最后更新: 2026-06-07 17:56 查看: 7 次纠错评论(0) 课件开VIP

6.5 曲面上切向量的平行移动（1）

§6．5 曲面上切向量的平行移动
本节我们要叙述曲面的内蕴微分几何的一个重要的概念，即曲面上的切向量场的协变微分和曲面上的切向量沿曲线的平行移动。为了容易理解起见，我们首先在 $E^3$ 中的曲面上来考虑，然后把这些讨论推广到具有第一基本形式的抽象曲面上去。

设 $S$ 是欧氏空间 $E^3$ 中的一个曲面，它的参数方程是 $r=r\left(u^1, u^2\right)$ ．假定 $\boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)$ 是定义在曲面 $S$ 上的一个切向量场，所以它在曲面的自然切标架场 $\left\{r ; r_1, r_2\right\}$ 下可以表示为

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)=x^\alpha\left(u^1, u^2\right) \boldsymbol{r}_\alpha\left(u^1, u^2\right) . \tag{5.1}
\end{equation*}
$$

如果 $x^\alpha\left(u^1, u^2\right)$ 是可微函数，则称切向量场 $\boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)$ 是可微的．把 $\boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)$ 作为空间 $E^3$ 中定义在曲面 $S$ 上的向量场，微分 $\mathrm{d} \boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)$是有意义的．从直观上看， $\mathrm{d} \boldsymbol{X}\left(u^{\mathbf{1}^*}, u^2\right)$ 是向量场 $\boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)$ 在无限邻近的两个点（ $u^1, u^2$ ）和（ $u^1+\mathrm{d} u^1, u^2+\mathrm{d} u^2$ ）的值之差：

$$
\mathrm{d} \boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)=\boldsymbol{X}\left(u^1+\mathrm{d} u^1, u^2+\mathrm{d} u^2\right)-\boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right) .
$$

上式右端的两个向量有不同的起点，它们能做减法的原因是，向量在欧氏空间 $E^3$ 中能够作平行移动，因而把这两个向量的起点移到同一点后再相减．但是，一般说来，向量 $\mathrm{d} \boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)$ 不再与曲面 $S$ 相切了．实际上，对（5．1）式求微分得到

$$
\begin{align*}
\mathrm{d} \boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right) & =\mathrm{d} x^\alpha \boldsymbol{r}_\alpha+x^\alpha \mathrm{d} \boldsymbol{r}_\alpha \\
& =\left(\mathrm{d} x^\alpha+x^\beta \Gamma_{\beta \gamma}^\alpha \mathrm{d} u^\gamma\right) \boldsymbol{r}_\alpha+x^\alpha \mathrm{d} u^\beta b_{\alpha \beta} \boldsymbol{n} \tag{5.2}
\end{align*}
$$

要从向量 $\mathrm{d} \boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)$ 得到曲面 $S$ 的切向量，只要取 $\mathrm{d} \boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)$ 的切分量，也就是将 $\mathrm{d} \boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)$ 在 $S$ 的切空间上作正交投影．

定义 5.1 命

$$
\begin{equation*}
\mathrm{D} \boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)=\left(\mathrm{d} \boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)\right)^{\top}=\left(\mathrm{d} x^\alpha+x^\beta \Gamma_{\beta \gamma}^\alpha \mathrm{d} u^\gamma\right) \boldsymbol{r}_\alpha, \tag{5.3}
\end{equation*}
$$

其中＂$T$＂表示将 $E^3$ 中的向量向曲面 $S$ 在 $\left(u^1, u^2\right)$ 的切空间作正交投影．称 $\mathrm{D} \boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)$ 为曲面 $S$ 上的切向量场 $\boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)$ 的**协变微分**．

记

$$
\begin{equation*}
\mathrm{D} x^\alpha=\mathrm{d} x^\alpha+x^\beta \Gamma_{\beta \gamma}^\alpha \mathrm{d} u^\gamma \tag{5.4}
\end{equation*}
$$

则（5．3）式成为

$$
\begin{equation*}
\mathrm{D} \boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)=\mathrm{D} x^\alpha \boldsymbol{r}_\alpha . \tag{5.5}
\end{equation*}
$$

