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6.3 测地坐标系和法坐标系(1)

§6．3 测地坐标系和法坐标系
在空间中选择适当的坐标系始终是几何学中的重要课题．对于只有第一基本形式的曲面而言，这种适当的坐标系应该是能够把曲面的第一基本形式最简单地表示出来的参数系．本节要构造这种特殊的参数系，统称为测地坐标系。

首先叙述在曲面上覆盖了一个区域的测地线族的概念．假定在曲面 $S$ 上有依赖一个参数的测地线族 $\Sigma$ ，如果对于区域 $D \subset S$ 上的每一个点 $p$ ，有且只有一条属于 $\Sigma$ 的测地线经过点 $p$ ，则称 $\Sigma$ 是在曲面 $S$上覆盖了区域 $D$ 的一个测地线族。很明显，如果把 $\Sigma$ 中的测地线都限制在区域 $D$ 上，则覆盖了区域 $D$ 的测地线族 $\Sigma$ 中的任意两条不同的测地线都不会彼此相交．

如果 $\Sigma$ 是曲面 $S$ 上覆盖了区域 $D$ 的一个测地线族，则在 $D$ 内有另一个曲线族记为 $\Sigma_1$ ，它是由 $\Sigma$ 的正交轨线构成的．于是，根据第三章 $\S 3.4$ 的讨论，区域 $D$ 内的任意一点 $p$ 必有一个邻域 $U \subset D$ 和参数系 $(u, v)$ ，使得 $\Sigma$ 和 $\Sigma_1$ 中的曲线在 $U$ 上的限制分别是曲面的 $u$－曲线族和 $v$－曲线族．实际上，测地线族 $\Sigma$ 中的每一条测地线的切向量构成区域 $D$ 上的一个处处非零的切向量场 $\boldsymbol{a}$ ，同时它也在区域 $D$ 上决定了与之正交的另一个处处非零的切向量场 $\boldsymbol{b}$ ，后者与 $\Sigma_1$ 中的曲线处处相切．§3．4 的定理 4.1 断言：在区域 $D$ 内的任意一点 $p$ 的一个邻域 $U \subset D$ 内必存在参数系 $(u, v)$ ，使得 $u$－曲线和 $v$－曲线分别和切向量场 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 相切，这就是说，$\Sigma$ 是由 $u$－曲线组成的（至多每一条曲线差一个重新参数化），而 $\Sigma_1$ 是由 $v$－曲线组成的（至多每一条曲线差一个重新参数化）．由于曲线族 $\Sigma$ 和 $\Sigma_1$ 是彼此正交的，故曲面 $S$ 的第一基本形式可以写成

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2 \tag{3.1}
\end{equation*}
$$

由于 $u$－曲线是测地线，它的测地曲率 $\kappa_{g 1}$ 为零，根据 Liouville 公式 （§6．1的（1．16）式）得到

$$
\kappa_{g 1}=-\frac{1}{2 \sqrt{G}} \frac{\partial \log E}{\partial v}=0
$$

即

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial E}{\partial v}=0 . \tag{3.2}
\end{equation*}
$$

这说明 $E(u, v)$ 只是 $u$ 的函数，与 $v$ 无关，因此可以写成 $E(u)$ ．作参数变换

$$
\begin{equation*}
\tilde{u}=\int \sqrt{E(u)} \mathrm{d} u, \quad \tilde{v}=v \tag{3.3}
\end{equation*}
$$

则曲面 $S$ 的第一基本形式在 $U$ 上的限制成为

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=\mathrm{d} \tilde{u}^2+\tilde{G}(\tilde{u}, \tilde{v}) \mathrm{d} \tilde{v}^2 \tag{3.4}
\end{equation*}
$$
由此可以得到下面的定理：
定理 3.1 设 $\Sigma$ 是曲面 $S$ 上覆盖了区域 $D$ 的测地线族，$\Sigma_1$ 是由在区域 $D$ 内与 $\Sigma$ 中曲线正交的轨线构成的曲线族，则 $\Sigma_1$ 中的任意两条曲线在测地线族 $\Sigma$ 中的各条测地线上截出的曲线段的长度都相等。

证明 假定在区域 $D$ 上取参数系（ $\tilde{u}, \tilde{v}$ ），使得曲面 $S$ 的第一基本形式在 $D$ 上的限制由（3．4）式给出．在 $\Sigma_1$ 中取定两条曲线，设为 $C_1: \tilde{u}=u_1, C_2: \tilde{u}=u_2$ ，假定 $u_1<u_2$ 。又设 $C: \tilde{v}=v_0$ 是属于测地线族 $\Sigma$ 的一条曲线，它被曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 所截，截得的长度是

$$
\left.\int_{u_1}^{u_2} \sqrt{\mathrm{I}}\right|_{\tilde{v}=v_0}=\int_{u_1}^{u_2} \mathrm{~d} \tilde{u}=u_2-u_1,
$$

