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6.1 测地曲率和测地挠率

第六章 测地曲率和测地线

由 Gauss 开创的曲面内蕴几何学有丰富的内容．本章的重点是研究曲面上曲线的测地曲率和测地线，在研究它们的外在特征和性质的同时，更主要的是证明它们可以通过曲面的第一基本形式进行计算，而与曲面的第二基本形式无关，因此它们在曲面的保长对应下是保持不变的，是曲面的内蕴性质．通过本章的学习，使我们了解曲面内蕴几何学的主要研究对象是什么，从而为今后学习黎曼几何学打下基础．
§6．1 测地曲率和测地挠率
设正则参数曲面 $S$ 的方程是 $r=r\left(u^1, u^2\right), C$ 是曲面 $S$ 上的一条曲线，它的方程是 $u^\alpha=u^\alpha(s), \alpha=1,2$ ，其中 $s$ 是曲线 $C$ 的弧长参数．那么 $C$ 作为空间 $E^3$ 中的曲线的参数方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)=\boldsymbol{r}\left(u^1(s), u^2(s)\right) . \tag{1.1}
\end{equation*}
$$

在第二章我们曾经沿空间曲线 $C$ 建立了 Frenet 标架 $\{\boldsymbol{r}(s) ; \boldsymbol{\alpha}(s), \boldsymbol{\beta}(s)$ ， $\gamma(s)\}$ ．但是，曲线 $C$ 的 Frenet 标架场没有考虑到目前的曲线 $C$ 落在曲面 $S$ 上的事实，因此 Frenet 标架及其运动公式（Frenet 公式）自然不会反映曲线 $C$ 和曲面 $S$ 之间相互约束的关系。现在，我们要沿曲线 $C$ 建立一个新的正交标架场 $\left\{r ; e_1, e_2, e_3\right\}$ ，使得它兼顾曲线 $C$ 和曲面 $S$ ，其定义是（参看图 6．1）

$$
\begin{align*}
& \boldsymbol{e}_1=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}(s)}{\mathrm{d} s}=\boldsymbol{\alpha}(s)  \tag{1.2}\\
& \boldsymbol{e}_3=\boldsymbol{n}(s)  \tag{1.3}\\
& \boldsymbol{e}_2=\boldsymbol{e}_3 \times \boldsymbol{e}_1=\boldsymbol{n}(s) \times \boldsymbol{\alpha}(s) \tag{1.4}
\end{align*}
$$

在直观上，向量 $e_2$ 是将曲线 $C$ 的切向量 $e_1=\alpha$ 围绕曲面 $S$ 的单位法向量 $n$ 按正向旋转 $90^{\circ}$ 得到的．与第二章 $\S 2.7$ 相对照不难发现，

![图片](/uploads/2026-06/19613c.jpg)
 
 我们在这里对于曲面 $S$ 上的曲线 $C$ 建立正交标架场的做法和 $\S 2.7$ 对于平面曲线建立正交标架场的做法是一致的．换言之，我们现在的目标是把平面上的曲线论推广成为曲面 $S$ 上的曲线论．

首先，我们要建立曲面 $S$ 上沿曲线 $C$ 的正交标架场 $\left\{r ; e_1, e_2, e_3\right\}$的运动公式．因为这是单位正交标架场，所以可以假设（参看习题 2.4的第11题）

$$
\begin{array}{ll}
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}(s)}{\mathrm{d} s}= & \boldsymbol{e}_1, \\
\frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{e}_1(s)}{\mathrm{d} s}= & \kappa_g \boldsymbol{e}_2+\kappa_n \boldsymbol{e}_3,  \tag{1.5}\\
\frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{e}_2(s)}{\mathrm{d} s}=-\kappa_g \boldsymbol{e}_1 & +\tau_g \boldsymbol{e}_3, \\
\frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{e}_3(s)}{\mathrm{d} s}=-\kappa_n \boldsymbol{e}_1-\tau_g \boldsymbol{e}_2, &
\end{array}
$$

其中 $\kappa_g, \kappa_n, \tau_g$ 是待定的系数函数．很明显，

$$
\kappa_n=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{e}_1(s)}{\mathrm{d} s} \cdot \boldsymbol{e}_3=\boldsymbol{r}^{\prime \prime}(s) \cdot \boldsymbol{n}
$$

