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6.6 Gauss－Bonnet 公式（1）

§6．6 Gauss－Bonnet 公式
欧氏平面上的平行公设等价于＂三角形的内角和等于 $180^{\circ}$＂，或者＂三角形的外角和等于 $360^{\circ}$＂．在 Klein 圆内，欧氏几何的平行公理不再成立，与之等价的是测地三角形的内角和不再等于 $180^{\circ}$ ，或者测地三角形的外角和不再等于 $360^{\circ}$ ，原因是 Klein 圆不再是平坦的空间，它有非零的曲率（事实上，它的 Gauss 曲率是负常数）．对于一般的曲面，测地三角形的内角和（或者外角和）如何？这是本节要研究的问题．我们先讨论一般的 Gauss－Bonnet 公式，然后将它用于测地三角形，得到测地三角形的外角和的公式．

在 §2．8 中我们已经叙述过平面上分段光滑的简单闭曲线的概念．现在假定 $C$ 是曲面 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right)$ 上的一条曲线，它的参数方程是 $u^1=u^1(s), u^2=u^2(s)$ ，其中 $s$ 是弧长参数， $0 \leq s \leq L$ 。如果函数 $u^\alpha(s)$ 是连续的，并且区间 $[0, L]$ 有一个分割 $0=s_0<s_1<\cdots< s_n=L$ ，使得函数 $u^\alpha(s)$ 在每一个小区间 $\left(s_{i-1}, s_i\right)$ 内部是光滑的，则称 $C$ 是分段光滑曲线，而 $s=s_1, \cdots, s_{n-1}$ 称为曲线 $C$ 的角点．如果 $u^\alpha(0)=u^\alpha(L), \alpha=1,2$ ，则称曲线 $C$ 是封闭曲线．一般说来，端点 $s=s_0$（或 $s_n$ ）也是封闭曲线 $C$ 的角点。如果曲线 $C$ 除了端点外没有其他自交点，即对于任意的 $0 \leq a<b<L$ 都有 $\boldsymbol{r}(a) \neq \boldsymbol{r}(b)$ ，则称该曲线是简单的．如果 $C$ 是光滑的简单封闭曲线，则有

$$
\begin{align*}
\lim _{s \rightarrow s_i-0} \boldsymbol{r}^{\prime}(s) & =\lim _{s \rightarrow s_i+0} \boldsymbol{r}^{\prime}(s), \quad 1 \leq i \leq n-1 ;  \tag{6.1}\\
\lim _{s \rightarrow L-0} \boldsymbol{r}^{\prime}(s) & =\lim _{s \rightarrow 0+0} \boldsymbol{r}^{\prime}(s) .
\end{align*}
$$

定理 6．1（Gauss－Bonnet 公式）假定曲线 $C$ 是有向曲面 $S$ 上的一条分段光滑的简单封闭曲线，它所包围的区域 $D$ 是曲面 $S$ 的一个单连通区域，则

$$
\begin{equation*}
\oint_C \kappa_g \mathrm{~d} s+\iint_D K \mathrm{~d} \sigma=2 \pi-\sum_{i=1}^n \alpha_i, \tag{6.2}
\end{equation*}
$$
其中 $\kappa_g$ 是曲线 $C$ 的测地曲率，$K$ 是曲面 $S$ 的 Gauss 曲率，$\alpha_i$ 表示曲线 $C$ 在角点 $s=s_i$ 的外角。

证明 我们分若干步骤来证明这个定理．首先假定曲线 $C$ 是连续可微的简单封闭曲线，它所包围的区域 $D$ 是落在曲面 $S$ 的一个坐标域 $(U ;(u, v))$ 内的单连通区域，并且 $(u, v)$ 是曲面 $S$ 的正交参数系．于是，曲面的第一基本形式是

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2 . \tag{6.3}
\end{equation*}
$$

设曲线 $C$ 的参数方程是 $u=u(s), v=v(s), s$ 是弧长参数．用 $\theta(s)$ 表示曲线 $C$ 与 $u$－曲线在 $s$ 处所夹的方向角，则由 Liouville 定理，曲线 $C$ 的测地曲率等于

$$
\kappa_g=\frac{\mathrm{d} \theta(s)}{\mathrm{d} s}-\frac{1}{2 \sqrt{G}} \frac{\partial \log E}{\partial v} \cos \theta+\frac{1}{2 \sqrt{E}} \frac{\partial \log G}{\partial u} \sin \theta .
$$

