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5.4 曲面的存在性定理

§5．4 曲面的存在性定理
本节要证明，Gauss－Codazzi 方程也是以给定的两个二次微分形式为它的两个基本形式的曲面存在的充分条件．

设 $D \subset E^2$ 是 $E^2$ 中的一个区域，设

$$
\begin{equation*}
\varphi=g_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\alpha \mathrm{d} u^\beta, \quad \psi=b_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\alpha \mathrm{d} u^\beta \tag{4.1}
\end{equation*}
$$

是定义在 $D$ 内的两个二次微分形式，其中 $g_{\alpha \beta}=g_{\beta \alpha}, b_{\alpha \beta}=b_{\beta \alpha}$ ，且矩阵 $\left(g_{\alpha \beta}\right)$ 是正定的．用 $\left(g^{\alpha \beta}\right)$ 表示 $\left(g_{\alpha \beta}\right)$ 的逆矩阵．利用 $g_{\alpha \beta}$ 及其导数构造下列各个量

$$
\begin{gather*}
\Gamma_{\gamma \alpha \beta}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{\gamma \beta}}{\partial u^\alpha}+\frac{\partial g_{\alpha \gamma}}{\partial u^\beta}-\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial u^\gamma}\right),  \tag{4.2}\\
\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma=g^{\gamma \delta} \Gamma_{\delta \alpha \beta},  \tag{4.3}\\
R_{\alpha \beta \gamma}^\delta=\frac{\partial \Gamma_{\alpha \beta}^\delta}{\partial u^\gamma}-\frac{\partial \Gamma_{\alpha \gamma}^\delta}{\partial u^\beta}+\Gamma_{\alpha \beta}^\eta \Gamma_{\eta \gamma}^\delta-\Gamma_{\alpha \gamma}^\eta \Gamma_{\eta \beta}^\delta,  \tag{4.4}\\
R_{\alpha \delta \beta \gamma}=g_{\delta \eta} R_{\alpha \beta \gamma}^\eta . \tag{4.5}
\end{gather*}
$$

定理 4.1 如果由（4．1）给出的两个二次微分形式 $\varphi, \psi$ 满足 Gauss－ Codazzi 方程

$$
\begin{align*}
& b_{11} b_{22}-\left(b_{12}\right)^2=R_{1212}, \\
& \frac{\partial b_{11}}{\partial u^2}-\frac{\partial b_{12}}{\partial u^1}=-b_{2 \gamma} \Gamma_{11}^\gamma+b_{1 \gamma} \Gamma_{12}^\gamma,  \tag{4.6}\\
& \frac{\partial b_{21}}{\partial u^2}-\frac{\partial b_{22}}{\partial u^1}=-b_{2 \gamma} \Gamma_{21}^\gamma+b_{1 \gamma} \Gamma_{22}^\gamma,
\end{align*}
$$

则在任意一点 $\left(u_0^1, u_0^2\right) \in D$ 必有它的一个邻域 $U \subset D$ ，以及在空间 $E^3$中定义在该邻域 $U$ 上的一个正则参数曲面 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right),\left(u^1, u^2\right) \in U$ ，使得它的第一基本形式和第二基本形式分别是 $\varphi$ 和 $\psi$ ，并且在 $E^3$中任意两块满足上述条件的曲面必定能够在 $E^3$ 的一个刚体运动下彼此重合。
证明 此定理的唯一性部分正是定理 2．1，所以在这里只要证明满足上述条件的曲面的存在性．利用 $\varphi, \psi$ 的系数及其导数可以列出如下的一阶线性齐次偏微分方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u^\beta}=\boldsymbol{r}_\beta  \tag{4.7}\\
\frac{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\beta}=\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma \boldsymbol{r}_\gamma+b_{\alpha \beta} \boldsymbol{n} \\
\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^\beta}=-b_\beta^\gamma \boldsymbol{r}_\gamma
\end{array}\right.
$$

其中 $r, r_1, r_2, n$ 都是写成向量形式的未知函数，因而一共有 12 个未知函数，$u^1, u^2$ 是自变量。换言之，我们把求空间 $E^3$ 中的曲面的问题归结为求空间 $E^3$ 中依赖两个参数的标架族的问题。根据一阶偏微分方程组的理论（参看附录 §1 的定理 1．3），方程组（4．7）有解的充分必要条件是方程组（4．7）满足相容性条件
$$
\left\{\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial u^\gamma}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u^\beta}\right) & =\frac{\partial}{\partial u^\beta}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u^\gamma}\right) \\
\frac{\partial}{\partial u^\gamma}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\beta}\right) & =\frac{\partial}{\partial u^\beta}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\gamma}\right) \\
\frac{\partial}{\partial u^\gamma}\left(\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^\beta}\right) & =\frac{\partial}{\partial u^\beta}\left(\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^\gamma}\right)
\end{aligned}\right.
$$