它与 $v_0$ 的值无关．证毕．
定理 3.2 设 $C$ 是曲面 $S$ 上连接 $p, q$ 两点的一条测地线。如果曲线 $C$ 能够嵌入到一个覆盖了区域 $D$ 的测地线族 $\Sigma$ 中去，并且 $p, q \in D$ ，则曲线 $C$ 是在区域 $D$ 内连接 $p, q$ 两点的最短线．

证明 假定在区域 $D$ 上有参数系（ $\tilde{u}, \tilde{v}$ ），使得曲面 $S$ 的第一基本形式在 $D$ 上的限制由（3．4）式给出，曲线 $C$ 对应于 $\tilde{v}=0, p$ 的曲纹坐标是 $(0,0)$ ，而 $q$ 的曲纹坐标是 $(l, 0)$ ，其中 $l$ 是曲线 $C$ 的长度．若 $\tilde{C}$ 是区域 $D$ 内连接 $p, q$ 两点的任意一条曲线，设它的参数方程是 $\tilde{u}=u(t), \tilde{v}=v(t), 0 \leq t \leq l$ ，并且 $u(0)=0, u(l)=l, v(0)=v(l)=0$,则它的长度是

$$
\begin{aligned}
L(\tilde{C}) & =\int_0^l \sqrt{\left(\frac{\mathrm{~d} u(t)}{\mathrm{d} t}\right)^2+\tilde{G}(u(t), v(t))\left(\frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}\right)^2} \mathrm{~d} t \\
& \geq \int_0^l\left|\frac{\mathrm{~d} u(t)}{\mathrm{d} t}\right| \mathrm{d} t \geq \int_0^l \mathrm{~d} u(t)=l .
\end{aligned}
$$

因此 $L(\tilde{C}) \geq L(C)$ ．证毕．

定理 3.1 的直观意义是，覆盖区域 $D$ 的测地线族的任意两条正交轨线之间的距离是处处相等的．因此从这个意义上说，覆盖区域 $D$ 的测地线族的任意两条正交轨线是测地平行的．

在曲面 $S$ 上构造覆盖某个区域的测地线族的方法有很多。在本节，我们介绍两种方法，它们所对应的参数系分别称为测地平行坐标系和测地极坐标系。

首先在曲面 $S$ 上取定一条测地线 $C$ ，然后经过曲线 $C$ 上每一点作一条测地线与曲线 $C$ 正交，将这些测地线构成的曲线族记为 $\Sigma$ ，则曲线族 $\Sigma$ 必定覆盖了曲线 $C$ 的一个邻域 $U$（参看图 6．4）．根据前面的讨论得知，在曲线 $C$ 的邻域 $U$ 内存在参数系 $(u, v)$ ，使得 $\Sigma$ 恰好是 $u$－曲线族，而曲线 $C$ 对应于曲线 $u=0$ ，并且曲面 $S$ 的第一基本形式成为

$$
\mathrm{I}=(\mathrm{d} u)^2+G(u, v)(\mathrm{d} v)^2 .
$$

![图片](/uploads/2026-06/c64995.jpg)
 
 在必要时经过适当的参数变换，例如 $\tilde{v}=\int \sqrt{G(0, v)} \mathrm{d} v$ ，总可以假定在 $u=0$ 时参数 $v$ 是曲线 $C$ 的弧长参数，因此

$$
G(0, v)=1 .
$$

又因为曲线 $C: u=0$ 本身是测地线，它的测地曲率

$$
\left.\kappa_{g 2}\right|_{u=0}=\left.\frac{1}{2} \frac{\partial \log G}{\partial u}\right|_{u=0}=0,
$$

因此

$$
G_u(0, v)=0 .
$$

这样，我们有
定理3．3 在曲面 $S$ 的每一点 $p$ 的一个充分小的邻域 $U$ 内必定存在参数系 $(u, v)$ ，使得点 $p$ 对应于 $u=0, v=0$ ，而曲面 $S$ 的第一基本形式成为

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=(\mathrm{d} u)^2+G(u, v)(\mathrm{d} v)^2 \tag{3.5}
\end{equation*}
$$

其中函数 $G(u, v)$ 满足条件

$$
\begin{equation*}
G(0, v)=1, \quad \frac{\partial G}{\partial u}(0, v)=0 \tag{3.6}
\end{equation*}
$$