将上式沿曲线积分得到
$$
\begin{align*}
\oint_C \kappa_g \mathrm{~d} s & =\oint_C \mathrm{~d} \theta+\oint_C\left(-\frac{1}{2 \sqrt{G}} \frac{\partial \log E}{\partial v} \cos \theta+\frac{1}{2 \sqrt{E}} \frac{\partial \log G}{\partial u} \sin \theta\right) \mathrm{d} s \\
& =\oint_C \mathrm{~d} \theta+\oint_C\left(-\frac{\sqrt{E}}{2 \sqrt{G}} \frac{\partial \log E}{\partial v} \mathrm{~d} u+\frac{\sqrt{G}}{2 \sqrt{E}} \frac{\partial \log G}{\partial u} \mathrm{~d} v\right) \\
& =\oint_C \mathrm{~d} \theta+\oint_C\left(-\frac{(\sqrt{E})_v}{\sqrt{G}} \mathrm{~d} u+\frac{(\sqrt{G})_u}{\sqrt{E}} \mathrm{~d} v\right) \tag{6.4}
\end{align*}
$$

上式的第二个等号中用了公式

$$
\cos \theta=\sqrt{E} \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} s}, \quad \sin \theta=\sqrt{G} \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} s} .
$$

根据 Green 公式，（6．4）式末端第二个积分是

$$
\begin{align*}
\oint_C(- & \left.\frac{(\sqrt{E})_v}{\sqrt{G}} \mathrm{~d} u+\frac{(\sqrt{G})_u}{\sqrt{E}} \mathrm{~d} v\right) \\
& =\iint_D\left(\left(\frac{(\sqrt{E})_v}{\sqrt{G}}\right)_v+\left(\frac{(\sqrt{G})_u}{\sqrt{E}}\right)_u\right) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v=-\iint_D K \mathrm{~d} \sigma \tag{6.5}
\end{align*}
$$

因为 $\theta$ 是由连续可微的曲线 $C$ 与 $u$－曲线所构成的方向角，因此能够从方向角 $\theta$ 内取出其连续分支 $\theta(s)$ ，它是 $s$ 的可微函数。由此可见，积分 $\oint_C \mathrm{~d} \theta$ 是 $\theta$ 的一个连续分支 $\theta(s)$ 在起、终点的值之差 $\theta(L)-\theta(0)$ ，也就是连续可微的曲线 $C$ 的方向角的总变差．但是，曲线 $C$ 在 $s=0$ 和 $s=L$ 处的切向量是同一个，故曲线 $C$ 的方向角的总变差 $\theta(L)-\theta(0)$必定是 $2 \pi$ 的整数倍。此外，方向角是根据曲面 $S$ 的第一类基本量 $E, G$计算出来的，当曲面 $S$ 的第一类基本量 $E, G$ 作连续变化时，方向角 $\theta$ 必然作连续的变化，于是积分 $\oint_C \mathrm{~d} \theta$ 的值也作连续的变化，因而这个整数值必定保持不变．现在已知 $E>0, G>0$ ，因此 $E, G$ 可以保持在正值的情况下连续地变为 1 ．实际上只要取 $E_t=1+t(E-1), G_t= 1+t(G-1), .0 \leq t \leq 1$ ．很明显，$E_t>0, G_t>0$ ．这样，当 $t=0$ 时该曲面成为一张平面，$C$ 是该平面上的一条简单封闭曲线；而在 $t=1$时则回到原来的曲面 $S$ 的情形，但是对于 $\mathrm{I}=E_t(\mathrm{~d} u)^2+G_t(\mathrm{~d} v)^2$ 计算积分 $\oint_C \mathrm{~d} \theta$ ，无论是在 $t=0$ 时计算，还是在 $t=1$ 时计算，其结果都是一样的．而在平面的情形，$C$ 的正向是使区域 $D$ 始终在行进者的左侧，故由旋转指标定理（参看第二章 § 2．8，定理 8．1）得到

$$
\begin{equation*}
\oint_C \mathrm{~d} \theta=2 \pi . \tag{6.6}
\end{equation*}
$$

综合（6．4），（6．5），（6．6）三式得到

$$
\begin{equation*}
\oint_C \kappa_g \mathrm{~d} s+\iint_D K \mathrm{~d} \sigma=2 \pi . \tag{6.7}
\end{equation*}
$$