然而，上述相容性条件等价于 Gauss－Codazzi 方程，所以在定理的假设条件下方程组（4．7）是可积的．这就是说，对于任意给定的 $\left(u_0^1, u_0^2\right) \in D$ ，以及任意给定的初始值 $r^0, r_1^0, r_2^0, n^0$ ，必有它的一个邻域 $U \subset D$ 和定义在 $U$ 上的函数

$$
\begin{align*}
& \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right) \\
& \boldsymbol{r}_1=\boldsymbol{r}_1\left(u^1, u^2\right)  \tag{4.8}\\
& \boldsymbol{r}_2=\boldsymbol{r}_2\left(u^1, u^2\right) \\
& \boldsymbol{n}=\boldsymbol{n}\left(u^1, u^2\right)
\end{align*}
$$

使得它们满足方程组（4．7）和初始值

$$
\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{r}\left(u_0^1, u_0^2\right)=\boldsymbol{r}^0,  \tag{4.9}\\
\boldsymbol{r}_1\left(u_0^1, u_0^2\right)=\boldsymbol{r}_1^0, \\
\boldsymbol{r}_2\left(u_0^1, u_0^2\right)=\boldsymbol{r}_2^0, \\
\boldsymbol{n}\left(u_0^1, u_0^2\right)=\boldsymbol{n}^0 .
\end{array}\right.
$$

问题在于：这样得到的函数 $\left\{\boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right) ; \boldsymbol{r}_1\left(u^1, u^2\right), \boldsymbol{r}_2\left(u^1, u^2\right), \boldsymbol{n}\left(u^1, u^2\right)\right\}$是否构成依赖参数 $u^1, u^2$ 的标架族，即向量函数 $\boldsymbol{r}_1\left(u^1, u^2\right), \boldsymbol{r}_2\left(u^1, u^2\right)$ ， $\boldsymbol{n}\left(u^1, u^2\right)$ 是不是处处线性无关的？由 $\boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right)$ 给出的向量函数是不是一张正则参数曲面？它是否以 $\varphi$ 和 $\psi$ 为它的第一基本形式和第二基本形式？为了得到这些问题的肯定答案，初始值 $r^0, r_1^0, r_2^0, n^0$ 就不能取任意的值．因为它们将构成所求曲面在点 $\left(u_0^1, u_0^2\right)$ 处的自然标架 $\left\{r^0 ; r_1^0, r_2^0, n^0\right\}$ ，因此必须假定它们的度量系数满足下列条件：

$$
\begin{align*}
& \boldsymbol{r}_\alpha^0 \cdot \boldsymbol{r}_\beta^0=g_{\alpha \beta}\left(u_0^1, u_0^2\right) \\
& \boldsymbol{r}_\alpha^0 \cdot \boldsymbol{n}^0=0 \\
& \boldsymbol{n}^0 \cdot \boldsymbol{n}^0=1  \tag{4.10}\\
& \left(\boldsymbol{r}_1^0, \boldsymbol{r}_2^0, \boldsymbol{n}^0\right)>0
\end{align*}
$$

我们要证明：在初始值满足上述条件时，方程组（4．7）满足初始条件 （4．9）的解 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right)$ 给出了符合定理要求的正则参数曲面．

设 $\boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right), \boldsymbol{r}_1\left(u^1, u^2\right), \boldsymbol{r}_2\left(u^1, u^2\right), \boldsymbol{n}\left(u^1, u^2\right)$ 是方程组（4．7）在初始条件（4．9）下的解，考虑一组函数

$$
\left\{\begin{array}{l}
f_{\alpha \beta}\left(u^1, u^2\right)=\boldsymbol{r}_\alpha\left(u^1, u^2\right) \cdot \boldsymbol{r}_\beta\left(u^1, u^2\right)-g_{\alpha \beta}\left(u^1, u^2\right),  \tag{4.11}\\
f_\alpha\left(u^1, u^2\right)=\boldsymbol{r}_\alpha\left(u^1, u^2\right) \cdot \boldsymbol{n}\left(u^1, u^2\right), \\
f\left(u^1, u^2\right)=\boldsymbol{n}\left(u^1, u^2\right) \cdot \boldsymbol{n}\left(u^1, u^2\right)-1,
\end{array}\right.
$$

根据条件（4．10）和（4．9），这组函数满足初始条件

$$
\begin{equation*}
f_{\alpha \beta}\left(u_0^1, u_0^2\right)=f_\alpha\left(u_0^1, u_0^2\right)=f\left(u_0^1, u_0^2\right)=0 . \tag{4.12}
\end{equation*}
$$

