frac{\partial n}{\partial u^\beta}=D_\beta^\gamma r_\gamma+D_\beta n,
\end{array}\right.
$$

其中 $\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma, C_{\alpha \beta}, D_\beta^\gamma, D_\beta$ 都是待定的系数函数．
将（1．12）式的第一式的两边用法向量 $\boldsymbol{n}$ 作内积，得到

$$
\begin{equation*}
C_{\alpha \beta}=\frac{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\beta} \cdot \boldsymbol{n}=\boldsymbol{r}_{\alpha \beta} \cdot \boldsymbol{n}=b_{\alpha \beta} \tag{1.13}
\end{equation*}
$$

即系数 $C_{\alpha \beta}$ 恰好是曲面 $S$ 的第二类基本量 $b_{\alpha \beta}$ ．将（1．12）式的第二式的两边用切向量 $r_{\xi}$ 作内积，得到

$$
\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^\beta} \cdot \boldsymbol{r}_{\xi}=D_\beta^\gamma \boldsymbol{r}_\gamma \cdot \boldsymbol{r}_{\xi}=D_\beta^\gamma g_{\gamma \xi},
$$

因此

$$
\begin{equation*}
D_\beta^\gamma g_{\gamma \xi}=-b_{\beta \xi}, \quad D_\beta^\gamma=-b_{\beta \xi} g^{\xi \gamma} . \tag{1.14}
\end{equation*}
$$

命

$$
\begin{equation*}
b_\beta^\gamma=b_{\beta \xi} g^{\xi \gamma}, \tag{1.15}
\end{equation*}
$$

把 $b_\beta^\gamma$ 看成是将 $b_{\beta \gamma}$ 的指标 $\gamma$ 借助于矩阵 $\left(g^{\alpha \beta}\right)$ 上升的结果．这个过程是可逆的，即

$$
\begin{equation*}
b_\beta^\gamma \cdot g_{\gamma \eta}=b_{\beta \xi} g^{\xi \gamma} g_{\gamma \eta}=b_{\beta \xi} \delta_\eta^{\xi}=b_{\beta \eta}, \tag{1.16}
\end{equation*}
$$

这就是说 $b_{\beta \eta}$ 是将 $b_\beta^\eta$ 的上指标 $\eta$ 借助于矩阵 $\left(g_{\alpha \beta}\right)$ 下降的结果．这样，$\left(b_\alpha^\beta\right)$ 这组量和第二类基本量 $\left(b_{\alpha \beta}\right)$ 是彼此决定的，并且系数 $D_\beta^\gamma$是

$$
\begin{equation*}
D_\beta^\gamma=-b_\beta^\gamma . \tag{1.17}
\end{equation*}
$$

另外，由于 $n$ 是单位向量场，故从（1．12）式的第二式得到 $D_\beta=0$ ．
综上所述，（1．12）式成为

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\beta}=\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma \boldsymbol{r}_\gamma+b_{\alpha \beta} \boldsymbol{n},  \tag{1.18}\\
\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^\beta}=-b_\beta^\gamma \boldsymbol{r}_\gamma .
\end{array}\right.
$$

现在我们来求系数函数 $\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma$ ．
在（1．18）式的第一式两边点乘 $\boldsymbol{r}_{\xi}$ ，则得

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}_{\alpha \beta} \cdot \boldsymbol{r}_{\xi}=\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma \boldsymbol{r}_\gamma \cdot \boldsymbol{r}_{\xi}=\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma g_{\gamma \xi} . \tag{1.19}
\end{equation*}
$$

记

$$
\begin{equation*}
\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma g_{\gamma \xi}=\Gamma_{\xi \alpha \beta}, \tag{1.20}
\end{equation*}
$$

则我们有

$$
\begin{equation*}
\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma=g^{\gamma \xi} \Gamma_{\xi \alpha \beta} . \tag{1.21}
\end{equation*}
$$

这就是说，记号 $\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma$ 的上指标 $\gamma$ 可以借助于第一类基本量的矩阵 $\left(g_{\alpha \beta}\right)$ （以后常常称它为曲面的度量矩阵）及其逆矩阵 $\left(g^{\alpha \beta}\right)$ 下降和上升。在这里我们规定，当记号 $\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma$ 的上指标 $\gamma$ 下降时落在下指标的最左边，成为 $\Gamma_{\gamma \alpha \beta}$ ．这样，（1．19）式记成