所以 $\kappa_n$ 恰好是曲面 $S$ 沿曲线 $C$ 的切方向的法曲率．根据（1．5）式得
到

$$
\begin{equation*}
\kappa_g=\frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}(s)}{\mathrm{d} s^2} \cdot \boldsymbol{e}_2=\boldsymbol{r}^{\prime \prime}(s) \cdot\left(\boldsymbol{n}(s) \times \boldsymbol{r}^{\prime}(s)\right)=\left(\boldsymbol{n}(s), \boldsymbol{r}^{\prime}(s), \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(s)\right), \tag{1.6}
\end{equation*}
$$

称 $\kappa_g$ 为曲面 $S$ 上的曲线 $C$ 的 测地曲率．另外

$$
\begin{align*}
\tau_g & =\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{e}_2}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{n}=\frac{\mathrm{d}\left(\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{r}^{\prime}(s)\right)}{\mathrm{d} s} \cdot \boldsymbol{n} \\
& =\left(\boldsymbol{n}^{\prime}(s) \times \boldsymbol{r}^{\prime}(s)\right) \cdot \boldsymbol{n}=\left(\boldsymbol{n}(s), \boldsymbol{n}^{\prime}(s), \boldsymbol{r}^{\prime}(s)\right) \tag{1.7}
\end{align*}
$$

称 $\tau_g$ 为曲面 $S$ 上的曲线 $C$ 的测地挠率．
下面我们来讨论曲面 $S$ 上的曲线 $C$ 的测地曲率的表达式和性质．从（1．6）式得到

$$
\begin{align*}
\kappa_g & =n \cdot\left(\boldsymbol{r}^{\prime}(s) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(s)\right)=\boldsymbol{n} \cdot(\boldsymbol{\alpha}(s) \times(\kappa \boldsymbol{\beta}(s))) \\
& =\kappa \boldsymbol{n} \cdot \gamma(s)=\kappa \cos \tilde{\theta} \tag{1.8}
\end{align*}
$$

其中 $\tilde{\theta}$ 是曲线 $C$ 的次法向量 $\gamma$ 和曲面 $S$ 的法向量 $n$ 的夹角，也是曲线 $C$ 的主法向量 $\beta$ 和曲面 $S$ 的切平面的夹角。公式（1．5）的第二式还能够写成

$$
\kappa \boldsymbol{\beta}(s)=\kappa_g e_2+\kappa_n \boldsymbol{n}
$$

所以

$$
\begin{equation*}
\kappa^2=\kappa_g^2+\kappa_n^2 \tag{1.9}
\end{equation*}
$$

在第四章 §4．2，我们已经知道

$$
\begin{equation*}
\kappa_n=\kappa \cos \theta \tag{1.10}
\end{equation*}
$$

其中 $\theta$ 是曲线 $C$ 的主法向量 $\beta$ 和曲面 $S$ 的法向量 $n$ 的夹角．利用法曲率的几何解释可以容易地得到测地曲率的几何解释．

定理1．1 设 $C$ 是在曲面 $S$ 上的一条正则曲线，则曲线 $C$ 在点 $p$ 的测地曲率等于把曲线 $C$ 投影到曲面 $S$ 在点 $p$ 的切平面上所得的

![图片](/uploads/2026-06/d9aa7d.jpg)
 
 曲线在该点的相对曲率，其中切平面的的正向由曲面 $S$ 在点 $p$ 的法向量 $n$ 给出．

证明 此定理可以通过直接计算来证明．但是，在这里我们采用更加几何的方式，利用法曲率的几何解释来证明．

设曲面 $S$ 在点 $p$ 的切平面是 $\Pi$ ，从 $C$ 上各点向平面 $\Pi$ 作垂直的投影线，这些投影线构成一个柱面，记为 $\tilde{S}$（参看图6．2），那么曲线 $C$是曲面 $S$ 和 $\tilde{S}$ 的交线，曲面 $S$ 在点 $p$ 的法向量 $n$ 是曲面 $\tilde{S}$ 在点 $p$ 的切向量。因为曲线 $C$ 是曲面 $S$ 和 $\tilde{S}$ 的交线，所以曲线 $C$ 的切向量 $e_1$既是曲面 $S$ 的切向量，也是曲面 $\tilde{S}$ 的切向量，因此

