最后更新: 2026-06-08 06:07 查看: 9 次纠错评论(0) 课件开VIP

7.1 外形式和外代数（1）

第七章 活动标架和外微分法
就＂微分几何＂课的主要内容来讲，前六章已经构成完整的体系．在这六章中我们详细地介绍了在三维欧氏空间 $E^3$ 中决定曲线和曲面形状和大小的完全不变量系统，证明了曲线论和曲面论的基本定理，并对曲面的内蕴几何展开了深入的讨论。本章要讲授活动标架和外微分法，其用意有两方面：一方面是介绍近代微分几何的重要的研究工具，让读者初步了解活动标架和外微分法的奧妙，另一方面也借以对曲面的局部理论作一个系统的总结，从而提高我们对于曲面论的认识．因此，本章内容对于要更好地掌握曲面论的读者来说是十分重要的．

通过前面的讨论，我们已经体会到附属于曲面的标架族的重要性．只是与曲线论的情形不同，在讨论曲面的时候只用曲面的自然标架场，它不是由曲面内在地确定的，而是依赖于曲面参数的选择．但是，曲面的自然标架场是通过曲面的参数方程直接求导和向量的向量积得到的，用起来十分简单和方便．一个自然的想法是，在曲面上是否能够用单位正交标架场？一般说来，曲面上的单位正交标架场不可能是曲面在某个参数系下的的自然标架场．即使我们在曲面上取正交的曲率线网作为参数曲线网，相应的自然标架场也只是正交标架场，

而不是单位正交标架场．如果我们坚持在曲面上取单位正交标架场，则这种标架场与曲面的参数系只能保持松驰的关系，并且这种标架场的指定在每一点可以差一个任意的转动（所谓活动标架的含义即在于此）．在曲面上指定了单位正交标架场之后，曲面的几何量可以用该标架场的量来表示，但是它应该与单位正交标架场的选取无关．另外，因为单位正交标架场与曲面的参数系只保持松驰的关系，考虑该标架场沿参数曲线的导数就不再是特别要紧的了，作为替代物应该考虑标架场沿曲面的微分．要研究正交标架场沿曲面的微分公式，所谓的外微分运算就变得十分重要了．

活动标架和外微分法是由大几何学家 Cartan 引进的，并且把它广泛地用于几何问题的研究。作为 Cartan 的继承人，陈省身把活动标架和外微分法用到炉火纯青的程度，使得人们能够普遍地认同这种方法，承认这种方法的威力．在 20 世纪的后半叶，活动标架和外微分法已经成为微分几何、复流形几何、代数几何研究的强有力的工具．我们在这里只是初步地介绍活动标架和外微分法的理论，重点在于它在曲面论中的应用．

§7．1 外形式
本节要在代数上作一些准备，介绍外形式和外代数的概念。
设 $V$ 是 $n$ 维向量空间，$\left\{e_1, \cdots, e_n\right\}$ 是它的一个基底，则空间 $V$中的任意一个元素 $x$ 都能够唯一地表示为基底向量 $e_1, \cdots, e_n$ 的线性组合，设为

$$
\begin{equation*}
x=x^1 e_1+\cdots+x^n e_n \equiv x^i e_i, \tag{1.1}
\end{equation*}
$$

在最右端我们采用了 Einstein 的和式约定．在本节，我们规定所有的指标 $i, j, k, l$ 的取值范围是从 1 到 $n$ 的整数．实数 $x^1, \cdots, x^n$ 称为向量 $x$ 在基底 $\left\{e_1, \cdots, e_n\right\}$ 下的分量。

设 $f: V \rightarrow \mathbb{R}$ 是向量空间 $V$ 上的函数．如果对于任意的 $x, y \in V$及 $\alpha \in \mathbb{R}$ 总有

$$
\begin{equation*}
f(x+y)=f(x)+f(y), \quad f(\alpha \cdot x)=\alpha \cdot f(x), \tag{1.2}
\end{equation*}
$$

