最后更新: 2026-06-06 15:58 查看: 4 次纠错评论(0) 课件开VIP

5.3 曲面论基本方程

§5．3 曲面论基本方程
现在我们着手讨论曲面的存在性问题．具体地说，如果在参数区域 $D$ 上给定两个二次微分形式

$$
\begin{equation*}
\varphi=g_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\alpha \mathrm{d} u^\beta, \quad \psi=b_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\alpha \mathrm{d} u^\beta \tag{3.1}
\end{equation*}
$$

其中 $1 \leq \alpha, \beta \leq 2, g_{\alpha \beta}=g_{\beta \alpha}, b_{\alpha \beta}=b_{\beta \alpha}$ ，并且 $\varphi$ 是正定的，那么我们的问题是：在空间 $E^3$ 中是否存在参数曲面 $f: D \rightarrow E^3$ ，使得它以已知的微分形式 $\varphi, \psi$ 作为它的第一基本形式和第二基本形式？这个问题比较复杂，需要作比较深入的分析。首先我们会看到，曲面上的第一基本形式和第二基本形式有一定的联系，并不是彼此独立的；它们必须适合一定的相容性条件，这就是我们在本节要讨论的曲面论基本方程．在下一节要进一步证明，如果两个微分形式 $\varphi, \psi$ 满足这些相容性条件，则上述问题的答案是肯定的．

已知曲面 $S$ 的参数方程是 $r=r\left(u^1, u^2\right)$ ，它的第一基本形式和第二基本形式是

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=g_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\alpha \mathrm{d} u^\beta, \quad \mathbb{I}=b_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\alpha \mathrm{d} u^\beta . \tag{3.2}
\end{equation*}
$$

那么曲面 $S$ 上的自然标架场 $\left\{r ; r_1, r_2, n\right\}$ 的运动公式是

$$
\begin{align*}
& \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u^\alpha}=\boldsymbol{r}_\alpha, \\
& \frac{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\beta}=\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma \boldsymbol{r}_\gamma+b_{\alpha \beta} \boldsymbol{n},  \tag{3.3}\\
& \frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^\beta}=-b_\beta^\gamma \boldsymbol{r}_\gamma,
\end{align*}
$$

其中

$$
\begin{equation*}
\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma=\frac{1}{2} g^{\gamma \xi}\left(\frac{\partial g_{\alpha \xi}}{\partial u^\beta}+\frac{\partial g_{\xi \beta}}{\partial u^\alpha}-\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial u^{\xi}}\right), \quad b_\beta^\gamma=g^{\gamma \xi} b_{\xi \beta} . \tag{3.4}
\end{equation*}
$$

由于正则参数曲面的方程具有三次以上的连续偏导数，所以 $r_\alpha$和 $n$ 的两次偏导数是连续的，并且它们与求导的次序无关，即

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 \boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\beta \partial u^\gamma}=\frac{\partial^2 \boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\gamma \partial u^\beta}, \quad \frac{\partial^2 \boldsymbol{n}}{\partial u^\beta \partial u^\gamma}=\frac{\partial^2 \boldsymbol{n}}{\partial u^\gamma \partial u^\beta} . \tag{3.5}
\end{equation*}
$$

用（3．3）式代入上式得到

$$
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial u^\gamma}\left(\Gamma_{\alpha \beta}^\delta r_\delta+b_{\alpha \beta} n\right) & =\frac{\partial}{\partial u^\beta}\left(\Gamma_{\alpha \gamma}^\delta r_\delta+b_{\alpha \beta} n\right),  \tag{3.6}\\
\frac{\partial}{\partial u^\gamma}\left(b_\beta^\delta r_\delta\right) & =\frac{\partial}{\partial u^\beta}\left(b_\gamma^\delta r_\delta\right) . \tag{3.7}
\end{align*}
$$

将（3．6）式展开，并且再次用（3．3）式代入，整理之后得到

$$
\left(\frac{\partial}{\partial u^\gamma} \Gamma_{\alpha \beta}^\delta-\frac{\partial}{\partial u^\beta} \Gamma_{\alpha \gamma}^\delta+\Gamma_{\alpha \beta}^\eta \Gamma_{\eta \gamma}^\delta-\Gamma_{\alpha \gamma}^\eta \Gamma_{\eta \beta}^\delta-b_{\alpha \beta} b_\gamma^\delta+b_{\alpha \gamma} b_\beta^\delta\right) r_\delta
$$

$$
+\left(\Gamma_{\alpha \beta}^\delta b_{\delta \gamma}-\Gamma_{\alpha \gamma}^\delta b_{\delta \beta}+\frac{\partial b_{\alpha \beta}}{\partial u^\gamma}-\frac{\partial b_{\alpha \gamma}}{\partial u^\beta}\right) n=0 .
$$

