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6.6 Gauss－Bonnet 公式（2）

从这个公式本身可以得到很多信息．首先公式（6．14）的左端与曲面 $S$ 被剖分成一些单连通三角形区域的方式无关，并且与曲面 $S$ 作等距变形无关，因此该公式表明曲面 $S$ 的 Euler 示性数 $\chi(S)$ 实际上与如何把曲面 $S$ 划分成一些单连通区域的方式无关，与曲面 $S$ 等距变形也无关（这一类量称为曲面 $S$ 的拓扑不变量）．反过来，公式（6．14）的右端根本不涉及曲面的第一基本形式和 Gauss 曲率，只是将曲面作三角剖分之后得到的一个数值．由此可见，在紧致无边的可定向封闭曲面 $S$ 上 Gauss 曲率的积分实际上与曲面的第一基本形式没有关系．众所周知，球面的 Euler 示性数是 2 ，环面的 Euler 示性数是 0 。 一般地，有 $\mathfrak{g}$ 个洞的面包圈状曲面 $S$ 的 Euler 示性数是 $\chi(S)=2(1-\mathfrak{g})$ ，这里 $\mathfrak{g}$ 称为曲面 $S$ 的亏格．

公式（6．14）叫做 Gauss－Bonnet 定理，它把曲面 $S$ 的微分几何的量 $K$（Gauss 曲率）与它的拓扑不变量 $\chi(S)$（Euler 示性数）联系了起来，是一个非常了不起的定理．它在高维情形的推广是现代微分几何学发展的一个重要的原动力．

本节的最后我们要用 Gauss－Bonnet 公式来研究曲面 $S$ 上的切向量沿封闭曲线平行移动一周所产生的旋转角，再次说明曲面 $S$ 的 Gauss曲率在产生这种旋转角的过程中所起到的本质作用，以及欧氏平面几何学与曲面上的几何学的本质区别．

假定曲面 $S$ 上的简单封闭曲线 $C$ 所围成的单连通区域 $D$ 被正交参数系 $(u, v)$ 所覆盖，曲面的第一基本形式为

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2 \tag{6.15}
\end{equation*}
$$

命

$$
\begin{equation*}
\alpha_1=\frac{1}{\sqrt{E}} r_u, \quad \alpha_2=\frac{1}{\sqrt{G}} r_v \tag{6.16}
\end{equation*}
$$

则 $\left\{\boldsymbol{r} ; \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2\right\}$ 是曲面 $S$ 上的单位正交切标架场．设曲线 $C$ 的参数方程是 $u=u(s), v=v(s), 0 \leq s \leq l$ 是弧长参数， $\boldsymbol{X}(s)$ 是沿曲线 $C$ 平

行的单位切向量场，于是可以设

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{X}(s)=\cos \varphi(s) \cdot \boldsymbol{\alpha}_1(u(s), v(s))+\sin \varphi(s) \cdot \boldsymbol{\alpha}_2(u(s), v(s)), \tag{6.17}
\end{equation*}
$$

其中 $\varphi(s)$ 是切向量 $\boldsymbol{X}(s)$ 与 $u$－曲线所成的方向角．由于向量场 $\boldsymbol{X}(s)$沿曲线 $C$ 的平行性，故有

$$
\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{X}(s)}{\mathrm{d} s}=\frac{\mathrm{d} \varphi(s)}{\mathrm{d} s}\left(-\sin \varphi \boldsymbol{\alpha}_1+\cos \varphi \boldsymbol{\alpha}_2\right)+\cos \varphi \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s}+\sin \varphi \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{\alpha}_2}{\mathrm{~d} s}=0,
$$

即

$$
\frac{\mathrm{d} \varphi(s)}{\mathrm{d} s}\left(\sin \varphi \boldsymbol{\alpha}_1-\cos \varphi \boldsymbol{\alpha}_2\right)=\cos \varphi \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s}+\sin \varphi \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{\alpha}_2}{\mathrm{~d} s} .
$$

将上式两边与 $\left(\sin \varphi \alpha_1-\cos \varphi \alpha_2\right)$ 作内积，并且根据定理5．2（3）有

$$
\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{\alpha}_1=\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{\alpha}_2}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{\alpha}_2=0, \quad \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{\alpha}_2=-\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{\alpha}_2}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{\alpha}_1,
$$

由此得到

$$
\begin{align*}
\frac{\mathrm{d} \varphi(s)}{\mathrm{d} s} & =\left(\sin \varphi \boldsymbol{\alpha}_1-\cos \varphi \boldsymbol{\alpha}_2\right) \cdot\left(\cos \varphi \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s}+\sin \varphi \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{\alpha}_2}{\mathrm{~d} s}\right) \\
& =-\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{\alpha}_2 . \tag{6.18}
\end{align*}
$$

另一方面，用 $e_1$ 记曲线 $C$ 的单位切向量，命 $e_2=n \times e_1$ ，即 $e_2$是将 $e_1$ 按正向旋转 $90^{\circ}$ 所得到的单位向量．用 $\theta$ 表示 $e_1$ 与 $u$－曲线所成的方向角，于是

$$
e_1=\cos \theta \alpha_1+\sin \theta \alpha_2, \quad e_2=-\sin \theta \alpha_1+\cos \theta \alpha_2,
$$

根据（5．20）式得到

$$
\begin{equation*}
\kappa_g=\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{e}_1}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{e}_2=\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}+\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{\alpha}_2 . \tag{6.19}
\end{equation*}
$$

比较（6．18）和（6．19）两式得到

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}-\kappa_g=\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{~d} s} . \tag{6.20}
\end{equation*}
$$

分别取 $\theta(s)$ 和 $\varphi(s)$ 的连续分支，将（6．20）式在曲线 $C$ 上积分，则得

$$
\varphi(l)-\varphi(0)=\oint_C \mathrm{~d} \varphi=\oint_C \mathrm{~d} \theta-\oint_C \kappa_g \mathrm{~d} s=2 \pi-\oint_C \kappa_g \mathrm{~d} s,
$$

其中 $l$ 是简单封闭曲线 $C$ 的弧长．利用 Gauss－Bonnet 公式（6．7）得到

$$
\begin{equation*}
\varphi(l)-\varphi(0)=\iint_D K \mathrm{~d} \sigma . \tag{6.21}
\end{equation*}
$$

由此可见，当单位向量 $\boldsymbol{X}$ 绕简单封闭曲线 $C$ 平行移动一周后再回到出发点时未必与初始单位向量 $\boldsymbol{X}$ 重合，所转过的角度恰好是曲面 $S$的 Gauss 曲率 $K$ 在曲线 $C$ 所围成的单连通区域 $D$ 上的积分．当 $C$是分段光滑的简单封闭曲线时，公式（6．21）仍然成立，但是必须假定曲线 $C$ 所围成的区域 $D$ 是单连通的．

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