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}_{\alpha \beta} \cdot \boldsymbol{r}_{\xi}=\Gamma_{\xi \alpha \beta} . \tag{1.22}
\end{equation*}
$$

注意到

$$
\boldsymbol{r}_{\alpha \beta}=\frac{\partial}{\partial u^\beta}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right)}{\partial u^\alpha}\right)=\frac{\partial}{\partial u^\alpha}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right)}{\partial u^\beta}\right)=\boldsymbol{r}_{\beta \alpha},
$$

即函数 $\boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right)$ 的两次偏导数与求导的次序无关，因此 $\boldsymbol{r}_{\alpha \beta}$ 关于下指标 $\alpha, \beta$ 是对称的，于是记号 $\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma$ 和 $\Gamma_{\xi \alpha \beta}$ 关于下指标 $\alpha, \beta$ 是对称的，即

$$
\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma=\Gamma_{\beta \alpha}^\gamma, \quad \Gamma_{\xi \alpha \beta}=\Gamma_{\xi \beta \alpha} .
$$

对 $g_{\alpha \beta}=r_\alpha \cdot r_\beta$ 求偏导数得到

$$
\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial u^\gamma}=\boldsymbol{r}_{\alpha \gamma} \cdot \boldsymbol{r}_\beta+\boldsymbol{r}_\alpha \cdot \boldsymbol{r}_{\beta \gamma},
$$

用（1．22）式代入得到

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial u^\gamma}=\Gamma_{\beta \alpha \gamma}+\Gamma_{\alpha \beta \gamma} . \tag{1.23}
\end{equation*}
$$

将下指标进行调换得到

$$
\frac{\partial g_{\alpha \gamma}}{\partial u^\beta}=\Gamma_{\gamma \alpha \beta}+\Gamma_{\alpha \gamma \beta}, \quad \frac{\partial g_{\gamma \beta}}{\partial u^\alpha}=\Gamma_{\beta \gamma \alpha}+\Gamma_{\gamma \beta \alpha} .
$$

把上面两式相加，再减去（1．23）式，并且利用 $\Gamma_{\gamma \alpha \beta}$ 关于后两个下指标的对称性，则得

$$
2 \Gamma_{\gamma \alpha \beta}=\frac{\partial g_{\alpha \gamma}}{\partial u^\beta}+\frac{\partial g_{\gamma \beta}}{\partial u^\alpha}-\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial u^\gamma},
$$

或者

$$
\begin{equation*}
\Gamma_{\gamma \alpha \beta}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{\alpha \gamma}}{\partial u^\beta}+\frac{\partial g_{\gamma \beta}}{\partial u^\alpha}-\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial u^\gamma}\right), \tag{1.24}
\end{equation*}
$$

因此

$$
\begin{equation*}
\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma=\frac{1}{2} g^{\gamma \xi}\left(\frac{\partial g_{\alpha \xi}}{\partial u^\beta}+\frac{\partial g_{\xi \beta}}{\partial u^\alpha}-\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial u^{\xi}}\right) . \tag{1.25}
\end{equation*}
$$

由此可见，（1．18）式的系数函数 $\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma$ 是由曲面 $S$ 的第一类基本量及其一阶偏导数决定的。

通常把（1．25）式所定义的 $\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma$ 称为由曲面 $S$ 的度量矩阵 $\left(g_{\alpha \beta}\right)$ 决定的 Christoffel 记号．

我们将（1．11）和（1．18）式合起来构成为曲面 $S$ 上自然标架场 $\left\{\boldsymbol{r} ; \boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, \boldsymbol{n}\right\}$ 的 运动公式．通常把（1．18）的第一式称为曲面的 Gauss公式，把（1．18）式的第二式称为曲面的 Weingarten 公式．不难知道，（1．18）的第二式正是 Weingarten 映射 $W$ 的表达式（参看第四章的（4．22）式），这就是说，（ $b_\beta^\gamma$ ）是 Weingarten 映射 $W$ 在自然基底 $\left\{\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2\right\}$ 下的矩阵。

