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6.2 测地线(2)

设 $C: u^\alpha=u^\alpha(s), \alpha=1,2$ 是曲面 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right)$ 上的一条曲线，其中 $a \leq s \leq b$ ，且 $s$ 是曲线 $C$ 的弧长参数．如果存在定义在区域 $[a, b] \times(-\varepsilon, \varepsilon)$ 上的可微函数

$$
\begin{equation*}
u^\alpha=u^\alpha(s, t) \quad \alpha=1,2, \tag{2.16}
\end{equation*}
$$

使得

$$
\begin{equation*}
u^\alpha(s, 0)=u^\alpha(s) \tag{2.17}
\end{equation*}
$$

则称（2．16）式是曲线 $C$ 的一个 变分．如果进一步有

$$
\begin{equation*}
u^\alpha(a, t)=u^\alpha(a), \quad u^\alpha(b, t)=u^\alpha(b), \quad-\varepsilon<t<\varepsilon, \tag{2.18}
\end{equation*}
$$

则称该变分有固定的端点．在直观上，对于每一个参数 $t \in(-\varepsilon, \varepsilon)$ ，函数组（2．16）给出了一条曲线 $C_t$ ，它的参数方程是

$$
\begin{equation*}
u^\alpha=u_t^\alpha(s)=u^\alpha(s, t), \quad a \leq s \leq b . \tag{2.19}
\end{equation*}
$$

条件（2．17）说明已知的曲线 $C$ 是这族曲线中的一员，且 $C=C_0$ ．因此，所谓的曲线 $C$ 的变分就是把它嵌入到在它周围变化的一个曲线族 $C_t$ 中去．条件（2．18）的意思是，曲线 $C$ 的变分曲线 $C_t$ 和曲线 $C$本身有相同的起点和终点，即它们有公共的端点。需要指出的是，尽管可以假定参数 $s$ 是曲线 $C$ 的弧长参数，但是 $s$ 未必是变分曲线 $C_t$的弧长参数．

用 $L(C)$ 表示曲线 $C$ 的长度，即

$$
\begin{equation*}
L(C)=\int_a^b \sqrt{g_{\alpha \beta}\left(u^1(s), u^2(s)\right) \frac{\mathrm{d} u^\alpha(s)}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta(s)}{\mathrm{d} s}} \mathrm{~d} s \tag{2.20}
\end{equation*}
$$

曲线 $C$ 是连接它的两个端点的最短线的意思是，它的长度不会比连接曲线 $C$ 的端点的其他曲线的长度更长．特别是，如果把曲线 $C$ 嵌入到任意一个有相同端点的变分曲线族 $C_t$ 中时，必定有 $L(C) \leq L\left(C_t\right)$ ，于是应该有

$$
\begin{equation*}
\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0} L\left(C_t\right)=0 \tag{2.21}
\end{equation*}
$$

当曲面 $S$ 上的曲线 $C$ 关于它的一个变分 $C_t$ 满足条件（2．21），则称曲线 $C$ 的弧长在它的变分曲线 $C_t$ 中达到临界值．需要指出的是，上面的做法完全忽略了曲面 $S$ 的外在特征，而只与曲面 $S$ 的第一基本形式有关，这就是说，上述考虑属于曲面 $S$ 的内蕴几何的范畴．

下面我们要把条件（2．21）表示出来．首先对曲线 $C$ 的变分作一些观察。命

$$
\begin{equation*}
v^\alpha(s)=\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{t=0} u^\alpha(s, t), \quad \boldsymbol{v}(s)=v^\alpha(s) \boldsymbol{r}_\alpha\left(u^1(s), u^2(s)\right) \tag{2.22}
\end{equation*}
$$

则 $\boldsymbol{v}(s)$ 是曲面 $S$ 上沿曲线 $C$ 定义的一个切向量场，称为变分（2．16）的 变分向量场（参看图 6．3）．实际上，变分向量 $v\left(s_0\right)$ 是变分（2．16）在 $s=s_0$（常数）时给出的曲线 $u^\alpha=u^\alpha\left(s_0, t\right),-\varepsilon<t<\varepsilon$ 在 $t=0$ 处的切向量．条件（2．18）意味着 $v(a)=0, v(b)=0$ ，即对于曲线 $C$ 的有固定端点的变分而言，它的变分向量场在端点的值为零．反过来，如果在

![图片](/uploads/2026-06/88fcd4.jpg)
  
  曲面 $S$ 上沿曲线 $C$ 给定了一个切向量场 $v(s)$ ，则可以定义曲线 $C$ 的一个变分，使得它的变分向量场是 $v(s)$ ．实际上，只要命

$$
\begin{equation*}
u^\alpha(s, t)=u^\alpha(s)+t v^\alpha(s) \tag{2.23}
\end{equation*}
$$

