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6.2 测地线(1)

§6．2 测地线
曲面 $S$ 上的法曲率和测地挠率不是曲面 $S$ 的内蕴几何量，因此渐近曲线和曲率线也都不属于曲面的内蕴几何的概念．曲面 $S$ 上曲线 $C$ 的测地曲率和它们不一样，当曲面 $S$ 作保长变形时，曲线 $C$ 的测地曲率是保持不变的．由此可见，曲面 $S$ 上曲线 $C$ 的测地曲率是内蕴几何量，因此曲面 $S$ 上测地曲率为零的曲线，即测地线，属于曲面的内蕴几何学研究的内容．在本节，我们要研究曲面上的测地线的特征和性质，既要从曲面的外在几何的角度来观测，更要从曲面内蕴几何的角度进行研究．

定义 2.1 在曲面 $S$ 上测地曲率恒等于零的曲线称为曲面 $S$ 上的测地线．

很明显，平面曲线的测地曲率就是它的相对曲率，因此平面上的测地线就是该平面上的直线．由此可见，曲面上的测地线的概念是平面上的直线概念的推广．在本节我们将从各个方面来解释这种推广的含义。

定理 2.1 曲面 $S$ 上的一条曲线 $C$ 是测地线，当且仅当它或者是一条直线，或者它的主法向量处处是曲面 $S$ 的法向量．

证明 在 §6．1 已经知道曲面 $S$ 上的曲线 $C$ 的测地曲率是

$$
\kappa_g=\kappa \cos \tilde{\theta},
$$

其中 $\tilde{\theta}$ 是曲线 $C$ 的次法向量和曲面 $S$ 的法向量的夹角（参看（1．8）式）．当 $C$ 是曲面 $S$ 上的测地线时，$\kappa_g \equiv 0$ ，所以在曲线 $C$ 的每一点必须有 $\kappa=0$ ，或者 $\cos \tilde{\theta}=0$ ．如果在曲线 $C$ 上处处有 $\kappa=0$ ，则该曲线 $C$ 是一条直线；如果在曲线 $C$ 的点 $p$ 处 $\kappa(p) \neq 0$ ，则由曲率函数 $\kappa$ 的连续性得知在点 $p$ 的一个邻域内处处有 $\kappa \neq 0$ ，于是 $\cos \tilde{\theta} \equiv 0$ ，因此 $\tilde{\theta}=\frac{\pi}{2}$ ，即曲线 $C$ 的次法向量和曲面 $S$ 的法向量垂直，这就是说，曲线 $C$ 的主法向量是曲面 $S$ 的法向量．反过来是明显的．证毕．

例题 1 试证：旋转面 $S$ 上的经线是该曲面 $S$ 的测地线。
解 旋转面 $S$ 上的经线是经过旋转轴的平面与曲面 $S$ 的交线，它是旋转面的母线，旋转面 $S$ 就是一条经线绕旋转轴旋转一周产生的．作为平面曲线，经线的法线就是它的主法线，并且该法线必定经过旋转轴，因而它和旋转面 $S$ 的平行圆也垂直。由此可见，旋转面 $S$ 上经线的法线（主法线）同时是曲面 $S$ 的法线，故经线是旋转面 $S$ 上的测地线．特别地，球面上的大圆周都是测地线．

例题 2 证明：如果在曲面 $S$ 上运动的质点 $p$ 只受到将它约束在曲面 $S$ 上的力的作用，则点 $p$ 的轨迹 $C$ 是曲面 $S$ 上的测地线。

解 设质点 $p$ 的运动方程是 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)$ ，它所受到的约束力 $\boldsymbol{F}$ 只是将它约束在曲面 $S$ 上，因此约束力 $\boldsymbol{F}$ 的方向沿曲面 $S$ 的法方向。根据 Newton 第二定律，

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{F}=m \frac{\mathrm{~d}^2 \boldsymbol{r}(t)}{\mathrm{d} t^2}, \tag{2.1}
\end{equation*}
$$

其中 $m$ 是质点 $p$ 的质量。因此

$$
\frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}(t)}{\mathrm{d} t^2} \cdot \frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{r}(t)}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{m} \boldsymbol{F} \cdot \frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{r}(t)}{\mathrm{d} t}=0
$$

于是

$$
\frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t}\left(\frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{r}(t)}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{r}(t)}{\mathrm{d} t}\right)=\frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}(t)}{\mathrm{d} t^2} \cdot \frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{r}(t)}{\mathrm{d} t}=0
$$

这就是说

$$
\begin{equation*}
\left|\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}(t)}{\mathrm{d} t}\right|=\text { 常数, } \tag{2.2}
\end{equation*}
$$

