最后更新: 2026-06-06 15:55 查看: 9 次纠错评论(0) 课件开VIP

5.2 曲面的唯一性定理

§5．2 曲面的唯一性定理
利用上一节所介绍的曲面上的自然标架场的运动公式，可以直接地证明，曲面在不计空间位置的情况下是由它的第一基本形式和第二基本形式唯一地确定的。

定理 2.1 设 $S_1, S_2$ 是定义在同一个参数区域 $D \subset E^2$ 上的两个正则参数曲面。若在每一点 $\left(u^1, u^2\right) \in D$ ，曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 都有相同的第一基本形式和第二基本形式，则曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 在空间 $E^3$ 的一个刚体运动下是彼此重合的。

证明 因为在 $S_1, S_2$ 上采用了同一组参数，因此在每一点 $u= \left(u^1, u^2\right) \in D$ 处曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 都有相同的第一基本形式和第二基本形式的意思是，它们在每一点都有相同的第一类基本量和第二类基本量．
假定曲面 $S_i$ 的自然标架场是 $\left\{\boldsymbol{r}^{(i)} ; \boldsymbol{r}_1^{(i)}, \boldsymbol{r}_2^{(i)}, \boldsymbol{n}^{(i)}\right\}, i=1,2$ ，任意地取定一点 $u_0=\left(u_0^1, u_0^2\right) \in D$ ，则由假定得知

$$
\begin{align*}
& \boldsymbol{r}_\alpha^{(1)}\left(u_0\right) \cdot \boldsymbol{r}_{\boldsymbol{\beta}}^{(1)}\left(u_0\right)=\boldsymbol{r}_\alpha^{(2)}\left(u_0\right) \cdot \boldsymbol{r}_{\boldsymbol{\beta}}^{(2)}\left(u_0\right)=g_{\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}}\left(u_0\right), \\
& \boldsymbol{r}_\alpha^{(1)}\left(u_0\right) \cdot \boldsymbol{n}^{(1)}\left(u_0\right)=\boldsymbol{r}_\alpha^{(2)}\left(u_0\right) \cdot \boldsymbol{n}^{(2)}\left(u_0\right)=0,  \tag{2.1}\\
& \boldsymbol{n}^{(1)}\left(u_0\right) \cdot \boldsymbol{n}^{(1)}\left(u_0\right)=\boldsymbol{n}^{(2)}\left(u_0\right) \cdot \boldsymbol{n}^{(2)}\left(u_0\right)=1,
\end{align*}
$$

并且 $\left\{\boldsymbol{r}^{(i)}\left(u_0\right) ; \boldsymbol{r}_1^{(i)}\left(u_0\right), \boldsymbol{r}_2^{(i)}\left(u_0\right), \boldsymbol{n}^{(i)}\left(u_0\right)\right\}, i=1,2$ ，都是右手系。这就是说，这两个标架具有相同的度量系数和定向，因而在空间 $E^3$ 中存在一个刚体运动 $\sigma$ ，把标架 $\left\{\boldsymbol{r}^{(2)}\left(u_0\right) ; \boldsymbol{r}_1^{(2)}\left(u_0\right), \boldsymbol{r}_2^{(2)}\left(u_0\right), \boldsymbol{n}^{(2)}\left(u_0\right)\right\}$ 变为标架 $\left\{\boldsymbol{r}^{(1)}\left(u_0\right) ; \boldsymbol{r}_1^{(1)}\left(u_0\right), \boldsymbol{r}_2^{(1)}\left(u_0\right), \boldsymbol{n}^{(1)}\left(u_0\right)\right\}$ 。用 $\sigma\left(S_2\right)$ 表示曲面 $S_2$ 在刚体运动 $\sigma$ 的作用下得到的新曲面，那么这个新的曲面与曲面 $S_1$ 在点 $u_0$ 处有相同的自然标架，并且由于曲面的第一类基本量和第二类基本量在曲面作刚体运动时是保持不变的，所以新的曲面 $\sigma\left(S_2\right)$ 与曲面 $S_1$ 在所有对应于同一个参数值的点，仍旧有相同的第一类基本量和第二类基本量，由此可见，它们的自然标架场适合同一组偏微分方程（1．11）和（1．18）．不妨把新的曲面 $\sigma\left(S_2\right)$ 仍然记为 $S_2$ ，则曲面 $S_2$ 和 $S_1$ 在点 $u_0$ 有相同的自然标架，而且处处有相同的第一类基本量和第二类基本量．我们要想证明的是，曲面 $S_2$ 和 $S_1$ 的自然标架场处处是重合的，因而曲面 $S_2$ 和 $S_1$ 是重合的。