由于 $r_1, r_2, n$ 是处处线性无关的，所以上式的系数必须为零，即有

$$
\begin{gather*}
\frac{\partial}{\partial u^\gamma} \Gamma_{\alpha \beta}^\delta-\frac{\partial}{\partial u^\beta} \Gamma_{\alpha \gamma}^\delta+\Gamma_{\alpha \beta}^\eta \Gamma_{\eta \gamma}^\delta-\Gamma_{\alpha \gamma}^\eta \Gamma_{\eta \beta}^\delta=b_{\alpha \beta} b_\gamma^\delta-b_{\alpha \gamma} b_\beta^\delta  \tag{3.8}\\
\frac{\partial b_{\alpha \beta}}{\partial u^\gamma}-\frac{\partial b_{\alpha \gamma}}{\partial u^\beta}=\Gamma_{\alpha \beta}^\delta b_{\delta \beta}-\Gamma_{\alpha \gamma}^\delta b_{\delta \gamma} \tag{3.9}
\end{gather*}
$$

注意到（3．8）式的左边只是由曲面 $S$ 的第一类基本量 $g_{\alpha \beta}$ 的不高于二阶的偏导数构成的量，可把它记成

$$
\begin{equation*}
R_{\alpha \beta \gamma}^\delta=\frac{\partial}{\partial u^\gamma} \Gamma_{\alpha \beta}^\delta-\frac{\partial}{\partial u^\beta} \Gamma_{\alpha \gamma}^\delta+\Gamma_{\alpha \beta}^\eta \Gamma_{\eta \gamma}^\delta-\Gamma_{\alpha \gamma}^\eta \Gamma_{\eta \beta}^\delta, \tag{3.10}
\end{equation*}
$$

称 $R_{\alpha \beta \gamma}^\delta$ 为曲面 $S$ 的第一类基本量的 Riemann 记号。如同 Christoffel记号 $\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma$ 一样，Riemann 记号 $R_{\alpha \beta \gamma}^\delta$ 的上指标可以借助于度量矩阵 $\left(g_{\alpha \beta}\right)$ 下降，然后该指标又能够借助于度量矩阵的逆矩阵上升，并且规定当上指标下降时落在下指标的左边第二个位置，即

$$
\begin{equation*}
R_{\alpha \delta \beta \gamma}=g_{\delta \eta} R_{\alpha \beta \gamma}^\eta, \quad R_{\alpha \beta \gamma}^\delta=g^{\delta \eta} R_{\alpha \eta \beta \gamma} \tag{3.11}
\end{equation*}
$$

这样，方程（3．8）可以改写为

$$
\begin{equation*}
R_{\alpha \beta \gamma}^\delta=b_{\alpha \beta} b_\gamma^\delta-b_{\alpha \gamma} b_\beta^\delta, \tag{3.12}
\end{equation*}
$$

或者

$$
\begin{equation*}
R_{\alpha \delta \beta \gamma}=b_{\alpha \beta} b_{\delta \gamma}-b_{\alpha \gamma} b_{\delta \beta} . \tag{3.13}
\end{equation*}
$$

上面的方程称为 Gauss 方程．同时，我们把（3．9）式称为 Codazzi 方程．很明显，Gauss－Codazzi 方程是曲面的第一类基本量和第二类基本量必须满足的相容条件．

需要指出的是，从方程（3．7）得不到新的相容条件．实际上，将 （3．7）式展开后得到

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial b_\beta^\delta}{\partial u^\gamma}-\frac{\partial b_\gamma^\delta}{\partial u^\beta}=-b_\beta^\eta \Gamma_{\eta \gamma}^\delta+b_\gamma^\eta \Gamma_{\eta \beta}^\delta . \tag{3.14}
\end{equation*}
$$

容易证明，方程（3．14）和（3．9）是等价的，请读者自己验证．
Gauss－Codazzi 方程看上去比较复杂，但是实质上在方程（3．13）中只包含一个方程，在方程（3．9）中只包含两个方程．为了说清楚上面的事实，首先需要研究 Riemann 记号 $R_{\alpha \delta \beta \gamma}$ 的重要的对称性质。实际上，由 $R_{\alpha \delta \beta \gamma}$ 的定义得到