故质点 $p$ 在曲面 $S$ 上作匀速运动，这说明时间参数 $t$ 与弧长参数 $s$ 成比例。由此可见，$\frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}(t)}{\mathrm{d} t^2}$ 恰好指向轨迹曲线 $C$ 的主法线方向，而方程（2．1）说明曲线 $C$ 的主法向量是曲面 $S$ 的法向量，故曲线 $C$ 是曲面 $S$ 上的测地线．证毕．

为了在一般的曲面 $S$ 上求测地线，需要知道曲面 $S$ 上的测地线所满足的微分方程．比较（1．5）式的第二式和（1．13）式得知

$$
\begin{equation*}
\kappa_g \boldsymbol{e}_2=\left(\frac{\mathrm{d}^2 u^\gamma}{\mathrm{d} s^2}+\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma \frac{\mathrm{d} u^\alpha}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta}{\mathrm{d} s}\right) \boldsymbol{r}_\gamma \tag{2.3}
\end{equation*}
$$

然而 $\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2$ 是线性无关的，因此 $\kappa_g \equiv 0$ 的充分必要条件是

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d}^2 u^\gamma}{\mathrm{d} s^2}+\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma \frac{\mathrm{d} u^\alpha}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta}{\mathrm{d} s}=0, \quad \gamma=1,2 . \tag{2.4}
\end{equation*}
$$

这就是曲面 $S$ 上的测地线所满足的微分方程，并且该方程只涉及曲面 $S$ 的第一基本形式，而与曲面 $S$ 的第二基本形式无关。因此，这是曲面 $S$ 上的测地线属于曲面内蕴几何范畴的微分方程．

若引进新的未知函数 $v^\gamma$ ，则二阶常微分方程组（2．4）便降阶成为一阶常微分方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\mathrm{d} \dot{u}^\gamma}{\mathrm{d} s}=v^\gamma,  \tag{2.5}\\
\frac{\mathrm{d} v^\gamma}{\mathrm{d} s}=-\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma v^\alpha v^\beta,
\end{array}\right.
$$

这是拟线性常微分方程组．根据常微分方程组的理论，对于任意给定的初始值 $\left(u_0^1, u_0^2 ; v_0^1, v_0^2\right)$ ，必存在 $\varepsilon>0$ ，使得方程组（2．5）有定义在区间 $(-\varepsilon, \varepsilon)$ 上的唯一解 $u^\gamma=u^\gamma(s), v^\gamma=v^\gamma(s)$ ，满足初始条件

$$
\begin{equation*}
u^\gamma(0)=u_0^\gamma, \quad v^\gamma(0)=v_0^\gamma . \tag{2.6}
\end{equation*}
$$

很明显，函数组 $u^\gamma=u^\gamma(s), \gamma=1,2$ 满足测地线的微分方程组（2．4）．
如果初始值 $\left(u_0^1, u_0^2 ; v_0^1, v_0^2\right)$ 满足条件

$$
\begin{equation*}
g_{\alpha \beta}\left(u_0^1, u_0^2\right) v_0^\alpha v_0^\beta=1, \tag{2.7}
\end{equation*}
$$

则能够证明如上所给出的解函数 $u^\gamma=u^\gamma(s)$ 是曲面 $S$ 上以弧长 $s$ 为参数的一条测地线。实际上，如果命

$$
\begin{equation*}
f(s)=g_{\alpha \beta}\left(u^1(s), u^2(s)\right) \frac{\mathrm{d} u^\alpha(s)}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta(s)}{\mathrm{d} s}-1, \tag{2.8}
\end{equation*}
$$

则

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} f(s)}{\mathrm{d} s} & =\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial u^\gamma} \frac{\mathrm{d} u^\gamma}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\alpha}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta}{\mathrm{d} s}+2 g_{\alpha \beta} \frac{\mathrm{d}^2 u^\alpha}{\mathrm{d} s^2} \frac{\mathrm{~d} u^\beta}{\mathrm{d} s} \\
& =\left(\Gamma_{\alpha \beta \gamma}+\Gamma_{\beta \alpha \gamma}\right) \frac{\mathrm{d} u^\gamma}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\alpha}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta}{\mathrm{d} s}-2 g_{\alpha \beta} \Gamma_{\gamma \delta}^\alpha \frac{\mathrm{d} u^\gamma}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\delta}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta}{\mathrm{d} s}=0
\end{aligned}
$$

并且根据（2．7）式有 $f(0)=0$ ，所以

$$
f(s) \equiv 0 .
$$

这意味着，由方程 $u^\gamma=u^\gamma(s), \gamma=1,2$ 给出的曲线 $C$ 是正则曲线，并且 $s$ 是它的弧长参数．上面的讨论可以归结为