为此，命

$$
\begin{align*}
& f_{\alpha \beta}(u)=\left(\boldsymbol{r}_\alpha^{(1)}-\boldsymbol{r}_\alpha^{(2)}\right) \cdot\left(\boldsymbol{r}_\beta^{(1)}-\boldsymbol{r}_\beta^{(2)}\right), \\
& f_\alpha(u)=\left(\boldsymbol{r}_\alpha^{(1)}-\boldsymbol{r}_\alpha^{(2)}\right) \cdot\left(\boldsymbol{n}^{(1)}-\boldsymbol{n}^{(2)}\right),  \tag{2.2}\\
& f(u)=\left(\boldsymbol{n}^{(1)}-\boldsymbol{n}^{(2)}\right)^2 .
\end{align*}
$$

由于曲面 $S_2$ 和 $S_1$ 在点 $u_0$ 有相同的自然标架，所以（2．2）式定义的函数在点 $u=u_0$ 处必定满足条件

$$
\begin{equation*}
f_{\alpha \beta}\left(u_0\right)=0, \quad f_\alpha\left(u_0\right)=0, \quad f\left(u_0\right)=0 . \tag{2.3}
\end{equation*}
$$

另外，根据自然标架的运动公式（1．18），经过直接计算得到函数 $f_{\alpha \beta}, f_\alpha$ ， $f$ 满足下列一阶线性齐次偏微分方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial f_{\alpha \beta}}{\partial u^\gamma}=\Gamma_{\gamma \alpha}^\delta f_{\delta \beta}+\Gamma_{\gamma \beta}^\delta f_{\delta \alpha}+b_{\gamma \alpha} f_\beta+b_{\gamma \beta} f_\alpha,  \tag{2.4}\\
\frac{\partial f_\alpha}{\partial u^\gamma}=-b_\gamma^\delta f_{\delta \alpha}+\Gamma_{\gamma \alpha}^\delta f_\delta+b_{\gamma \alpha} f, \\
\frac{\partial f}{\partial u^\gamma}=-2 b_\gamma^\delta f_\delta .
\end{array}\right.
$$

很明显，一阶线性齐次偏微分方程组（2．4）在初始条件（2．3）下的一个解是零解．根据一阶偏微分方程组在已知初始条件下的唯一性得知，

由（2．2）式定义的函数必定是零函数，即

$$
\begin{equation*}
f_{\alpha \beta}(u)=0, \quad f_\alpha(u)=0, \quad f(u)=0 . \tag{2.5}
\end{equation*}
$$

上面的事实说明

$$
\left|\boldsymbol{r}_\alpha^{(1)}(u)-\boldsymbol{r}_\alpha^{(2)}(u)\right|^2=f_{\alpha \alpha}(u)=0, \quad\left|\boldsymbol{n}_\alpha^{(1)}(u)-\boldsymbol{n}_\alpha^{(2)}(u)\right|^2=f(u)=0,
$$

即

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}_\alpha^{(1)}(u)=\boldsymbol{r}_\alpha^{(2)}(u), \quad \alpha=1,2 ; \quad \boldsymbol{n}^{(1)}(u)=\boldsymbol{n}^{(2)}(u) \tag{2.6}
\end{equation*}
$$

再命

$$
\begin{equation*}
h(u)=\left(\boldsymbol{r}^{(1)}(u)-\boldsymbol{r}^{(2)}(u)\right)^2, \tag{2.7}
\end{equation*}
$$

则对（2．7）式求导，并且由（2．6）式得到

$$
\frac{\partial h}{\partial u^\gamma}=2\left(\boldsymbol{r}^{(1)}(u)-\boldsymbol{r}^{(2)}(u)\right) \cdot\left(\boldsymbol{r}_\gamma^{(1)}(u)-\boldsymbol{r}_\gamma^{(2)}(u)\right)=0 .
$$

故

$$
h(u)=h\left(u_0\right)=0,
$$

即

$$
\boldsymbol{r}^{(1)}(u)=\boldsymbol{r}^{(2)}(u),
$$

这说明曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 是重合的．证毕．
上面的定理称为曲面的唯一性定理，在理论上有十分重要的意义，以后我们还要给出它的一些应用．要判断采用不同参数系的两个曲面在空间 $E^3$ 的一个刚体运动下是否能够重合，综合第三章的定理 5.1 和这里的定理 2．1，我们有下面的定理．

定理2．2 设 $S_i, i=1,2$ ，是空间 $E^3$ 中的两个正则参数曲面，其第一基本形式和第二基本形式分别是 $\mathrm{I}_i$ 和 $\mathrm{I}_i$ ．如果有光滑映射 $\sigma: S_1 \rightarrow S_2$ ，使得

$$
\begin{equation*}
\sigma^* \mathrm{I}_2=\mathrm{I}_1, \quad \sigma^* \mathbb{I}_2=\mathbb{I}_1, \tag{2.8}
\end{equation*}
$$
则在空间 $E^3$ 中存在刚体运动 $\tilde{\sigma}: E^3 \rightarrow E^3$ ，使得

$$
\sigma=\left.\tilde{\sigma}\right|_{S_1},
$$

即曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 经过 $E^3$ 的一个刚体运动是彼此重合的．
证明留给读者自己完成。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇： 5.1 自然标架的运动公式

下一篇： 5.3 曲面论基本方程

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)