$$
e_2=n \times e_1
$$

是曲面 $\tilde{S}$ 的法向量．
设曲线 $\tilde{C}$ 是曲面 $\tilde{S}$ 和平面 $\Pi$ 的交线，它正好是曲线 $C$ 在平面 $\Pi$ 上的投影曲线。由于 $e_2$ 是曲面 $\tilde{S}$ 的法向量，故 $\pi$ 是曲面 $\tilde{S}$ 的法截面。于是，从曲面 $\tilde{S}$ 上来观察，投影曲线 $\tilde{C}$ 是曲面 $\tilde{S}$ 上与曲线 $C$ 相切的一条法截线，而且法截面 $\Pi$ 的正向是由 $n$ 给出的，即从 $e_1$ 到 $e_2$的夹角是 $+90^{\circ}$ ．
设曲线 $C$ 的方程是 $r=r(s)$ ，则
$C$ 作为曲面 $S$ 上的曲线的测地曲率 $\kappa_g$

$$
\begin{aligned}
& =\frac{\mathrm{d}^2 r(s)}{\mathrm{d} s^2} \cdot e_2 \\
& =C \text { 作为曲面 } \tilde{S} \text { 上的曲线的法曲率 } \tilde{\kappa}_n \\
& =\text { 曲面 } \tilde{S} \text { 上与 } C \text { 相切的法截线 } \tilde{C} \text { 的法曲率 } \\
& =\tilde{C} \text { 作为平面 } \Pi \text { 上的曲线的相对曲率, }
\end{aligned}
$$

上式的最后一个等号是由于第四章的定理 2．1．证毕．
定理 1.2 曲面 $S$ 上的任意一条曲线 $C$ 的测地曲率 $\kappa_g$ 在曲面 $S$作保长对应时是保持不变的，即曲面上曲线的测地曲率是属于曲面内蕴几何学的量．

证明 曲面 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right)$ 上任意一条曲线 $C: u^1=u^1(s), u^2= u^2(s)$ 作为空间 $E^3$ 中的曲线的参数方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}(s)=\boldsymbol{r}\left(u^1(s), u^2(s)\right), \tag{1.11}
\end{equation*}
$$
其中 $s$ 是弧长参数．所以

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{e}_1(s)=\boldsymbol{\alpha}(s)=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}(s)}{\mathrm{d} s}=\boldsymbol{r}_\alpha \frac{\mathrm{d} u^\alpha(s)}{\mathrm{d} s} \tag{1.12}
\end{equation*}
$$

于是

$$
\begin{align*}
& \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{e}_1(s)}{\mathrm{d} s}=\frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}(s)}{\mathrm{d} s^2}=\boldsymbol{r}_{\alpha \beta} \frac{\mathrm{d} u^\alpha(s)}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta(s)}{\mathrm{d} s}+\boldsymbol{r}_\alpha \frac{\mathrm{d}^2 u^\alpha(s)}{\mathrm{d} s^2} \\
& \quad=\left(\frac{\mathrm{d}^2 u^\gamma(s)}{\mathrm{d} s^2}+\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma \frac{\mathrm{d} u^\alpha(s)}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta(s)}{\mathrm{d} s}\right) \boldsymbol{r}_\gamma+b_{\alpha \beta} \frac{\mathrm{d} u^\alpha(s)}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta(s)}{\mathrm{d} s} n \tag{1.13}
\end{align*}
$$

因此

$$
\begin{equation*}
\kappa_g=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{e}_1(s)}{\mathrm{d} s} \cdot \boldsymbol{e}_2(s)=\left(\frac{\mathrm{d}^2 u^\gamma(s)}{\mathrm{d} s^2}+\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma \frac{\mathrm{d} u^\alpha(s)}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta(s)}{\mathrm{d} s}\right) \boldsymbol{r}_\gamma \cdot \boldsymbol{e}_2 \tag{1.14}
\end{equation*}
$$

但是

$$
\boldsymbol{e}_2=n \times \boldsymbol{e}_1=n \times\left(\frac{\mathrm{d} u^1(s)}{\mathrm{d} s} \boldsymbol{r}_1+\frac{\mathrm{d} u^2(s)}{\mathrm{d} s} \boldsymbol{r}_2\right),
$$