从上面的公式可以看出，曲面 $S$ 上自然标架场 $\left\{r ; r_1, r_2, n\right\}$ 沿参数曲线的运动公式是由曲面 $S$ 的第一类基本量和第二类基本量完全确定的．要记住，$\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma$ 的几何意义是向量 $r_{\alpha \beta}$ 用自然标架分解时在切向量 $r_\gamma$ 上的分量，而 $\Gamma_{\gamma \alpha \beta}$ 的几何意义是向量 $r_{\alpha \beta}$ 在切向量 $r_\gamma$ 上的正交投影。因此，在求 $\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma$ 时，我们既可以根据曲面的度量矩阵按照（1．25）式进行计算，也可以根据曲面的参数方程依据它的几何意义进行计算．

恢复用 Gauss 曲面论的记法，则 Christoffel 记号是

$$
\begin{array}{ll}
\Gamma_{111}=\frac{1}{2} \frac{\partial E}{\partial u}, & \Gamma_{112}=\Gamma_{121}=\frac{1}{2} \frac{\partial E}{\partial v} \\
\Gamma_{122}=\frac{\partial F}{\partial v}-\frac{1}{2} \frac{\partial G}{\partial u}, & \Gamma_{211}=\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{1}{2} \frac{\partial E}{\partial v} \\
\Gamma_{212}=\Gamma_{221}=\frac{1}{2} \frac{\partial G}{\partial u}, & \Gamma_{222}=\frac{1}{2} \frac{\partial G}{\partial v} \tag{1.26}
\end{array}
$$

以及

$$
\begin{align*}
& \Gamma_{11}^1=\frac{1}{E G-F^2}\left(\frac{G}{2} \frac{\partial E}{\partial u}+\frac{F}{2} \frac{\partial E}{\partial v}-F \frac{\partial F}{\partial u}\right), \\
& \Gamma_{12}^1=\Gamma_{21}^1=\frac{1}{E G-F^2}\left(\frac{G}{2} \frac{\partial E}{\partial v}-\frac{F}{2} \frac{\partial G}{\partial u}\right), \\
& \Gamma_{22}^1=\frac{1}{E G-F^2}\left(G \frac{\partial F}{\partial v}-\frac{G}{2} \frac{\partial G}{\partial u}-\frac{F}{2} \frac{\partial G}{\partial v}\right),  \tag{1.27}\\
& \Gamma_{11}^2=\frac{1}{E G-F^2}\left(-\frac{F}{2} \frac{\partial E}{\partial u}-\frac{E}{2} \frac{\partial E}{\partial v}+E \frac{\partial F}{\partial u}\right), \\
& \Gamma_{12}^2=\Gamma_{21}^2=\frac{1}{E G-F^2}\left(-\frac{F}{2} \frac{\partial E}{\partial v}+\frac{E}{2} \frac{\partial G}{\partial u}\right),\\
& \Gamma_{22}^2=\frac{1}{E G-F^2}\left(-F \frac{\partial F}{\partial v}+\frac{F}{2} \frac{\partial G}{\partial u}+\frac{E}{2} \frac{\partial G}{\partial v}\right) .
\end{align*}
$$

如果在曲面上取正交参数曲线网，则 $F \equiv 0$ ，上面的公式便简化成为

$$
\begin{array}{ll}
\Gamma_{11}^1=\frac{1}{2} \frac{\partial \log E}{\partial u}, & \Gamma_{12}^1=\Gamma_{21}^1=\frac{1}{2} \frac{\partial \log E}{\partial v} \\
\Gamma_{22}^1=-\frac{1}{2 E} \frac{\partial G}{\partial u}, & \Gamma_{11}^2=-\frac{1}{2 G} \frac{\partial E}{\partial v}  \tag{1.28}\\
\Gamma_{12}^2=\Gamma_{21}^2=\frac{1}{2} \frac{\partial \log G}{\partial u}, & \Gamma_{22}^2=\frac{1}{2} \frac{\partial \log G}{\partial v}
\end{array}
$$

