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6.5 曲面上切向量的平行移动（2）

从协变导数的定义 5.2 可以直接得到下面的定理，它为构造曲面上的切向量沿曲线的平行移动提供了一条有效途径．

定理 5.4 设空间 $E^3$ 中两个曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 沿曲线 $C$ 相切，曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 沿曲线 $C: u^\gamma=u^\gamma(t)$ 的协变导数算子分别记为 $\frac{\mathrm{D}^{(1)}}{\mathrm{d} t}$ 和 $\frac{\mathrm{D}^{(2)}}{\mathrm{d} t}$ ．设 $\boldsymbol{X}(t)$ 是这两个曲面沿曲线 $C$ 定义的切向量场，则

$$
\frac{\mathrm{D}^{(1)} \boldsymbol{X}(t)}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{D}^{(2)} \boldsymbol{X}(t)}{\mathrm{d} t} .
$$

特别是，如果 $\boldsymbol{X}(t)$ 作为曲面 $S_1$ 上沿曲线 $C$ 的切向量场是平行的，则它作为曲面 $S_2$ 上沿曲线 $C$ 的切向量场也是平行的．

设 $\boldsymbol{X}(t)$ 是曲面 $S$ 上沿曲线 $C: u^\gamma=u^\gamma(t)$ 平行的切向量场．曲面 $S$ 沿曲线 $C$ 各点的切平面构成一个单参数平面族，根据习题 3.6的第 11 题，它的包络面 $\tilde{S}$ 是一个可展曲面，并且曲面 $\tilde{S}$ 和曲面 $S$ 沂曲线 $C$ 相切，这样 $\boldsymbol{X}(t)$ 同样是可展曲面 $\tilde{S}$ 上沿曲线 $C$ 平行的切向量场。因为可展曲面和平面能够建立保长对应，当可展曲面 $\tilde{S}$ 展开成平面 $\Pi$ 时，曲线 $C$ 便展开成曲线 $\tilde{C}$ ，而切向量场 $\boldsymbol{X}(t)$ 便成为平面 II上沿曲线 $\tilde{C}$ 定义的平行切向量场 $\tilde{\boldsymbol{X}}(t)$ ．平面 $\Pi$ 是二维欧氏空间，在它上面的平行向量场是指，它是关于一个固定方向的夹角为常数、并且其长度也是常数的向量场．于是曲面 $S$ 上切向量沿曲线 $C$ 的平行移动可以这样做：在曲线 $C$ 的一个固定点 $p$ 取曲面 $S$ 的一个切向量 $v_0$ ，将曲面 $S$ 沿曲线 $C$ 各点的切平面的包络面 $\tilde{S}$ 保长地展开成平面 $\Pi$ ．设在包络面 $\tilde{S}$ 保长地展开成平面 $\Pi$ 时曲线 $C$ 变成平面 $\Pi$ 上的曲线 $\tilde{C}$ ，与点 $p$ 相对应的点记为 $\tilde{p}$ ，与切向量 $v_0$ 相对应的切向量记为 $\tilde{v}_0$ ，在平面 $\pi$ 上沿曲线 $\tilde{C}$ 各点作向量 $\tilde{v}(t)=\tilde{v}_0$ ．那么在曲面 $S$ 上与之相对应的、沿曲线 $C$ 定义的切向量场 $v(t)$ 是由切向量 $v_0$ 沿曲线 $C$ 平行移动所产生的切向量场．特别地，切向量 $v(t)$ 与曲线 $C$ 的夹角等于切向量 $\tilde{v}(t)$ 与曲线 $\tilde{C}$ 的夹角．

![图片](/uploads/2026-06/ce9725.jpg)
 
 例题 设 $S$ 是空间 $E^3$ 中的一个单位球面，$\tilde{S}$ 是 $E^3$ 中与球面 $S$沿圆周 $C$ 相切的锥面（参看图 6．6）．求球面 $S$ 上的一个切向量沿圆周 $C$ 平行移动一周后再回到原处时与原切向量所夹的角度．