这样的参数系 $(u, v)$ 称为曲面 $S$ 在点 $p$ 附近的 测地平行坐标系．
很明显，平面上的测地平行坐标系就是通常的笛卡儿直角坐标系。

现在我们采取另一种做法，先引进曲面 $S$ 在点 $p$ 的法坐标系，采用张量记号。在曲面 $S$ 上取定一点 $p$ ，假定 $\left(u^1, u^2\right)$ 是曲面 $S$ 在点 $p$附近的正交参数系，$u^1(p)=0, u^2(p)=0$ ，于是曲面 $S$ 的第一基本形式成为

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=g_{11}\left(\mathrm{~d} u^1\right)^2+g_{22}\left(\mathrm{~d} u^2\right)^2, \quad g_{12}=g_{21}=0 \tag{3.7}
\end{equation*}
$$

并且可以假定

$$
\begin{equation*}
g_{11}(0,0)=1, \quad g_{22}(0,0)=1 \tag{3.8}
\end{equation*}
$$

这样，$\left\{p ;\left.r_1\right|_p,\left.r_2\right|_p\right\}$ 是曲面 $S$ 在点 $p$ 的切空间 $T_p S$ 上的一个单位正交标架．首先，我们要定义映射 $\exp _p: T_p S \rightarrow S$ ，称为曲面 $S$ 在点 $p$的指数映射．

根据定理 2．2，对于在点 $p$ 的任意一个切向量 $v$ ，存在唯一的一条测地线经过点 $p$ ，并且以 $v$ 为它在点 $p$ 的切向量，记为 $\gamma(s)=\gamma(s ; v)$ ．于是

$$
\begin{equation*}
\gamma(0)=p, \quad \gamma^{\prime}(0)=v, \tag{3.9}
\end{equation*}
$$

并且由（2．9）式得知

$$
\left|\gamma^{\prime}(s)\right|=\left|\gamma^{\prime}(0)\right|=|v| \text { (常数). }
$$

记 $u^\alpha(s)=u^\alpha(\gamma(s))$ ，这是测地线 $\gamma(s)$ 的参数方程，并且参数 $s$ 与弧长成比例．让 $s$ 作变量替换 $s=\lambda t$ ，其中 $\lambda>0$ 是常数，并且命

$$
\begin{equation*}
\tilde{\gamma}(t)=\gamma(\lambda t)=\gamma(\lambda t ; v), \tag{3.10}
\end{equation*}
$$

它的参数方程是

$$
\begin{equation*}
\tilde{u}^\alpha(t)=u^\alpha(\tilde{\gamma}(t))=u^\alpha(\gamma(\lambda t))=u^\alpha(\lambda t) \tag{3.11}
\end{equation*}
$$

那么

$$
\frac{\mathrm{d} \tilde{u}^\alpha(t)}{\mathrm{d} t}=\lambda \frac{\mathrm{d} u^\alpha(s)}{\mathrm{d} s}, \quad \frac{\mathrm{~d}^2 \tilde{u}^\alpha(t)}{\mathrm{d} t^2}=\lambda^2 \frac{\mathrm{~d}^2 u^\alpha(s)}{\mathrm{d} s^2},
$$

因此

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d}^2 \tilde{u}^\alpha(t)}{\mathrm{d} t^2}+\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha \frac{\mathrm{d} \tilde{u}^\beta(t)}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{~d} \tilde{u}^\gamma(t)}{\mathrm{d} t} \\
& \quad=\lambda^2\left(\frac{\mathrm{~d}^2 u^\alpha(s)}{\mathrm{d} s^2}+\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha \frac{\mathrm{d} u^\beta(s)}{\mathrm{d} s} \frac{\mathrm{~d} u^\gamma(s)}{\mathrm{d} s}\right)=0,
\end{aligned}
$$

即 $\tilde{\gamma}(t)$ 仍然是一条测地线，并且

$$
\begin{equation*}
\tilde{\gamma}(0)=\gamma(0)=p, \quad \tilde{\gamma}^{\prime}(0)=\lambda \gamma^{\prime}(0)=\lambda v . \tag{3.12}
\end{equation*}
$$

由此可见，$\tilde{\gamma}(t)$ 是一条从点 $p$ 出发、以 $\lambda v$ 为它在点 $p$ 的切向量的测地线。根据定理 2.2 的唯一性以及记号 $\gamma(s ; v)$ 的意义得知，必定有

$$
\begin{equation*}
\tilde{\gamma}(t)=\gamma(\lambda t ; v)=\gamma(t ; \lambda v) . \tag{3.13}
\end{equation*}
$$

上式的意义是：对于给定的切向量 $v$ 来说，测地线 $\gamma(s ; v)$ 的定义域可能是某个充分小的区间 $(-\varepsilon, \varepsilon)$ ．如果将初始切向量 $v$ 的长度成倍地缩小，则测地线 $\gamma(s ; v)$ 的定义域将会成倍地增大。例如，命 $s=\frac{\varepsilon}{2} t$ ，而 $s$的变化范围是 $-\varepsilon<s<\varepsilon$ ，那么 $t$ 的变化范围就成为 $-2<t<2$ ，并且

$$
\gamma(s ; v)=\gamma\left(\frac{\varepsilon}{2} t ; v\right)=\gamma\left(t ; \frac{\varepsilon}{2} v\right) .
$$