我们称 $\mathrm{D} x^\alpha$ 为切向量场 $\boldsymbol{X}$ 的分量 $x^\alpha\left(u^1, u^2\right)$ 的协变微分．
从表达式（5．3）不难知道
定理 5.1 曲面 $S$ 上的切向量场 $\boldsymbol{X}$ 的协变微分在曲面 $S$ 的保长变换下是保持不变的，即：如果 $\sigma: S \rightarrow \tilde{S}$ 是保长对应，则对曲面 $S$上的任意一个可微的切向量场 $\boldsymbol{X}$ 下式成立：

$$
\begin{equation*}
\sigma_*(\mathrm{D} \boldsymbol{X})=\mathrm{D}\left(\sigma_* \boldsymbol{X}\right) . \tag{5.6}
\end{equation*}
$$

证明 在曲面 $S$ 和 $\tilde{S}$ 上取适用的参数系，使得保长对应 $\sigma$ 是曲面 $S$ 和 $\tilde{S}$ 上有相同参数值的点之间的对应，因而切映射 $\sigma_*$ 把曲面 $S$的自然基底向量映为 $\tilde{S}$ 的对应的自然基底向量。由于切映射 $\sigma_*$ 是线性映射，所以切向量场 $\boldsymbol{X}$ 和 $\sigma_* \boldsymbol{X}$ 关于各自的自然基底有相同的分量 $x^\alpha\left(u^1, u^2\right)$ ，即

$$
\boldsymbol{X}=x^\alpha\left(u^1, u^2\right) \boldsymbol{r}_\alpha, \quad \sigma_* \boldsymbol{X}=x^\alpha\left(u^1, u^2\right) \tilde{\boldsymbol{r}}_\alpha
$$

因为 $\sigma$ 是保长对应，故曲面 $S$ 和 $\tilde{S}$ 在适用的参数系下有相同的第一类基本量，因而有相同的 Christoffel 记号 $\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha$ ．从（5．3）式得知， $\mathrm{D} \boldsymbol{X}$和 $\mathrm{D}\left(\sigma_* \boldsymbol{X}\right)$ 关于各自的自然切标架场有相同的分量，因此

$$
\begin{aligned}
\mathrm{D} \boldsymbol{X} & =\left(\mathrm{d} x^\alpha+x^\beta \Gamma \alpha_{\beta \gamma}\right) \boldsymbol{r}_\alpha \\
\mathrm{D}\left(\sigma_* \boldsymbol{X}\right) & =\left(\mathrm{d} x^\alpha+x^\beta \Gamma \alpha_{\beta \gamma}\right) \tilde{\boldsymbol{r}}_\alpha=\sigma_*(\mathrm{D} \boldsymbol{X}) .
\end{aligned}
$$

证毕．
由定理 5.1 可知，切向量场 $\boldsymbol{X}$ 的协变微分是属于曲面的内蕴几何的概念，与曲面的第二基本形式无关．

实际上，（5．3）式告诉我们，在具有第一基本形式的抽象曲面 $S$上能够定义可微的切向量场 $\boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)=x^\alpha\left(u^1, u^2\right) \boldsymbol{r}_\alpha\left(u^1, u^2\right)$ 的协变微分

$$
\begin{equation*}
\mathrm{D} \boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)=\left(\mathrm{d} x^\alpha+x^\beta \Gamma_{\beta \gamma}^\alpha \mathrm{d} u^\gamma\right) \boldsymbol{r}_\alpha \tag{$\prime$}
\end{equation*}
$$

其中 $\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha$ 是曲面 $S$ 的第一类基本量的 Christoffel 记号。
定理 5.2 曲面 $S$ 上的可微切向量场的协变微分有下列运算法则：
（1） $\mathrm{D}(\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y})=\mathrm{D} \boldsymbol{X}+\mathrm{D} \boldsymbol{Y}$ ；
（2） $\mathrm{D}(f \cdot \boldsymbol{X})=\mathrm{d} f \cdot \boldsymbol{X}+f \cdot \mathrm{D} \boldsymbol{X}$ ；
（3） $\mathrm{D}(\boldsymbol{X} \cdot \boldsymbol{Y})=\mathrm{D} \boldsymbol{X} \cdot \boldsymbol{Y}+\boldsymbol{X} \cdot \mathrm{D} \boldsymbol{Y}$ ，
其中 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 是曲面 $S$ 上的可微切向量场，$f$ 是定义在曲面 $S$ 上的可微函数．