故

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{r}_1 \cdot \boldsymbol{e}_2=\frac{\mathrm{d} u^2(s)}{\mathrm{d} s} \boldsymbol{r}_1 \cdot\left(\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{r}_2\right)=-\frac{\mathrm{d} u^2(s)}{\mathrm{d} s}\left|\boldsymbol{r}_1 \times \boldsymbol{r}_2\right|, \\
& \boldsymbol{r}_2 \cdot \boldsymbol{e}_2=\frac{\mathrm{d} u^1(s)}{\mathrm{d} s} \boldsymbol{r}_2 \cdot\left(\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{r}_1\right)=\frac{\mathrm{d} u^1(s)}{\mathrm{d} s}\left|\boldsymbol{r}_1 \times \boldsymbol{r}_2\right|,
\end{aligned}
$$

因此

$$
\begin{align*}
& \kappa_g=\left|\boldsymbol{r}_1 \times \boldsymbol{r}_2\right|\left(\frac{\mathrm{d} u^1}{\mathrm{~d} s}( \right.\left.\frac{\mathrm{d}^2 u^2}{\mathrm{~d} s^2}+\Gamma_{\alpha \beta}^2 \frac{\mathrm{~d} u^\alpha}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta}{\mathrm{d} s}\right) \\
&\left.-\frac{\mathrm{d} u^2}{\mathrm{~d} s}\left(\frac{\mathrm{~d}^2 u^1}{\mathrm{~d} s^2}+\Gamma_{\alpha \beta}^1 \frac{\mathrm{~d} u^\alpha}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta}{\mathrm{d} s}\right)\right) \\
&=\sqrt{g_{11} g_{22}-\left(g_{12}\right)^2}\left|\begin{array}{cc}
\frac{\mathrm{d} u^1}{\mathrm{~d} s} & \frac{\mathrm{~d}^2 u^1}{\mathrm{~d} s^2}+\Gamma_{\alpha \beta}^1 \frac{\mathrm{~d} u^\alpha}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta}{\mathrm{d} s} \\
\frac{\mathrm{~d} u^2}{\mathrm{~d} s} & \frac{\mathrm{~d}^2 u^2}{\mathrm{~d} s^2}+\Gamma_{\alpha \beta}^2 \frac{\mathrm{~d} u^\alpha}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta}{\mathrm{d} s}
\end{array}\right| . \tag{1.15}
\end{align*}
$$

由于上面的式子只依赖曲面 $S$ 的第一类基本量及其导数，以及在曲面 $S$ 的曲纹坐标下曲线 $C$ 的参数方程及其导数，而与曲面 $S$ 的第二类基本形式无关，所以当曲面 $S$ 作保长变形时，曲线 $C$ 的测地曲率 $\kappa_g$是保持不变的．证毕．

公式（1．15）比较容易记忆，但是在计算时比较复杂．如果在曲面 $S$ 上取正交参数系，则曲面 $S$ 上的曲线 $C$ 的测地曲率 $\kappa_g$ 能够写成比较简单的表达式，称为 Liouville 公式（参看（1．16）式），它有很多应用．下面我们恢复使用 Gauss 的记号。

定理1．3 设 $(u, v)$ 是曲面 $S$ 上的正交参数系，因而曲面 $S$ 的第一基本形式是 $\mathrm{I}=E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2$ 。设 $C: u=u(s), v=v(s)$ 是曲面 $S$ 上的一条曲线，其中 $s$ 是弧长参数．假定曲线 $C$ 与 $u$－曲线的夹角
是 $\theta$ ，则曲线 $C$ 的测地曲率是

$$
\begin{equation*}
\kappa_g=\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}-\frac{1}{2 \sqrt{G}} \frac{\partial \log E}{\partial v} \cos \theta+\frac{1}{2 \sqrt{E}} \frac{\partial \log G}{\partial u} \sin \theta . \tag{1.16}
\end{equation*}
$$

证明 把 $u$－曲线和 $v$－曲线的单位切向量分别记成 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ ，于是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\alpha}_1=\frac{1}{\sqrt{E}} \boldsymbol{r}_u, \quad \boldsymbol{\alpha}_2=\frac{1}{\sqrt{G}} \boldsymbol{r}_v, \tag{1.17}
\end{equation*}
$$