如果 $C$ 是分段光滑的简单封闭曲线，它在各角点的外角是 $\alpha_i, 1 \leq i \leq n$ ，则由旋转指标定理得知

$$
\begin{equation*}
\oint_C \mathrm{~d} \theta+\sum_{i=1}^n \alpha_i=2 \pi, \tag{6.8}
\end{equation*}
$$

其中积分 $\oint_C \mathrm{~d} \theta$ 是指 $\mathrm{d} \theta$ 沿每一段连续可微曲线的积分（该段曲线的

![图片](/uploads/2026-06/f48a2c.jpg)
 
 方向角的总变差）之和，但是（6．4）和（6．5）式仍然成立，故得

$$
\begin{equation*}
\oint_C \kappa_g \mathrm{~d} s+\iint_D K \mathrm{~d} \sigma=2 \pi-\sum_{i=1}^n \alpha_i . \tag{6.9}
\end{equation*}
$$

如果曲线 $C$ 所围的区域 $D$ 不能包含在曲面 $S$ 的一个坐标域内，则总是可以用分段光滑曲线将区域 $D$ 分割成一些单连通的小区域，使得每一个小区域落在曲面 $S$ 的某个坐标域内，并且它的边界是分段光滑的简单封闭曲线，因此（6．9）式对于每一块这样的单连通小区域是成立的．现在假定使（6．9）式成立的两小块单连通区域有公共的边界，则由这两个区域本身各自在公共边界上诱导的正定向是彼此相反的，所以在两个等式（6．9）相加时，测地曲率 $\kappa_g$ 沿公共边界的积分是彼此抵消的，而 Gauss 曲率在这两个区域上的积分之和等于 Gauss曲率在这两个区域合并后的区域上的积分．如图6．7，设 $D_1, D_2$ 是两个相邻的区域，公共边界 $C_4, C_6$ 有相反的诱导定向，合并后的区域 $\tilde{D}=D_1+D_2$ 的边界由曲线 $C_1, C_2, C_3, C_5, C_7, C_8$ 组成，记为

$$
\tilde{C}=C_1+C_2+C_3+C_5+C_7+C_8,
$$

它有 6 个角点，设为 $A_1, A_2, A_3\left(=A_6\right), A_7, A_8, A_4\left(=A_5\right)$ ．在角点$A_1, A_2, A_7, A_8$ 处，区域 $\tilde{D}$ 的边界曲线 $\tilde{C}$ 的外角是区域 $D_1, D_2$ 的边界曲线在相应角点的外角 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_7, \alpha_8$ ．区域 $\tilde{D}$ 的边界曲线 $\tilde{C}$ 在角点 $A_3\left(=A_6\right)$ 和 $A_4\left(=A_5\right)$ 处的外角分别是

$$
\begin{equation*}
\tilde{\alpha}_3=\alpha_3+\alpha_6-\pi, \quad \tilde{\alpha}_4=\alpha_4+\alpha_5-\pi, \tag{6.10}
\end{equation*}
$$

所以将区域 $D_1$ 和 $D_2$ 上的 Gauss－Bonnet 公式相加得到

$$
\begin{aligned}
& \oint_{\tilde{C}} \kappa_g \mathrm{~d} s+\iint_{\tilde{D}} K \mathrm{~d} \sigma=4 \pi-\sum_{i=1}^8 \alpha_i \\
& \quad=2 \pi-\left(\alpha_1+\alpha_2+\tilde{\alpha}_3+\alpha_7+\alpha_8+\tilde{\alpha}_4\right),
\end{aligned}
$$

这正好是区域 $\tilde{D}$ 上的 Gauss－Bonnet 公式．将区域 $D$ 分割成的各个小块区域逐块拼接起来，最终得到在区域 $D$ 上成立的 Gauss－Bonnet 公式（6．9）．证毕。

如果曲线 $C$ 是由 $n$ 段测地线组成的分段光滑简单封闭曲线，它围成曲面 $S$ 上的一个单连通区域 $D$ ，则称它是曲面 $S$ 上的一个测地 $n$边形．此时，沿曲线 $C$ 的测地曲率 $\kappa_g=0$ ，所以 Gauss－Bonnet 公式成为

$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n \alpha_i=2 \pi-\iint_D K \mathrm{~d} \sigma . \tag{6.11}
\end{equation*}
$$