$$
\begin{align*}
R_{\alpha \delta \beta \gamma}= & g_{\delta \eta}\left(\frac{\partial}{\partial u^\gamma} \Gamma_{\alpha \beta}^\eta-\frac{\partial}{\partial u^\beta} \Gamma_{\alpha \gamma}^\eta+\Gamma_{\alpha \beta}^{\xi} \Gamma_{\xi \gamma}^\eta-\Gamma_{\alpha \gamma}^{\xi} \Gamma_{\xi \beta}^\eta\right) \\
= & \frac{\partial \Gamma_{\delta \alpha \beta}}{\partial u^\gamma}-\frac{\partial \Gamma_{\delta \alpha \gamma}}{\partial u^\beta}-\frac{\partial g_{\delta \eta}}{\partial u^\gamma} \Gamma_{\alpha \beta}^\eta+\frac{\partial g_{\delta \eta}}{\partial u^\beta} \Gamma_{\alpha \gamma}^\eta \\
& +\Gamma_{\alpha \beta}^{\xi} \Gamma_{\delta \xi \gamma}-\Gamma_{\alpha \gamma}^{\xi} \Gamma_{\delta \xi \beta} \\
= & \frac{\partial \Gamma_{\delta \alpha \beta}}{\partial u^\gamma}-\frac{\partial \Gamma_{\delta \alpha \gamma}}{\partial u^\beta}+\Gamma_{\eta \delta \beta} \Gamma_{\alpha \gamma}^\eta-\Gamma_{\eta \delta \gamma} \Gamma_{\alpha \beta}^\eta \tag{3.15}
\end{align*}
$$

上式右端的前两项用 Christoffel 记号的表达式（1．24）代入，经整理得到

$$
\begin{align*}
R_{\alpha \delta \beta \gamma}= & \frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 g_{\delta \beta}}{\partial u^\alpha \partial u^\gamma}+\frac{\partial^2 g_{\alpha \gamma}}{\partial u^\delta \partial u^\beta}-\frac{\partial^2 g_{\delta \gamma}}{\partial u^\alpha \partial u^\beta}-\frac{\partial^2 g_{\alpha \beta}}{\partial u^\delta \partial u^\gamma}\right) \\
& +\Gamma_{\eta \delta \beta} \Gamma_{\alpha \gamma}^\eta-\Gamma_{\eta \delta \gamma} \Gamma_{\alpha \beta}^\eta \tag{3.16}
\end{align*}
$$

从（3．16）式容易看出 Riemann 记号的下列对称性：

$$
\begin{equation*}
R_{\alpha \delta \beta \gamma}=R_{\beta \gamma \alpha \delta}=-R_{\delta \alpha \beta \gamma}=-R_{\alpha \delta \gamma \beta}, \tag{3.17}
\end{equation*}
$$

即把 $R_{\alpha \delta \beta \gamma}$ 的下指标分为前后两组，（3．17）式的第一个等号表明当 $R_{\alpha \delta \beta \gamma}$ 的这两组指标交换位置时其数值不变；（3．17）式的第二个等号和第三个等号表明当每一组中的两个指标交换位置时，$R_{\alpha \delta \beta \gamma}$ 的数值只改变它的符号。由此可见，

$$
R_{11 \beta \gamma}=R_{22 \beta \gamma}=0, \quad R_{\alpha \delta 11}=R_{\alpha \delta 22}=0 .
$$

很明显，（3．13）式右端同样具有（3．17）式所示的对称性质，所以方程式（3．13）在实质上只包含一个方程，即

$$
\begin{equation*}
R_{1212}=b_{11} b_{22}-\left(b_{12}\right)^2, \tag{3.18}
\end{equation*}
$$

或者写成

$$
\begin{equation*}
b_{11} b_{22}-\left(b_{12}\right)^2=R_{1212} . \tag{3.19}
\end{equation*}
$$

在（3．9）式中，如果指标 $\beta, \gamma$ 取相同的值，则该式便成为平凡的恒等式，于是有意义的情况只有 $\beta=1, \gamma=2$ ，或者 $\beta=2, \gamma=1$ ，即

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial b_{11}}{\partial u^2}-\frac{\partial b_{12}}{\partial u^1}=-b_{2 \gamma} \Gamma_{11}^\gamma+b_{1 \gamma} \Gamma_{12}^\gamma,  \tag{3.20}\\
\frac{\partial b_{21}}{\partial u^2}-\frac{\partial b_{22}}{\partial u^1}=-b_{2 \gamma} \Gamma_{21}^\gamma+b_{1 \gamma} \Gamma_{22}^\gamma .
\end{array}\right.
$$