这就是说，当切向量 $v$ 的长度充分小时，可以使测地线 $\gamma(s ; v)$ 的定义域包含区间 $(-2,2)$ 在内．因此，在切空间 $T_p S$ 上可以取原点的一个充分小的邻域 $U$ ，使得由

$$
\begin{equation*}
\exp _p(v)=\gamma(1 ; v), \quad \forall v \in U \tag{3.14}
\end{equation*}
$$

给出的映射 $\exp _p: U \rightarrow S$ 有定义。该映射 $\exp _p: U \rightarrow S$ 称为曲面 $S$ 在点 $p$ 的 指数映射，它的几何意义是明显的．当 $v=0$ 时， $\exp _p(0)=p$ ；

当 $v \neq 0$ 时，命 $v_0=\frac{v}{|v|}$ ，则 $v_0$ 是 $v$ 的单位方向向量．根据（3．13）式有

$$
\gamma(1 ; v)=\gamma\left(1 ;|v| v_0\right)=\gamma\left(|v| ; v_0\right) .
$$

由此可见，若以单位切向量 $v_0$ 为初始切向量作经过点 $p$ 的测地线 $\gamma\left(s ; v_0\right)$ ，其中 $s$ 是弧长参数，则在该测地线上截取 $s=|v|$ 的点正好是切向量 $v$ 在指数映射 $\exp _p$ 下的像 $\exp _p(v)=\gamma(1 ; v)$ 。根据常微分方程组的解关于初始值的连续可微依赖性得知，指数映射 $\exp _p: U \rightarrow S$ 是连续可微的．

假定切空间 $T_p S$ 在单位正交标架 $\left\{p ;\left.r_1\right|_p,\left.r_2\right|_p\right\}$ 下的坐标系是 $\left(v^1\right.$, $v^2$ ），即在点 $p$ 的任意一个切向量 $v \in T_p S$ 可以表示为

$$
\begin{equation*}
v=\left.v^1 \boldsymbol{r}_1\right|_p+\left.v^2 \boldsymbol{r}_2\right|_p \tag{3.15}
\end{equation*}
$$

我们要说明，切空间 $T_p S$ 上的坐标系 $\left(v^1, v^2\right)$ 经过指数映射 $\exp _p: U \rightarrow S$ 成为曲面 $S$ 在点 $p$ 附近的参数系，这样得到的参数系称为曲面 $S$ 在点 $p$ 的 法坐标系．实际上，命
$$
\begin{equation*}
u^\alpha=u^\alpha\left(\exp _p(v)\right)=u^\alpha(\gamma(1 ; v)) \equiv u^\alpha\left(v^1, v^2\right) . \quad \alpha=1,2 \tag{3.16}
\end{equation*}
$$

它们是参数 $v^1, v^2$ 的连续可微函数．任意取定 $v \in U$ ，命

$$
u^\alpha(t)=u^\alpha\left(\exp _p(t v)\right)=u^\alpha(\gamma(1 ; t v))
$$

则由（3．16）式得到

$$
\begin{equation*}
u^\alpha(t)=u^\alpha\left(t v^1, t v^2\right) \tag{3.17}
\end{equation*}
$$

这正好是曲面 $S$ 上经过点 $p$ 、以 $v$ 为初始切向量的测地线 $\gamma(t ; v)$ 的参数方程．因此

$$
\begin{equation*}
u^\alpha(0)=u^\alpha(0,0)=0, \quad \alpha=1,2 \tag{3.18}
\end{equation*}
$$

并且

$$
v=\left.\gamma^{\prime}(t ; v)\right|_{t=0}=\left.\left.\frac{\mathrm{d} u^\alpha(t)}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0} r_\alpha\right|_p=\left.\left.\frac{\partial u^\alpha}{\partial v^\beta}\right|_p \cdot v^\beta r_\alpha\right|_p
$$

将上式与（3．15）式相比较得到

$$
\left.\frac{\partial u^\alpha}{\partial v^\beta}\right|_p=\delta_\beta^\alpha= \begin{cases}1, & \alpha=\beta,  \tag{3.19}\\ 0, & \alpha \neq \beta .\end{cases}
$$

由此可见，（3．16）式给出的变换 $u^\alpha=u^\alpha\left(v^1, v^2\right), \alpha=1,2$ 是曲面 $S$在点 $p$ 附近的正则参数变换，因此 $\left(v^1, v^2\right)$ 是曲面 $S$ 在点 $p$ 附近容许的参数系．

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