通常，求曲面的 Christoffel 记号是用曲面的第一类基本量，套用上面的公式进行计算．但是，如果知道曲面的参数方程，则可以借助于 Christoffel 的几何意义直接来求．下面的例题采用的就是后面那种方法．

例题 求曲面 $z=f(x, y)$ 的 Christoffel 记号．
解 因为已经知道曲面的方程，所以可以从曲面的方程本身出发求它的 Christoffel 记号，不需要借助 Christoffel 记号用第一类基本量及其导数表示的表达式．曲面的参数方程是

$$
\boldsymbol{r}=(x, y, f(x, y)),
$$

因此这里的 $x, y$ 分别对应于 $u^1, u^2$ ，于是 $\Gamma_{11}^1$ 就是 $r_{11}$ 在 $r_1$ 上的分量，$\Gamma_{11}^2$ 就是 $r_{11}$ 在 $r_2$ 上的分量，如此等等．显然

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{r}_x=\left(1,0, f_x\right), \quad \boldsymbol{r}_y=\left(0,1, f_y\right), \\
\boldsymbol{r}_{x x}=\left(0,0, f_{x x}\right), \quad \boldsymbol{r}_{x y}=\left(0,0, f_{x y}\right), \quad \boldsymbol{r}_{y y}=\left(0,0, f_{y y}\right) .
\end{gathered}
$$

因此

$$
\begin{gathered}
g_{11}=1+f_x^2, \quad g_{12}=f_x f_y, \quad g_{22}=1+f_y^2 \\
g=g_{11} g_{22}-\left(g_{12}\right)^2=1+f_x^2+f_y^2
\end{gathered}
$$

相应的逆矩阵元素是

$$
g^{11}=\frac{1+f_y^2}{1+f_x^2+f_y^2}, g^{12}=-\frac{f_x f_y}{1+f_x^2+f_y^2}, g^{22}=\frac{1+f_x^2}{1+f_x^2+f_y^2} .
$$

求内积得到

$$
\begin{array}{lll}
\Gamma_{111}=\boldsymbol{r}_{11} \cdot \boldsymbol{r}_1=f_x f_{x x}, & \Gamma_{112}=\Gamma_{121}=\boldsymbol{r}_{12} \cdot \boldsymbol{r}_1=f_x f_{x y}, \\
\Gamma_{122}=\boldsymbol{r}_{22} \cdot \boldsymbol{r}_1=f_x f_{y y}, & \Gamma_{211}=\boldsymbol{r}_{11} \cdot \boldsymbol{r}_2=f_y f_{x x}, \\
\Gamma_{222}=\boldsymbol{r}_{22} \cdot \boldsymbol{r}_2=f_y f_{y y}, & \Gamma_{212}=\Gamma_{221}=\boldsymbol{r}_{12} \cdot \boldsymbol{r}_2=f_y f_{x y},
\end{array}
$$

因此

$$
\imath I t \Gamma_{11}^1=g^{11} \Gamma_{111}+g^{12} \Gamma_{211}=\frac{f_x f_{x x}}{1+f_x^2+f_y^2}
$$

$$
\begin{aligned}
\Gamma_{12}^1=\Gamma_{21}^1 & =g^{11} \Gamma_{112}+g^{12} \Gamma_{212}=\frac{f_x f_{x y}}{1+f_x^2+f_y^2}, \\
\Gamma_{22}^1=g^{11} \Gamma_{122}+g^{12} \Gamma_{222} & =\frac{f_x f_{y y}}{1+f_x^2+f_y^2}, \\
\Gamma_{11}^2=g^{21} \Gamma_{111}+g^{22} \Gamma_{211} & =\frac{f_y f_{x x}}{1+f_x^2+f_y^2}, \\
\Gamma_{12}^2=\Gamma_{21}^2=g^{21} \Gamma_{112}+g^{22} \Gamma_{212} & =\frac{f_y f_{x y}}{1+f_x^2+f_y^2}, \\
\Gamma_{22}^2=g^{21} \Gamma_{122}+g^{22} \Gamma_{222} & =\frac{f_y f_{y y}}{1+f_x^2+f_y^2} .
\end{aligned}
$$

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