定理5．2说明，协变微分 D 具有普通微分 d 所具有的相同的运算法则．证明留给读者自己完成．

设 $C: u^\alpha=u^\alpha(t)$ 是曲面 $S$ 上的一条曲线，假定 $\boldsymbol{X}(t)$ 是曲面 $S$上沿曲线 $C$ 定义的一个切向量场。先假定 $S$ 是空间 $E^3$ 中的一张曲面，那么 $\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{X}(t)}{\mathrm{d} t}$ 是在空间 $E^3$ 中沿曲线 $C$ 定义的一个向量场，一般说来，它不是曲面 $S$ 上沿曲线 $C$ 定义的切向量场．要从 $\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{X}(t)}{\mathrm{d} t}$ 得到曲面 $S$ 上沿曲线 $C$ 定义的切向量场，只要将它正交投影到曲面 $S$ 在相应的点的切空间就行了．

定义 5.2 命

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{X}(t)}{\mathrm{d} t}=\left(\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{X}(t)}{\mathrm{d} t}\right)^{\top}, \tag{5.7}
\end{equation*}
$$

我们把 $\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{X}(t)}{\mathrm{d} t}$ 称为曲面 $S$ 上沿曲线 $C$ 定义的切向量场 $\boldsymbol{X}(t)$ 沿曲线 $C$ 的协变导数．

若设

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{X}(t)=x^\alpha(t) \boldsymbol{r}_\alpha\left(u^1(t), u^2(t)\right), \tag{5.8}
\end{equation*}
$$

则有

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{X}(t)}{\mathrm{d} t} & =\frac{\mathrm{d} x^\alpha(t)}{\mathrm{d} t} \boldsymbol{r}_\alpha+x^\alpha(t) \frac{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\gamma} \frac{\mathrm{d} u^\gamma(t)}{\mathrm{d} t} \\
& =\left(\frac{\mathrm{d} x^\alpha(t)}{\mathrm{d} t}+\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha x^\beta(t) \frac{\mathrm{d} u^\gamma(t)}{\mathrm{d} t}\right) \boldsymbol{r}_\alpha+b_{\alpha \gamma} x^\alpha(t) \frac{\mathrm{d} u^\gamma(t)}{\mathrm{d} t} \boldsymbol{n}
\end{aligned}
$$

因此

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{X}(t)}{\mathrm{d} t}=\left(\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{X}(t)}{\mathrm{d} t}\right)^{\top}=\left(\frac{\mathrm{d} x^\alpha(t)}{\mathrm{d} t}+\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha x^\beta(t) \frac{\mathrm{d} u^\gamma(t)}{\mathrm{d} t}\right) \boldsymbol{r}_\alpha . \tag{5.9}
\end{equation*}
$$

若命

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{D} x^\alpha(t)}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} x^\alpha(t)}{\mathrm{d} t}+\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha x^\beta(t) \frac{\mathrm{d} u^\gamma(t)}{\mathrm{d} t}, \tag{5.10}
\end{equation*}
$$

则

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{X}(t)}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{D} x^\alpha(t)}{\mathrm{d} t} \boldsymbol{r}_\alpha . \tag{5.11}
\end{equation*}
$$

我们把 $\frac{\mathrm{D} x^\alpha(t)}{\mathrm{d} t}$ 称为沿曲线 $C$ 定义的切向量场 $\boldsymbol{X}(t)$ 的分量 $x^\alpha(t)$ 沂曲线 $C$ 的协变导数．

从表达式（5．9）得知，若在具有第一基本形式的抽象曲面 $S$ 上漛曲线 $C$ 定义了切向量场 $\boldsymbol{X}(t)$ ，则我们就能够定义它沿曲线 $C$ 的协变导数．协变导数 $\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{X}(t)}{\mathrm{d} t}$ 在曲面 $S$ 的保长变换下是不变的，并且协变导数算子 $\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{d} t}$ 具有定理 5.2 所叙述的运算法则。

类似地，如果曲面 $S$ 上的可微切向量场 $\boldsymbol{X}\left(u^1, u^2\right)$ 的分量是 $x^\alpha\left(u^1\right.$ ， $u^2$ ），则同样可以定义它沿参数曲线的协变导数

$$
\begin{equation*}
x_{, \gamma}^\alpha=\frac{\partial x^\alpha\left(u^1, u^2\right)}{\partial u^\gamma}+\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha x^\gamma\left(u^1, u^2\right), \tag{5.12}
\end{equation*}
$$