对函数 $f_{\alpha \beta}\left(u^1, u^2\right), f_\alpha\left(u^1, u^2\right), f\left(u^1, u^2\right)$ 求偏导数，并利用函数 $\boldsymbol{r}_\alpha\left(u^1\right.$ ， $\left.u^2\right), \boldsymbol{n}\left(u^1, u^2\right)$ 所满足的方程（4．7），得到

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial f_{\alpha \beta}}{\partial u^\gamma}=\Gamma_{\gamma \alpha}^\delta f_{\delta \beta}+\Gamma_{\gamma \beta}^\delta f_{\delta \alpha}+b_{\gamma \alpha} f_\beta+b_{\gamma \beta} f_\alpha  \tag{4.13}\\
\frac{\partial f_\alpha}{\partial u^\gamma}=-b_\gamma^\delta f_{\delta \alpha}+\Gamma_{\gamma \alpha}^\delta f_\delta+b_{\gamma \alpha} f \\
\frac{\partial f}{\partial u^\gamma}=-2 b_\gamma^\delta f_\delta .
\end{array}\right.
$$

注意到这里的方程组（4．13）和初始条件（4．12）与 §5．2 的方程组（2．4）和初始条件（2．3）是相同的，因此只能有零解，即在 $U$ 上有恒等式

$$
f_{\alpha \beta}\left(u^1, u^2\right)=f_\alpha\left(u^1, u^2\right)=f\left(u^1, u^2\right) \equiv 0,
$$

所以在 $U$ 上如下的式子恒成立：

$$
\begin{align*}
& \boldsymbol{r}_\alpha\left(u^1, u^2\right) \cdot \boldsymbol{r}_\beta\left(u^1, u^2\right)=g_{\alpha \beta}\left(u^1, u^2\right) \\
& \boldsymbol{r}_\alpha\left(u^1, u^2\right) \cdot \boldsymbol{n}\left(u^1, u^2\right)=0  \tag{4.14}\\
& \boldsymbol{n}\left(u^1, u^2\right) \cdot \boldsymbol{n}\left(u^1, u^2\right)=1
\end{align*}
$$

另外，由上式得到

$$
\begin{aligned}
\left(r_1, r_2, n\right)^2 & =\operatorname{det}\left(\left(\begin{array}{c}
r_1 \\
r_2 \\
n
\end{array}\right) \cdot\left(r_1, r_2, n\right)\right) \\
& =\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}
g_{11} & g_{12} & 0 \\
g_{21} & g_{22} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)=\operatorname{det}\left(g_{\alpha \beta}\right)>0
\end{aligned}
$$

即向量函数 $\boldsymbol{r}_1\left(u^1, u^2\right), \boldsymbol{r}_2\left(u^1, u^2\right), \boldsymbol{n}\left(u^1, u^2\right)$ 是处处线性无关的。由于解的连续性，并且 $\left(\boldsymbol{r}_1\left(u_0^1, u_0^2\right), \boldsymbol{r}_2\left(u_0^1, u_0^2\right), \boldsymbol{n}\left(u_0^1, u_0^2\right)\right)>0$ ，因此处处有

$$
\begin{equation*}
\left(\boldsymbol{r}_1\left(u^1, u^2\right), \boldsymbol{r}_2\left(u^1, u^2\right), \boldsymbol{n}\left(u^1, u^2\right)\right)>0, \tag{4.15}
\end{equation*}
$$
即 $\left\{\boldsymbol{r}_1\left(u^1, u^2\right), \boldsymbol{r}_2\left(u^1, u^2\right), \boldsymbol{n}\left(u^1, u^2\right)\right\}$ 成右手系．因为 $\boldsymbol{r}_1 \perp \boldsymbol{n}, \boldsymbol{r}_2 \perp \boldsymbol{n}, \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{n} =1$ ，所以

$$
\begin{equation*}
n=\frac{r_1 \times r_2}{\left|r_1 \times r_2\right|} . \tag{4.16}
\end{equation*}
$$

从函数 $\boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right)$ 满足方程（4．7）的第一式可知，若把 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right)$看作 $E^3$ 中的一张曲面，则 $\boldsymbol{r}_1\left(u^1, u^2\right), \boldsymbol{r}_2\left(u^1, u^2\right)$ 是该曲面的参数曲线的切向量．因为这两个切向量线性无关（参看（4．15）），故该曲面是正则参数曲面，并且 $n\left(u^1, u^2\right)$ 是它的单位法向量．由（4．14）式的第一式得知，$\varphi$ 是它的第一基本形式；从方程（4．7）的第二式可知，$\psi$ 是它的第二基本形式．证毕．

从曲面的存在性定理的证明可以看出，把曲面看作一族标架的观念是十分重要的和基本的．把曲面放到标架空间中去看，未知函数的偏导数不再含有新的未知函数。在第七章，我们要更加细致地研究空间 $E^3$ 中的标架族的理论，而曲面的存在性定理就成为标架族存在性定理的一个特例．

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