则称 $f$ 是向量空间 $V$ 上的线性函数．在固定的基底 $\left\{e_i\right\}$ 下，取向量 $x \in V$ 在该基底下的第 $j$ 个分量，显然它是向量空间 $V$ 上的一个线性函数，记为 $e^j$（注意：在这里我们故意用表示基底向量的同一个字母来记这个函数，只是第 $j$ 个函数用上指标 $j$ 来区分，这意味着函数 $e^j$ 是与基底 $\left\{e_i\right\}$ 有关系的），即
$$
\begin{equation*}
e^j(x)=x^j . \tag{1.3}
\end{equation*}
$$

特别地，函数 $e^j$ 在基底向量 $e_i$ 上的值是

$$
e^j\left(e_i\right)= \begin{cases}1, & i=j  \tag{1.4}\\ 0, & i \neq j\end{cases}
$$

为方便起见，常常把上式右端记为 $\delta_i^j$ ，称作 Kronecker $\delta$－记号，即

$$
\delta_i^j= \begin{cases}1, & i=j,  \tag{1.5}\\ 0, & i \neq j,\end{cases}
$$

这里的 $\delta_i^j$ 是专用记号，与基底 $\left\{e_i\right\}$ 所用的字母的记号没有关系．
很明显，向量空间 $V$ 上的任意两个线性函数的和是 $V$ 上的线性函数，$V$ 上的一个线性函数与实数 $\alpha$ 的乘积仍然是 $V$ 上的线性函数．这就是说，$V$ 上全体线性函数的集合关于加法和数乘法是封闭的．因此该集合是一个新的向量空间，记为 $V^*$ ，称为原向量空间 $V$ 的对偶空间．容易证明，前面在 $V$ 的固定基底 $\left\{e_i\right\}$ 下定义的 $n$ 个线性函数 $e^1, \cdots, e^n$ 恰好构成空间 $V^*$ 的基底，称为与原向量空间 $V$ 的基底 $\left\{e_i\right\}$ 对偶的基底．实际上，对于任意的线性函数 $f \in V^*$ 和任意的向量 $x=x^i e_i \in V$ ，我们有

$$
\begin{equation*}
f(x)=f\left(x^i e_i\right)=x^i f\left(e_i\right) . \tag{1.6}
\end{equation*}
$$

命

$$
\begin{equation*}
f_i=f\left(e_i\right), \tag{1.7}
\end{equation*}
$$

则由（1．3）和（1．6）式得到

$$
f(x)=f_i x^i=f_i e^i(x)=\left(f_i e^i\right)(x), \quad \forall x \in V,
$$
因此

$$
\begin{equation*}
f=f_i e^i \tag{1.8}
\end{equation*}
$$

这说明向量空间 $V$ 上的任意一个线性函数 $f$ 能够表示成线性函数 $e^1, \cdots, e^n$ 的线性组合，组合系数 $f_i$ 正好是线性函数 $f$ 在基底向量 $e_i$ 上的值．下面要证明这 $n$ 个线性函数 $e^1, \cdots, e^n$ 是线性无关的．假定有 $n$ 个实数 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ ，使得线性组合 $\alpha_1 e^1+\cdots+\alpha_n e^n$ 为零，即

$$
\alpha_1 e^1+\cdots+\alpha_n e^n=0,
$$

将这个零函数在基底向量 $e_k$ 上求值得到

$$
0=\alpha_i e^i\left(e_k\right)=\alpha_i \delta_k^i=\alpha_k, \quad \forall k,
$$

这意味着所有的实数 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 必须为零，因此线性函数 $e^1, \cdots, e^n$ 是线性无关的，故它们构成对偶向量空间 $V^*$ 的基底，特别是 $\operatorname{dim} V^*=n$ ． $V$ 上的线性函数也称为一次形式，或者 1－形式．

类似地，我们可以考虑线性空间 $V$ 上的多重线性函数．设

$$
f: \underbrace{V \times \cdots \times V}_{r \uparrow} \rightarrow \mathbb{R}
$$

是 $V$ 上的 $r$ 元函数．如果它对于每一个自变量来说都是线性函数，则称它是 $r$ 重线性函数．线性空间 $V$ 上全体 $r$ 重线性函数的集合关于加法和数乘法自然是封闭的，因此它本身是一个向量空间，记为 $\otimes^r V^*$ ，或者 $V_r$ ．