就可以了．很明显，当 $\boldsymbol{v}(a)=0, \boldsymbol{v}(b)=0$ 时，上面的变分确实有固定的端点。

假定曲面 $S$ 的第一基本形式是

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=g_{\alpha \beta}\left(u^1, u^2\right) \mathrm{d} u^\alpha \mathrm{d} u^\beta \tag{2.24}
\end{equation*}
$$

则变分曲线 $C_t$ 的长度是

$$
\begin{equation*}
L\left(C_t\right)=\int_a^b \sqrt{g_{\alpha \beta}\left(u^1(s, t), u^2(s, t)\right) \frac{\partial u^\alpha(s, t)}{\partial s} \frac{\partial u^\beta(s, t)}{\partial s}} \mathrm{~d} s \tag{2.25}
\end{equation*}
$$

所以

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} L\left(C_t\right)= & \int_a^b \frac{\partial}{\partial t}\left(\sqrt{g_{\alpha \beta} \frac{\partial u^\alpha}{\partial s} \frac{\partial u^\beta}{\partial s}}\right) \mathrm{d} s \\
= & \frac{1}{2} \int_a^b\left(\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial u^\gamma} \frac{\partial u^\gamma}{\partial t} \frac{\partial u^\alpha}{\partial s} \frac{\partial u^\beta}{\partial s}+2 g_{\alpha \beta} \frac{\partial^2 u^\alpha}{\partial s \partial t} \frac{\partial u^\beta}{\partial s}\right) \\
& \cdot\left(g_{\alpha \beta} \frac{\partial u^\alpha}{\partial s} \frac{\partial u^\beta}{\partial s}\right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{~d} s
\end{aligned}
$$

因为 $s$ 是曲线 $C=C_0$ 的弧长参数，因此

$$
\left.g_{\alpha \beta} \frac{\partial u^\alpha}{\partial s} \frac{\partial u^\beta}{\partial s}\right|_{t=0}=1,
$$

所以

$$
\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} L\left(C_t\right)\right|_{t=0}=\int_a^b \frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial u^\gamma} v^\gamma(s) \frac{\mathrm{d} u^\alpha}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta}{\mathrm{d} s}+2 g_{\alpha \beta} \frac{\mathrm{d} v^\alpha}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta}{\mathrm{d} s}\right) \mathrm{d} s
$$

由于

$$
\begin{aligned}
& g_{\alpha \beta} \frac{\mathrm{d} v^\alpha}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta}{\mathrm{d} s}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} s}\left(g_{\alpha \beta} v^\alpha \frac{\mathrm{d} u^\beta}{\mathrm{d} s}\right)-v^\alpha \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} s}\left(g_{\alpha \beta} \frac{\mathrm{d} u^\beta}{\mathrm{d} s}\right) \\
& \quad=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} s}\left(g_{\alpha \beta} v^\alpha \frac{\mathrm{d} u^\beta}{\mathrm{d} s}\right)-v^\alpha\left(\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial u^\gamma} \frac{\mathrm{d} u^\gamma}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta}{\mathrm{d} s}+g_{\alpha \beta} \frac{\mathrm{d}^2 u^\beta}{\mathrm{d} s^2}\right)
\end{aligned}
$$

代入前面的式子后再用分部积分得到
$$
\begin{align*}
\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} L\left(C_t\right)\right|_{t=0}= & \int_a^b\left(\frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} s}\left(g_{\alpha \beta} v^\alpha \frac{\mathrm{d} u^\beta}{\mathrm{d} s}\right)-v^\alpha\left(g_{\alpha \beta} \frac{\mathrm{d}^2 u^\beta}{\mathrm{d} s^2}\right.\right. \\
& \left.\left.+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial u^\gamma}+\frac{\partial g_{\alpha \gamma}}{\partial u^\beta}-\frac{\partial g_{\gamma \beta}}{\partial u^\alpha}\right) \frac{\mathrm{d} u^\gamma}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\beta}{\mathrm{d} s}\right)\right) \mathrm{d} s \\
= & \left.g_{\alpha \beta} v^\alpha \frac{\mathrm{d} u^\beta}{\mathrm{d} s}\right|_{s=a} ^{s=b}-\int_a^b g_{\alpha \beta} v^\alpha\left(\frac{\mathrm{d}^2 u^\beta}{\mathrm{d} s^2}+\Gamma_{\gamma \delta}^\beta \frac{\mathrm{d} u^\gamma}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\delta}{\mathrm{d} s}\right) \mathrm{d} s \tag{2.26}
\end{align*}
$$

假定变分有固定的端点，则 $v^\alpha(a)=v^\alpha(b)=0$ ，于是

$$
\begin{equation*}
\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} L\left(C_t\right)\right|_{t=0}=-\int_a^b g_{\alpha \beta} v^\alpha\left(\frac{\mathrm{d}^2 u^\beta}{\mathrm{d} s^2}+\Gamma_{\gamma \delta}^\beta \frac{\mathrm{d} u^\gamma}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\delta}{\mathrm{d} s}\right) \mathrm{d} s . \tag{2.27}
\end{equation*}
$$