需要强调指出的是，Gauss 方程（3．18）和 Codazzi 方程（3．20）是 $\boldsymbol{r}_\alpha$ 和 $n$ 的两次偏导数与求导次序的无关性（即（3．5）式）的推论．反过来，如果 Gauss 方程（3．18）和 Codazzi 方程（3．20）成立，则 $r_\alpha$ 和 $n$的两次偏导数与求导的次序无关性（即（3．5）式）也成立．这就是说，如果给定了两个二次微分形式 $\varphi=g_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\alpha \mathrm{d} u^\beta, \psi=b_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\alpha \mathrm{d} u^\beta$ ，它们具有本节开始所叙述的对称性和正定性，那么我们可以构造一阶偏微分方程组（3．3），其中 $r, r_1, r_2, n$ 是向量形式的未知函数（一共是 12 个数量未知函数）．当已知函数 $g_{\alpha \beta}$ 和 $b_{\alpha \beta}$ 满足 Gauss－Codazzi 方程时，则方程组（3．3）的相容性条件

$$
\left\{\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial u^\gamma}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u^\beta}\right) & =\frac{\partial}{\partial u^\beta}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u^\gamma}\right)  \tag{3.21}\\
\frac{\partial}{\partial u^\gamma}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\beta}\right) & =\frac{\partial}{\partial u^\beta}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\gamma}\right) \\
\frac{\partial}{\partial u^\gamma}\left(\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^\beta}\right) & =\frac{\partial}{\partial u^\beta}\left(\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^\gamma}\right)
\end{align*}\right.
$$

成立．由此可见，根据一阶偏微分方程组的解的存在性定理（参看附录 §1 的定理 1．3），方程组（3．3）是可积的，即在任意给定的初始条件下方程组（3．3）的解是存在的，并且是唯一的．
在这里可以领略到曲面论和曲线论的本质差别．在曲线论的情形，曲率和挠率可以是弧长参数的任意函数（只要求曲率函数是正的）；而在曲面论的情形，两个基本微分形式 I，II 是彼此关联的，而不是相互独立的．这就是说，在 $E^3$ 中一张曲面不能够作保持第一基本形式不变的随意的弯曲变形。这个事实将导致开创微分几何新纪元的著名的 Gauss 绝妙定理．在 §5．5，我们要专门讨论这个问题．

在适当的参数系下，Riemann 记号 $R_{1212}$ 和 Codazzi 方程（3．20）能够写成便于记忆和应用的形式。为此，下面恢复用 Gauss 曲面论的记法．首先假定我们用的是正交参数曲线网 $(u, v)$ ，于是 $F \equiv 0$ ，并且 $\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma$ 有简单的表达式（参看 §5．1 的（1．28）式），因此

$$
\begin{aligned}
R_{1212}= & -\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 E}{\partial v \partial v}+\frac{\partial^2 G}{\partial u \partial u}\right)-\Gamma_{\eta 11} \Gamma_{22}^\eta+\Gamma_{\eta 12} \Gamma_{12}^\eta \\
= & -\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{\partial E}{\partial v}\right)+\frac{1}{4 E} \frac{\partial E}{\partial v} \frac{\partial E}{\partial v}+\frac{1}{4 G} \frac{\partial E}{\partial v} \frac{\partial G}{\partial v} \\
& -\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{\partial G}{\partial u}\right)+\frac{1}{4 G} \frac{\partial G}{\partial u} \frac{\partial G}{\partial u}+\frac{1}{4 E} \frac{\partial G}{\partial u} \frac{\partial E}{\partial u}
\end{aligned}
$$

也就是

$$
\begin{equation*}
R_{1212}=-\sqrt{E G}\left(\left(\frac{(\sqrt{E})_v}{\sqrt{G}}\right)_v+\left(\frac{(\sqrt{G})_u}{\sqrt{E}}\right)_u\right) \tag{3.22}
\end{equation*}
$$

如果我们在曲面上采用正交的曲率线网作为参数曲线网，则 $F= M \equiv 0$ ，因此 Codazzi 方程（3．20）成为

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial L}{\partial v}=-N \Gamma_{11}^2+L \Gamma_{12}^1=\frac{N}{2 G} \frac{\partial E}{\partial v}+\frac{L}{2 E} \frac{\partial E}{\partial v}=H \frac{\partial E}{\partial v} \\
& \frac{\partial N}{\partial u}=N \Gamma_{21}^2-L \Gamma_{22}^1=\frac{N}{2 G} \frac{\partial G}{\partial u}+\frac{L}{2 E} \frac{\partial G}{\partial u}=H \frac{\partial G}{\partial u}
\end{aligned}
$$

即

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial L}{\partial v}=H \frac{\partial E}{\partial v}, \quad \frac{\partial N}{\partial u}=H \frac{\partial G}{\partial u} \tag{3.23}
\end{equation*}
$$

其中 $H=\frac{1}{2}\left(\frac{L}{E}+\frac{N}{G}\right)$ 是曲面的平均曲率．
 Riemann 记号（3．22）式和 Codazzi 方程（3．23）是比较容易记忆的，但是必须记住它们所使用的是哪一种参数系．

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