解 设 $v$ 是球面 $S$ 在点 $p \in C$ 的一个切向量，它作为球面 $S$ 的切向量沿圆周 $C$ 的平行移动与它作为锥面 $\tilde{S}$ 的切向量沿圆周 $C$ 的平行移动是一样的．设圆周 $C$ 的半径是 $r_0$ ，则当锥面 $\tilde{S}$ 展开成平面 $\Pi$时，圆周 $C$ 成为平面 $\Pi$ 上半径为 $r_0 / \sqrt{1-r_0^2}$ 的圆弧 $\tilde{C}$ ，它所对的圆心角是 $\alpha=2 \pi \sqrt{1-r_0^2}$ ．如果切向量 $v$ 与圆周 $C$ 的夹角是 $\theta$ ，对应的
切向量 $\tilde{v}$ 与圆弧 $\tilde{C}$ 在始端的夹角也是 $\theta$ 。在平面 $\Pi$ 内圆弧 $\tilde{C}$ 的终端作向量 $\tilde{v}^{\prime}$ 与 $\tilde{v}$ 平行，则向量 $\tilde{v}^{\prime}$ 与圆弧 $\tilde{C}$ 的夹角是

$$
\theta-\alpha=\theta-2 \pi \sqrt{1-r_0^2} .
$$

因此，当切向量 $v$ 在球面 $S$ 上沿圆周 $C$ 平行移动一周时所得的切向量 $v^{\prime}$ 与圆周 $C$ 的夹角是

$$
\theta-\alpha=\theta-2 \pi \sqrt{1-r_0^2},
$$

即切向量 $v^{\prime}$ 和切向量 $v$ 的夹角是

$$
-\alpha=-2 \pi \sqrt{1-r_0^2} .
$$

由此可见，一般来说，当切向量在曲面 $S$ 上沿一条封闭曲线平行；移动一周时所得的切向量与原切向量未必是重合的（参看 §6．6）．这足弯曲曲面上的几何学与欧氏平面几何学的本质差别。

在有了协变导数的概念之后，曲线的测地曲率的表达式和平面曲线的相对曲率的表达式就统一起来了。设曲面 $S$ 上的曲线 $C$ 的参数方程是 $u^\alpha=u^\alpha(s)$ ，其中 $s$ 是弧长参数，则曲线 $C$ 的测地曲率是
$$
\begin{align*}
\kappa_g & =\frac{\mathrm{d}^2 r}{\mathrm{~d} s^2} \cdot e_2=\frac{\mathrm{D} e_1(s)}{\mathrm{d} s} \cdot e_2(s) \\
& =\left|\begin{array}{cc}
\frac{\mathrm{d} u^1}{\mathrm{~d} s} & \frac{\mathrm{~d} u^2}{\mathrm{~d} s} \\
\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{~d} s}\left(\frac{\mathrm{~d} u^1}{\mathrm{~d} s}\right) & \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{~d} s}\left(\frac{\mathrm{~d} u^2}{\mathrm{~d} s}\right)
\end{array}\right| . \tag{5.20}
\end{align*}
$$

对于在笛卡儿直角坐标系下的平面 $\mathbb{R}^2$ ，其协变导数 $\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{d} s}$ 就是普通导数 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}$ ，于是上面的公式成为平面 $\mathbb{R}^2$ 上曲线 $C$ 的相对曲率 $\kappa_r$ 的公式．

特别地，测地线的微分方程成为

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{~d} s}\left(\frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{r}(s)}{\mathrm{d} s}\right)=0, \tag{5.21}
\end{equation*}
$$

或者

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{~d} s}\left(\frac{\mathrm{~d} u^\alpha}{\mathrm{d} s}\right)=0, \quad \alpha=1,2 . \tag{5.22}
\end{equation*}
$$

所以，曲面 $S$ 上的测地线 $C$ 就是其单位切向量在曲面 $S$ 上沿该曲线 $C$ 自身平行的曲线，或者说曲面 $S$ 上的测地线 $C$ 就是该曲面 $S$ 上的自平行曲线．在平面上，直线可以描述为其切方向不变的曲线．因此，在这个意义上，曲面上的测地线的概念也是平面上的直线概念的推广。

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