因此曲线 $C$ 的单位切向量能够表示成

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}(s)}{\mathrm{d} s} & =\boldsymbol{e}_1=\cos \theta \boldsymbol{\alpha}_1+\sin \theta \boldsymbol{\alpha}_2 \\
& =\boldsymbol{r}_u \frac{\mathrm{~d} u(s)}{\mathrm{d} s}+\boldsymbol{r}_v \frac{\mathrm{~d} v(s)}{\mathrm{d} s}=\sqrt{E} \frac{\mathrm{~d} u(s)}{\mathrm{d} s} \boldsymbol{\alpha}_1+\sqrt{G} \frac{\mathrm{~d} v(s)}{\mathrm{d} s} \boldsymbol{\alpha}_2
\end{aligned}
$$

所以

$$
\begin{equation*}
\cos \theta=\sqrt{E} \frac{\mathrm{~d} u(s)}{\mathrm{d} s}, \quad \sin \theta=\sqrt{G} \frac{\mathrm{~d} v(s)}{\mathrm{d} s}, \tag{1.18}
\end{equation*}
$$

其中 $\theta$ 是 $\boldsymbol{r}^{\prime}(s)$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 的夹角．
因为切向量 $e_2$ 是将切向量 $e_1$ 在切平面内作正向旋转 $90^{\circ}$ 得到的，即 $e_2=n \times e_1$ ，所以

$$
\begin{equation*}
e_2=-\sin \theta \alpha_1+\cos \theta \alpha_2 . \tag{1.19}
\end{equation*}
$$
但是

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}(s)}{\mathrm{d} s^2} & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} s}\left(\cos \theta \boldsymbol{\alpha}_1+\sin \theta \boldsymbol{\alpha}_2\right) \\
& =\left(-\sin \theta \boldsymbol{\alpha}_1+\cos \theta \boldsymbol{\alpha}_2\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}++\cos \theta \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s}+\sin \theta \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}_2}{\mathrm{~d} s},
\end{aligned}
$$

所以

$$
\kappa_g=\frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}(s)}{\mathrm{d} s^2} \cdot \boldsymbol{e}_2=\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}+\cos \theta \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{e}_2+\sin \theta \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}_2}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{e}_2 .
$$

然而

$$
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{\alpha}_1=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}_2}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{\alpha}_2=0, \quad \frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{\alpha}_2=-\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}_2}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{\alpha}_1,
$$

因此

$$
\begin{align*}
\kappa_g= & \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}+\cos \theta \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s} \cdot\left(-\sin \theta \boldsymbol{\alpha}_1+\cos \theta \boldsymbol{\alpha}_2\right) \\
& +\sin \theta \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}_2}{\mathrm{~d} s} \cdot\left(-\sin \theta \boldsymbol{\alpha}_1+\cos \theta \boldsymbol{\alpha}_2\right) \\
= & \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}+\cos ^2 \theta \frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{\alpha}_2-\sin ^2 \theta \frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{\alpha}_2}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{\alpha}_1 \\
= & \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}+\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{\alpha}_2 . \tag{1.20}
\end{align*}
$$

由（1．17）式得到

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} s}\left(\frac{1}{\sqrt{E}}\right) \boldsymbol{r}_u+\frac{1}{\sqrt{E}}\left(\boldsymbol{r}_{u u} \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} s}+\boldsymbol{r}_{u v} \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} s}\right), \\
& \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{\alpha}_2=\frac{1}{\sqrt{E G}}\left(\boldsymbol{r}_{u u} \cdot \boldsymbol{r}_v \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} s}+\boldsymbol{r}_{u v} \cdot \boldsymbol{r}_v \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} s}\right) .
\end{aligned}
$$

因为 $r_u$ 和 $r_v$ 是彼此正交的，容易得知

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{r}_{u u} \cdot \boldsymbol{r}_v & =\left(\boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{r}_v\right)_u-\boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{r}_{u v}=-\boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{r}_{u v} \\
& =-\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial v}\left(\boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{r}_u\right)=-\frac{1}{2} \frac{\partial E}{\partial v} \\
\boldsymbol{r}_{u v} \cdot \boldsymbol{r}_v & =\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial u}\left(\boldsymbol{r}_v \cdot \boldsymbol{r}_v\right)=\frac{1}{2} \frac{\partial G}{\partial u}
\end{aligned}
$$

所以

$$
\begin{gather*}
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{\alpha}_2=\frac{1}{\sqrt{E G}}\left(-\frac{1}{2 \sqrt{E}} \frac{\partial E}{\partial v} \cos \theta+\frac{1}{2 \sqrt{G}} \frac{\partial G}{\partial u} \sin \theta\right) \\
=-\frac{1}{2 \sqrt{G}} \frac{\partial \log E}{\partial v} \cos \theta+\frac{1}{2 \sqrt{E}} \frac{\partial \log G}{\partial u} \sin \theta \tag{1.21}
\end{gather*}
$$