当 $C$ 是测地三角形时，Gauss－Bonnet 公式成为

$$
\begin{equation*}
\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=2 \pi-\iint_D K \mathrm{~d} \sigma . \tag{6.12}
\end{equation*}
$$

如果用 $\beta_i$ 记测地三角形 $C$ 的内角，即 $\beta_i=\pi-\alpha_i$ ，则上式等价于

$$
\begin{equation*}
\beta_1+\beta_2+\beta_3=\pi+\iint_D K \mathrm{~d} \sigma . \tag{6.13}
\end{equation*}
$$

由此可见，测地三角形的内角和一般不再等于 $\pi$ ，它与 $\pi$ 之差恰好是曲面 $S$ 的 Gauss 曲率 $K$ 在测地三角形所围的区域上的积分，因此欧氏平面几何学与曲面上的几何学的本质差别在于空间本身的弯曲性质的不同．

![图片](/uploads/2026-06/06a3fa.jpg)
 
 Gauss－Bonnet 公式的最重要的推论是在紧致无边的可定向封闭曲面 $S$ 上的 Gauss－Bonnet 定理。所谓＂紧致性＂是指 $S$ 的任意一个开覆盖必定有一个有限的子覆盖；在欧氏空间 $E^3$ 中看，紧致曲面 $S$ 是一个有界的闭子集。＂无边＂是指曲面 $S$ 没有边界曲线。例如，球面、环面都是紧致无边的可定向封闭曲面．球面被它的一条赤道（大圆周）分成两个半球面，每一个半球面是一个单连通区域，两个区域的边界都是赤道，但是它们有相反的诱导定向．在环面上去掉一条经线和一条纬线，得到的便是一个单连通区域，作为该单连通区域的边界，把去掉的经线和纬线又算了两次，但是诱导定向正好相反（参看图 6．8）．

一般地，紧致无边的可定向封闭曲面 $S$ 可用若干条分段光滑曲线分成有限多个单连通区域，每一段光滑曲线作为这些单连通区域的边界的组成部分都算了两次，而方向却相反，但是在每一个单连通区域上 Gauss－Bonnet 公式（6．9）都是成立的．当这些公式加在一起时，由于分割曲面的每一段光滑曲线作为相邻的单连通区域的公共边各算了两次，并且正好有相反的诱导定向，因此测地曲率 $\kappa_g$ 沿所有这些单连通区域的边界的积分相加必定是互相抵消的，因而这些积分之和为零．很明显，共享有同一个角点的各个单连通区域的内角之和等于 $2 \pi$ ．为确定起见，不妨假定每一个单连通区域有三条边，有三个顶点。假定整个曲面 $S$ 被分成 $f$ 个单连通区域，划分成这些区域的棱（即各段光滑曲线）共有 $e$ 条，顶点（即各个角点）共有 $v$ 个（每条棱和每个顶点都只算了一次）．因为每一条棱恰好是两个单连通区域的公共边，因此各个单连通区域的边数之和是

$$
3 f=2 e
$$

将所有的顶点进行编号，假定以第 $i$ 个顶点为其顶点的单连通区域的个数是 $f_i$ ，则各个单连通区域的顶点数之和是

$$
\sum_{i=1}^v f_i=3 f=2 e .
$$

将享有第 $i$ 个顶点的所有单连通区域进行编号，用 $\alpha_{i j}$ 表示享有第 $i$个顶点的第 $j\left(1 \leq j \leq f_i\right)$ 个单连通区域的外角，并且用 $\beta_{i j}$ 表示相应的内角，则
$$
\sum_{j=1}^{f_i} \alpha_{i j}=\sum_{j=1}^{f_i}\left(\pi-\beta_{i j}\right)=\left(f_i-2\right) \pi .
$$

于是将这 $f$ 个单连通区域上成立的 Gauss－Bonnet 公式（6．9）加在一起得到

$$
\begin{align*}
\iint_D K \mathrm{~d} \sigma & =2 \pi \cdot f-\sum_{i=1}^v \sum_{j=1}^{f_i} \alpha_{i j}=2 \pi \cdot f-\sum_{i=1}^v\left(f_i-2\right) \pi \\
& =2 \pi \cdot f-\pi \sum_{i=1}^v f_i+2 \pi \cdot v \\
& =2 \pi \cdot(f-e+v)=2 \pi \chi(S) \tag{6.14}
\end{align*}
$$

其中 $\chi(S)=f-e+v$ 称为曲面 $S$ 的 Euler 示性数．

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