另外，任意两个多重线性函数能够作张量积，得到一个新的多重线性函数．例如，设 $f$ 是一个 $r$ 重线性函数，$g$ 是一个 $s$ 重线性函数，$f$ 和 $g$ 的张量积 $f \otimes g$ 定义为

$$
\begin{equation*}
f \otimes g\left(x_1, \cdots, x_{r+s}\right)=f\left(x_1, \cdots, x_r\right) \cdot g\left(x_{r+1}, \cdots, x_{r+s}\right), \tag{1.9}
\end{equation*}
$$

其中 $x_1, \cdots, x_{r+s} \in V$ ．很明显，$f \otimes g$ 是一个 $r+s$ 重线性函数．容易验证，张量积具有分配律和结合律，即

分配律：$\quad(f+g) \otimes h=f \otimes h+g \otimes h, h \otimes(f+g)=h \otimes f+h \otimes g$ ；
结合律：$\quad(f \otimes g) \otimes h=f \otimes(g \otimes h)=f \otimes g \otimes h$.

因此，$r$ 个线性函数的张量积便成为一个 $r$ 重线性函数．特别地，设 $\left\{e^1, \cdots, e^n\right\}$ 是对偶向量空间 $V^*$ 的基底，任意固定 $r$ 个指标 $i_1, \cdots, i_r$ ，则我们得到一个 $r$ 重线性函数 $e^{i_1} \otimes \cdots \otimes e^{i_r}$ ，它在向量 $x_1, \cdots, x_r \in V$上的值是

$$
\begin{equation*}
e^{i_1} \otimes \cdots \otimes e^{i_r}\left(x_1, \cdots, x_r\right)=e^{i_1}\left(x_1\right) \cdots e^{i_r}\left(x_r\right)=x_1^{i_1} \cdots x_r^{i_r} . \tag{1.10}
\end{equation*}
$$

指标 $i_1, \cdots, i_r$ 的选法共有 $n^r$ 种，因此我们得到 $n^r$ 个 $r$ 重线性函数

$$
\begin{equation*}
e^{i_1} \otimes \cdots \otimes e^{i_r}, \quad 1 \leq i_1, \cdots, i_r \leq n, \tag{1.11}
\end{equation*}
$$

它们构成向量空间 $\otimes^r V^*$ 的基底，由此可见 $\operatorname{dim} \otimes^r V^*=n^r$ ．实际上，若设 $f \in \bigotimes^r V^*, x_1, \cdots, x_r \in V$ ，则

$$
\begin{aligned}
f\left(x_1, \cdots, x_r\right) & =f\left(x_1^{i_1} e_{i_1}, \cdots, x_r^{i_r} e_{i_r}\right) \\
& =x_1^{i_1} \cdots x_r^{i_r} \cdot f\left(e_{i_1}, \cdots, e_{i_r}\right) \\
& =f_{i_1 \cdots i_r} e^{i_1} \otimes \cdots \otimes e^{i_r}\left(x_1, \cdots, x_r\right),
\end{aligned}
$$

其中
$$
\begin{equation*}
f_{i_1 \cdots i_r}=f\left(e_{i_1}, \cdots, e_{i_r}\right), \tag{1.12}
\end{equation*}
$$

因此

$$
\begin{equation*}
f=f_{i_1 \cdots i_r} e^{i_1} \otimes \cdots \otimes e^{i_r} . \tag{1.13}
\end{equation*}
$$

$n^r$ 个 $r$ 重线性函数（1．11）的线性无关性留给读者自己证明．
设 $f \in \otimes^r V^*$ ．如果在函数 $f$ 的任意两个自变量交换位置时 $f$ 的值只改变它的符号，即对于任意的 $x_1, \cdots, x_r \in V$ 以及任意的 $1 \leq s< t \leq r$ 总有

$$
\begin{aligned}
& f\left(x_1, \cdots, x_{s-1}, x_s, x_{s+1}, \cdots, x_{t-1}, x_t, x_{t+1}, \cdots\right) \\
& \quad=-f\left(x_1, \cdots, x_{s-1}, x_t, x_{s+1}, \cdots, x_{t-1}, x_s, x_{t+1}, \cdots\right),
\end{aligned}
$$