因此

$$
\kappa_g=\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}-\frac{1}{2 \sqrt{G}} \frac{\partial \log E}{\partial v} \cos \theta+\frac{1}{2 \sqrt{E}} \frac{\partial \log G}{\partial u} \sin \theta
$$

证毕．
作为特例，考虑 $u$－曲线的测地曲率 $\kappa_{g 1}$ ．此时 $\theta=0$ ，因此

$$
\begin{equation*}
\kappa_{g 1}=-\frac{1}{2 \sqrt{G}} \frac{\partial \log E}{\partial v} \tag{1.22}
\end{equation*}
$$

同时，对于 $v$－曲线，$\theta=\frac{\pi}{2}$ ，因此它的测地曲率 $\kappa_{g 2}$ 是

$$
\begin{equation*}
\kappa_{g 2}=\frac{1}{2 \sqrt{E}} \frac{\partial \log G}{\partial u} . \tag{1.23}
\end{equation*}
$$

这样，公式（1．16）又可以写成

$$
\begin{equation*}
\kappa_g=\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}+\kappa_{g 1} \cos \theta+\kappa_{g 2} \sin \theta . \tag{1.24}
\end{equation*}
$$

最后，我们来讨论测地挠率．由自然标架的运动公式得到

$$
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{n}(s)}{\mathrm{d} s}=\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^\alpha} \frac{\mathrm{d} u^\alpha(s)}{\mathrm{d} s}=-b_\alpha^\beta \frac{\mathrm{d} u^\alpha}{\mathrm{d} s} \boldsymbol{r}_\beta,
$$

于是从（1．7）式得到

$$
\begin{aligned}
\tau_g & =\left(\boldsymbol{n}(s), \boldsymbol{n}^{\prime}(s), \boldsymbol{r}^{\prime}(s)\right)=-b_\alpha^\beta \frac{\mathrm{d} u^\alpha}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\gamma}{\mathrm{d} s}\left(\boldsymbol{n}, \boldsymbol{r}_\beta, \boldsymbol{r}_\gamma\right) \\
& =\left(-b_\alpha^1 \frac{\mathrm{~d} u^\alpha}{\mathrm{d} s} \frac{(\mathrm{~d} u)^2}{\mathrm{~d} s}+b_\alpha^2 \frac{\mathrm{~d} u^\alpha}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^1}{\mathrm{~d} s}\right)\left|\boldsymbol{r}_1 \times \boldsymbol{r}_2\right| \\
& =\sqrt{g}\left(-b_2^1\left(\frac{(\mathrm{~d} u)^2}{\mathrm{~d} s}\right)^2+\left(b_2^2-b_1^1\right) \frac{\mathrm{d} u^1}{\mathrm{~d} s} \frac{(\mathrm{~d} u)^2}{\mathrm{~d} s}+b_1^2\left(\frac{\mathrm{~d} u^1}{\mathrm{~d} s}\right)^2\right) .
\end{aligned}
$$

由于

$$
g^{11}=\frac{g_{22}}{g}, \quad g^{12}=g^{21}=-\frac{g_{12}}{g}, \quad g^{22}=\frac{g_{11}}{g},
$$

所以

$$
\begin{gathered}
-b_2^1=-g^{11} b_{12}-g^{12} b_{22}=\frac{1}{g}\left|\begin{array}{ll}
g_{12} & g_{22} \\
b_{12} & b_{22}
\end{array}\right|, \\
b_2^2-b_1^1=g^{21} b_{12}+g^{22} b_{22}-g^{11} b_{11}-g^{12} b_{21}=\frac{1}{g}\left|\begin{array}{ll}
g_{11} & g_{22} \\
b_{11} & b_{22}
\end{array}\right|, \\
b_1^2=g^{21} b_{11}+g^{22} b_{21}=\frac{1}{g}\left|\begin{array}{ll}
g_{11} & g_{12} \\
b_{11} & b_{12}
\end{array}\right|,
\end{gathered}
$$