定理 2.2 对于曲面 $S$ 上的任意一点 $p$ 和曲面 $S$ 在点 $p$ 的任意一个单位切向量 $v$ ，在曲面 $S$ 上必存在唯一的一条以弧长为参数的测地线 $C$ 通过点 $p$ ，并且在点 $p$ 以 $\boldsymbol{v}$ 为它的切向量．

在平面上，直线显然具有定理 2.2 所叙述的性质．
需要指出，定理 2.2 的证明本身说明，方程组（2．4）的解 $u^\gamma= u^\gamma(s), \gamma=1,2$ 必定满足

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} s}\left(g_{\alpha \beta}\left(u^1(s), u^2(s)\right) \frac{\mathrm{d} u^\alpha(s)}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta(s)}{\mathrm{d} s}\right)=0 . \tag{2.9}
\end{equation*}
$$

因此只要初始值 $\left(v_0^1, v_0^2\right) \neq 0$ ，则

$$
\left|\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}(s)}{\mathrm{d} s}\right|^2=g_{\alpha \beta}\left(u^1(s), u^2(s)\right) \frac{\mathrm{d} u^\alpha(s)}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta(s)}{\mathrm{d} s}
$$

$$
=g_{\alpha \beta}\left(u_0^1, u_0^2\right) v_0^\alpha v_0^\beta=\text { 常数 } \neq 0 \text {. }
$$

这就是说，曲线 $C: r=r\left(u^1(s), u^2(s)\right)$ 是正则曲线，并且参数 $s$ 与弧长成比例．特别是，当条件（2．7）成立时，即切向量 $v$ 的长度为 1 时， $s$ 恰好是它的弧长参数．

如果在曲面 $S$ 上取正交参数系 $(u, v)$ ，则利用测地曲率的 Liouville公式，测地线的微分方程组还可以写成

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} s}=\frac{1}{\sqrt{E}} \cos \theta  \tag{2.10}\\
\frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} s}=\frac{1}{\sqrt{G}} \sin \theta \\
\frac{\mathrm{~d} \theta}{\mathrm{~d} s}=\frac{1}{2 \sqrt{G}} \frac{\partial \log E}{\partial v} \cos \theta-\frac{1}{2 \sqrt{E}} \frac{\partial \log G}{\partial u} \sin \theta
\end{array}\right.
$$

例题 3 求旋转面 $S: \boldsymbol{r}=(u \cos v, u \sin v, f(u))$ 上的测地线。
解 经直接计算得到，曲面 $S$ 的第一基本形式是

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=\left(1+\left(f^{\prime}(u)\right)^2\right)(\mathrm{d} u)^2+u^2(\mathrm{~d} v)^2 \tag{2.11}
\end{equation*}
$$
因此 $(u, v)$ 是曲面 $S$ 的正交参数系．根据（2．10）式，曲面 $S$ 上的测地线方程是

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} s}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(f^{\prime}(u)\right)^2}} \cos \theta,  \tag{2.12}\\
\frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} s}=\frac{1}{u} \sin \theta, \\
\frac{\mathrm{~d} \theta}{\mathrm{~d} s}=-\frac{1}{u \sqrt{1+\left(f^{\prime}(u)\right)^2}} \sin \theta .
\end{array}\right.
$$

消去参数 $s$ 得到

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} u}=\frac{\sqrt{1+\left(f^{\prime}(u)\right)^2}}{u} \tan \theta,  \tag{2.13}\\
\frac{\mathrm{~d} \theta}{\mathrm{~d} u}=-\frac{1}{u} \tan \theta .
\end{array}\right.
$$
将上式的第二式积分得到

$$
\begin{equation*}
u \sin \theta=c, \tag{2.14}
\end{equation*}
$$

因此

$$
\begin{gathered}
\cos \theta=\sqrt{1-\frac{c^2}{u^2}}, \quad \tan \theta=\frac{c}{\sqrt{u^2-c^2}} \\
\frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} u}=\frac{c \sqrt{1+\left(f^{\prime}(u)\right)^2}}{u \sqrt{u^2-c^2}}
\end{gathered}
$$

所以

$$
\begin{equation*}
v=v_0+\int_{u_0}^u \frac{c \sqrt{1+\left(f^{\prime}(u)\right)^2}}{u \sqrt{u^2-c^2}} \mathrm{~d} u \tag{2.15}
\end{equation*}
$$

即为所求的测地线．当 $c=0$ 时，则得经线是旋转面的测地线．
众所周知，在平面上连接两点的最短线是以这两点为端点的直线段。在曲面上，测地线具有类似的性质。下面先简要地介绍曲面 $S$ 」：的曲线 $C$ 的变分的概念．

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