于是分量 $x^\alpha\left(u^1, u^2\right)$ 的协变微分成为

$$
\begin{equation*}
\mathrm{D} x^\alpha=x_{, \gamma}^\alpha \mathrm{d} u^\gamma . \tag{5.13}
\end{equation*}
$$

定义 5.3 设 $\boldsymbol{X}(t)$ 是曲面 $S$ 上沿曲线 $C: u^\gamma=u^\gamma(t)$ 定义的可微切向量场．如果

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{X}(t)}{\mathrm{d} t}=0, \tag{5.14}
\end{equation*}
$$

则称切向量场 $\boldsymbol{X}(t)$ 沿曲线 $C$ 是 平行的．
由（5．9）式可知，切向量场 $\boldsymbol{X}(t)$ 沿曲线 $C$ 平行的充分必要条件是，它的分量 $x^\alpha(t)$ 满足常微分方程组

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d} x^\alpha(t)}{\mathrm{d} t}+\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha x^\beta(t) \frac{\mathrm{d} u^\gamma(t)}{\mathrm{d} t}=0, \quad \alpha=1,2 . \tag{5.15}
\end{equation*}
$$

这是一阶线性齐次常微分方程组．根据常微分方程组理论（参看附录 $\S 1$ 的定理1．1），对于给定的可微曲线 $C: u^\gamma=u^\gamma(t), a \leq t \leq b$ ，以及任意给定的初始值 $x_0^\alpha$ ，方程组（5．15）在区间 $[a, b]$ 上有唯一的一组解

$$
\begin{equation*}
x^\alpha=x^\alpha(t), \quad a \leq t \leq b, \tag{5.16}
\end{equation*}
$$

使得

$$
\begin{equation*}
x^\alpha\left(t_0\right)=x_0^\alpha, \tag{5.17}
\end{equation*}
$$

其中 $t_0$ 是区间 $[a, b]$ 中的任意一个固定点．我们把沿曲线 $C$ 定义的切向量场

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{X}(t)=x^\alpha(t) \boldsymbol{r}_\alpha\left(u^1(t), u^2(t)\right) \tag{5.18}
\end{equation*}
$$

称为曲面 $S$ 在点 $\boldsymbol{r}_0=\boldsymbol{r}\left(u^1\left(t_0\right), u^2\left(t_0\right)\right)$ 处的切向量 $\boldsymbol{X}_0=x_0^\alpha \boldsymbol{r}_\alpha\left(u^1\left(t_0\right)\right.$ ， $u^2\left(t_0\right)$ ）沿曲线 $C$ 作 平行移动 产生的切向量场．

因为方程组（5．15）是一阶线性齐次常微分方程组，所以它的解的全体构成一个向量空间，该向量空间与曲面 $S$ 在点 $r_0$ 处的切空间线性同构。用几何的语言说，上述性质表明：曲面 $S$ 上的切向量沿可微曲线 $C$ 的平行移动在曲面 $S$ 沿曲线 $C$ 各点的切空间之间建立了线性同构。另外，根据定理 $5.2(3)$ ，如果 $\boldsymbol{X}(t), \boldsymbol{Y}(t)$ 是曲面 $S$ 上沿曲线 $C$平行的切向量场，则

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}(\boldsymbol{X}(t) \cdot \boldsymbol{Y}(t))=\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{X}(t)}{\mathrm{d} t} \cdot \boldsymbol{Y}(t)+\boldsymbol{X}(t) \cdot \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{Y}(t)}{\mathrm{d} t}=0 . \tag{5.19}
\end{equation*}
$$
这意味着 $\boldsymbol{X}(t) \cdot \boldsymbol{Y}(t)$ 是常数，即切向量沿曲线 $C$ 的平行移动保持切向量的内积不变．特别地，切向量沿曲线 $C$ 的平行移动保持切向量的长度不变．综上所述，我们有下面的定理：

定理 5.3 设 $C: u^\gamma=u^\gamma(t), a \leq t \leq b$ 是曲面 $S$ 上连接点 $A=\left(u^1(a), u^2(a)\right)$ 和点 $B=\left(u^1(b), u^2(b)\right)$ 的一条可微曲线。用 $\mathrm{P}_a^b$ 表示曲面 $S$ 上的切向量沿曲线 $C$ 从 $t=a$ 到 $t=b$ 的平行移动，则该平行移动

$$
\mathrm{P}_a^b: T_A S \rightarrow T_B S
$$

是从切空间 $T_A S$ 到切空间 $T_B S$ 的等距同构．

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