因此

$$
\tau_g=\frac{1}{\sqrt{g}}\left|\begin{array}{ccc}
\left(\frac{(\mathrm{d} u)^2}{\mathrm{~d} s}\right)^2 & -\frac{\mathrm{d} u^1}{\mathrm{~d} s} \frac{(\mathrm{~d} u)^2}{\mathrm{~d} s} & \left(\frac{\mathrm{~d} u^1}{\mathrm{~d} s}\right)^2  \tag{1.25}\\
g_{11} & g_{12} & g_{22} \\
b_{11} & b_{12} & b_{22}
\end{array}\right| .
$$

从测地挠率的表达式可以看出，曲面 $S$ 上的曲线 $C$ 的测地挠率和法曲率一样，只是曲面 $S$ 上的切方向的函数，反映的是曲面 $S$ 本身的性质，而不只是曲面 $S$ 上的曲线 $C$ 的性质。特别是，如果曲面 $S$ 上有两条在一点相切的曲线，则这两条曲线在该点有相同的测地挠率．很明显，测地挠率不是曲面 $S$ 的内蕴几何量．与第四章的主方向所满足的方程（4．16）相对照不难发现，主方向恰好是曲面上使测地挠率为零的切方向。因此，曲面上的曲率线正好是沿其切方向的测地挠率为零的曲线．换言之，曲率线的微分方程是 $\tau_g=0$ ．实际上，习题 6.1 的第7题将告诉我们 $\tau_g=\frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d} \kappa_n(\theta)}{\mathrm{d} \theta}$ ，因此 $\kappa_n(\theta)$ 取极值的方向（即曲面的主方向）恰好是 $\tau_g$ 取零值的方向．

下面的定理也很有意思．
定理 1.4 在曲面 $S$ 上非直线的渐近曲线 $C$ 的挠率是曲面 $S$ 沿曲线 $C$ 的切方向的测地挠率．

证明 第四章的习题 4.2 的第 7 题实际上就是本定理．在这里，我们通过考查沿非直线的渐近曲线 $C$ 的 Frenet 标架来进行证明．由于曲线 $C$ 是非直线的渐近曲线，故 $\kappa \neq 0$ ，但是 $\kappa_n \equiv 0$ ，于是（1．5）式成为

$$
\begin{array}{lcl}
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}(s)}{\mathrm{d} s}= & \boldsymbol{e}_1, & \\
\frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{e}_1}{\mathrm{~d} s}= & \left|\kappa_g\right|\left(\varepsilon \boldsymbol{e}_2\right), \\
\frac{\mathrm{d}\left(\varepsilon \boldsymbol{e}_2\right)}{\mathrm{d} s}=-\left|\kappa_g\right| \boldsymbol{e}_1 & +\tau_g\left(\varepsilon \boldsymbol{e}_3\right),  \tag{1.26}\\
\frac{\mathrm{d}\left(\varepsilon \boldsymbol{e}_3\right)}{\mathrm{d} s}= & -\tau_g\left(\varepsilon \boldsymbol{e}_2\right) .
\end{array}
$$

因为

$$
\kappa_g^2=\kappa_g^2+\kappa_n^2=\kappa^2 \neq 0
$$

所以 $\left\{\boldsymbol{r}(\boldsymbol{s}) ; \boldsymbol{e}_1, \varepsilon \boldsymbol{e}_2, \varepsilon \boldsymbol{e}_3\right\}$ 恰好是曲线 $C$ 的 Frenet 标架，其中 $\varepsilon=\operatorname{sign} \kappa_g$ ．因此（1．26）式说明曲线 $C$ 的曲率是 $\left|\kappa_g\right|$ ，挠率是 $\tau_g$ ．证毕．

总起来说，本节介绍了曲面 $S$ 上的曲线 $C$ 的测地曲率和测地挠率的概念，其中测地曲率是曲面 $S$ 的内蕴几何量，与曲面 $S$ 的第二基本形式无关；测地挠率是曲面 $S$ 在任意一点的切方向的函数，它与法曲率有密切的关系，实际上测地挠率是法曲率作为切方向的函数的导数之半。从方法上来讲，沿曲面 $S$ 上的曲线 $C$ 建立与曲面 $S$ 和曲线 $C$ 都有关联的单位正交标架场是十分重要的。实际上，这是把平面上曲线的 Frenet 标架场搬到曲面上的情形。测地曲率的 Liouville 公式是十分有用的，它的推导过程有典型意义，应该予以足够的重视．

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