则称 $f$ 是一个反对称的 $r$ 重线性函数，或称 $f$ 是一个 $r$ 次外形式，简称为 $r$－形式．此时，如果 $\sigma$ 是 $\{1, \cdots, r\}$ 的任意一个置换，则有

$$
\begin{equation*}
f\left(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(r)}\right)=\operatorname{sign}(\sigma) \cdot f\left(x_1, \cdots, x_r\right), \tag{1.14}
\end{equation*}
$$

其中 $\operatorname{sign}(\sigma)$ 是置换 $\sigma$ 的符号，即

$$
\operatorname{sign}(\sigma)= \begin{cases}1, & \text { 若 } \sigma \text { 是偶置换, }  \tag{1.15}\\ -1, & \text { 若 } \sigma \text { 是奇置换. }\end{cases}
$$

实际上，$r$ 次外形式的最简单的例子就是由行列式给出的．
设 $x_1, \cdots, x_r$ 是向量空间 $V$ 中的 $r$ 个元素，在基底 $\left\{e_1, \cdots, e_n\right\}$下它们可以表示为

$$
x_i=x_i^1 e_1+\cdots+x_i^n e_n .
$$

任意取定一组指标 $1 \leq j_1<\cdots<j_r \leq n$ ，命
$$
D^{j_1 \cdots j_r}\left(x_1, \cdots, x_r\right)=\left|\begin{array}{ccc}
x_1^{j_1} & \cdots & x_1^{j_r}  \tag{1.16}\\
\vdots & & \vdots \\
x_r^{j_1} & \cdots & x_r^{j_r}
\end{array}\right| .
$$

根据行列式的性质，函数 $D^{j_1 \cdots j_r}\left(x_1, \cdots, x_r\right)$ 是 $x_1, \cdots, x_r$ 的反对称的 $r$ 重线性函数，即 $D^{j_1 \cdots j_r}$ 是一个 $r$ 次外形式。

以后我们要证明，任意一个 $r$ 次外形式无非是这样的一些行列式的线性组合．为此，我们先介绍反对称化运算和外积运算这两个概念．

所谓的反对称化运算是将一个 $r$ 重线性函数变成一个 $r$ 重反对称线性函数的手段．实际上，$r$ 重线性函数 $f$ 的反对称化（记为 $[f]$ ）就是将它的自变量作所有的置换，然后取它们的值的交替平均值．例如，设 $f$ 是 $V$ 上的一个 2 重线性函数，则

$$
[f](x, y)=\frac{1}{2}(f(x, y)-f(y, x)), \quad \forall x, y \in V
$$

如果 $f$ 是 $V$ 上的一个 3 重线性函数，则

$$
\begin{gathered}
{[f](x, y, z)=\frac{1}{6}(f(x, y, z)-f(y, x, z)+f(y, z, x)-f(z, y, x)} \\
+f(z, x, y)-f(x, z, y))
\end{gathered}
$$

其中 $x, y, z \in V$ ．一般地，设 $f$ 是 $V$ 上的一个 $r$ 重线性函数，则

$$
\begin{equation*}
[f]\left(x_1, \cdots, x_r\right)=\frac{1}{r!} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_r} \operatorname{sign}(\sigma) \cdot f\left(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{(r)}\right), \tag{1.17}
\end{equation*}
$$

其中 $\mathfrak{S}_r$ 是 $r$ 个整数 $\{1, \cdots, r\}$ 的置换群．很明显，$[f]$ 是一个 $r$ 次外形式．如果 $f$ 本身是 $r$ 次外形式，则 $[f]=f$ ．

向量空间 $V$ 上的全体 $r$ 次外形式的集合记为 $\wedge^r V^*$ ，因为加法和数乘法在集合 $\wedge^r V^*$ 中是封闭的，因此它自然是一个向量空间．更要紧的一个事实是在外形式之间还能够定义外积运算，它在实质上是张量积和反对称化运算的复合。

定义 1.1 设 $f \in \bigwedge^r V^*, g \in \bigwedge^s V^*$ ，则 $f$ 和 $g$ 的外积 $f \wedge g$ 是一个 $(r+s)$ 次外形式，定义为

$$
\begin{equation*}
f \wedge g=\frac{(r+s)!}{r!s!}[f \otimes g] \tag{1.18}
\end{equation*}
$$

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