（2．26）式称为曲面 $S$ 上曲线 $C$ 的弧长的 第一变分公式，而（2．27）式称为曲面 $S$ 上曲线 $C$ 关于有固定端点的变分的弧长的第一变分公式。

定理 2.3 设 $C$ 是曲面 $S$ 上的一条曲线，则 $C$ 的弧长在它的任意一个有固定端点的变分 $C_t$ 中达到临界值的充分必要条件是，曲线 $C$ 是曲面 $S$ 上的测地线．

证明 设曲线 $C$ 是曲面 $S$ 上的一条测地线，则它的参数方程 $u^\alpha=u^\alpha(s)$ 满足微分方程组

$$
\frac{\mathrm{d}^2 u^\beta}{\mathrm{d} s^2}+\Gamma_{\gamma \delta}^\beta \frac{\mathrm{d} u^\gamma}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\delta}{\mathrm{d} s}=0 .
$$

于是，根据第一变分公式（2．27），对于曲线 $C$ 的任意一个有固定端点的变分 $C_t$ 下式成立：

$$
\begin{equation*}
\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} L\left(C_t\right)\right|_{t=0}=0 . \tag{2.28}
\end{equation*}
$$

反过来，假定对于曲线 $C$ 的任意一个有固定端点的变分 $C_t$ ，条件 （2．28）式都成立．取

$$
\begin{equation*}
v^\alpha(s)=\sin \frac{(s-a) \pi}{b-a}\left(\frac{\mathrm{~d}^2 u^\alpha}{\mathrm{d} s^2}+\Gamma_{\xi \eta}^\alpha \frac{\mathrm{d} u^{\xi}}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\eta}{\mathrm{d} s}\right) \tag{2.29}
\end{equation*}
$$

则 $v^\alpha(a)=v^\alpha(b)=0$ ，于是在曲面 $S$ 上有曲线 $C$ 的、以 $v^\alpha(s)$ 为变分向量场的变分 $C_t$ ，它有固定的端点．将（2．29）式代入（2．27）式得到

$$
\begin{aligned}
\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} L\left(C_t\right)\right|_{t=0}= & \int_a^b \sin \frac{(s-a) \pi}{b-a} g_{\alpha \beta}\left(\frac{\mathrm{d}^2 u^\alpha}{\mathrm{d} s^2}+\Gamma_{\xi \eta}^\alpha \frac{\mathrm{d} u^{\xi}}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\eta}{\mathrm{d} s}\right) \\
& \cdot\left(\frac{\mathrm{d}^2 u^\beta}{\mathrm{d} s^2}+\Gamma_{\gamma \delta}^\beta \frac{\mathrm{d} u^\gamma}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\delta}{\mathrm{d} s}\right) \mathrm{d} s
\end{aligned}
$$

根据（2．3）式，

$$
\begin{aligned}
\left(\kappa_g\right)^2 & =\left(\kappa_g e_2\right) \cdot\left(\kappa_g e_2\right) \\
& =\left(\frac{\mathrm{d}^2 u^\alpha}{\mathrm{d} s^2}+\Gamma_{\xi \eta}^\alpha \frac{\mathrm{d} u^{\xi}}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\eta}{\mathrm{d} s}\right)\left(\frac{\mathrm{d}^2 u^\beta}{\mathrm{d} s^2}+\Gamma_{\gamma \delta}^\beta \frac{\mathrm{d} u^\gamma}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\delta}{\mathrm{d} s}\right) r_\alpha \cdot r_\beta \\
& =g_{\alpha \beta}\left(\frac{\mathrm{d}^2 u^\alpha}{\mathrm{d} s^2}+\Gamma_{\xi \eta}^\alpha \frac{\mathrm{d} u^{\xi}}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\eta}{\mathrm{d} s}\right)\left(\frac{\mathrm{d}^2 u^\beta}{\mathrm{d} s^2}+\Gamma_{\gamma \delta}^\beta \frac{\mathrm{d} u^\gamma}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\delta}{\mathrm{d} s}\right)
\end{aligned}
$$

因此条件（2．28）成为

$$
\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} L\left(C_t\right)\right|_{t=0}=\int_a^b \sin \frac{(s-a) \pi}{b-a}\left(\kappa_g\right)^2 \mathrm{~d} s=0
$$

由于上式的被积表达式 $\geq 0$ ，故有

$$
\left(\kappa_g\right)^2 \sin \frac{(s-a) \pi}{b-a}=0, \quad a \leq s \leq b,
$$

于是 $\kappa_g \equiv 0$ ，曲线 $C$ 是曲面 $S$ 上的测地线．证毕．
推论 设 $p, q$ 是曲面 $S$ 上的任意两点，如果曲线 $C$ 是在曲面 $S$上连接 $p, q$ 两点的最短线，则 $C$ 必是曲面 $S$ 上的测地线．

定理 2.3 的证明过程只涉及曲面 $S$ 的第一基本形式，与曲面 $S$ 的外在特征无关．

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