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7.1 外形式和外代数（2）

例题 1 设 $f, g$ 是向量空间 $V$ 上的两个一次形式，求它们的外积的求值公式．

解 根据定义 1．1，我们有

$$
f \wedge g=2[f \otimes g]
$$

因此，对于任意的 $x, y \in V$ 有

$$
\begin{aligned}
f \wedge g(x, y) & =2[f \otimes g](x, y)=f \otimes g(x, y)-f \otimes g(y, x) \\
& =f(x) g(y)-f(y) g(x)=\left|\begin{array}{ll}
f(x) & f(y) \\
g(x) & g(y)
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

例题 2 设 $f, g, h$ 是向量空间 $V$ 上的一次形式，求它们的外积的求值公式。

解 根据定义1．1，我们有

$$
f \wedge(g \wedge h)=\frac{3!}{1!2!}[f \otimes(g \wedge h)]=\frac{3!}{2!} \cdot \frac{2!}{1!1!}[f \otimes(g \otimes h)]=6[f \otimes g \otimes h]
$$

因此，对于任意的 $x, y, z \in V$ 有

$$
\begin{aligned}
f \wedge & (g \wedge h)(x, y, z)=6[f \otimes g \otimes h](x, y, z) \\
= & f \otimes g \otimes h(x, y, z)-f \otimes g \otimes h(y, x, z)+f \otimes g \otimes h(y, z, x) \\
& \quad-f \otimes g \otimes h(z, y, x)+f \otimes g \otimes h(z, x, y)-f \otimes g \otimes h(z, y, x) \\
= & f(x) g(y) h(z)-f(y) g(x) h(z)+f(y) g(z) h(x) \\
& -f(z) g(y) h(x)+f(z) g(x) h(y)-f(z) g(y) h(x) \\
= & \left|\begin{array}{lll}
f(x) & f(y) & f(z) \\
g(x) & g(y) & g(z) \\
h(x) & h(y) & h(z)
\end{array}\right| .
\end{aligned}
$$

定理 1.1 外积运算遵循下列运算法则：
（1）分配律：$\left(f_1+f_2\right) \wedge g=f_1 \wedge g+f_2 \wedge g$ ；
（2）反交换律：设 $f \in \bigwedge^r V^*, g \in \bigwedge^s V^*$ ，则 $f \wedge g=(-1)^{r s} g \wedge f$ ；
（3）结合律：$f \wedge(g \wedge h)=(f \wedge g) \wedge h$ ．
证明（1）是明显的．关于（2），任意取 $x_1, \cdots, x_{r+s} \in V$ ，则根据外积的定义，我们有

$$
\begin{aligned}
f \wedge & g\left(x_1, \cdots, x_{r+s}\right)=\frac{(r+s)!}{r!s!}[f \otimes g]\left(x_1, \cdots, x_{r+s}\right) \\
& =\frac{1}{r!s!} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_{r+s}} \operatorname{sign}(\sigma) \cdot f\left(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(r)}\right) g\left(x_{\sigma(r+1)}, \cdots, x_{\sigma(r+s)}\right) \\
& =\frac{1}{r!s!} \operatorname{sign}\left(\begin{array}{ccccc}
s+1 & \cdots & s+r & 1 & \cdots \\
1 & \cdots & r & r+1 & \cdots \\
& \cdot & r+s
\end{array}\right) \\
& \cdot \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_{r+s}} \operatorname{sign}(\sigma) \cdot g\left(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(s)}\right) f\left(x_{\sigma(s+1)}, \cdots, x_{\sigma(s+r)}\right) \\
= & (-1)^{r s} g \wedge f\left(x_1, \cdots, x_{r+s}\right)
\end{aligned}
$$

至于（3），只要证明对于任意的 $f \in \bigwedge^r V^*, g \in \bigwedge^s V^*, h \in \bigwedge^t V^*$有

$$
\begin{align*}
& f \wedge(g \wedge h)=\frac{(r+s+t)!}{r!s!t!}[f \otimes g \otimes h]  \tag{1.19}\\
& (f \wedge g) \wedge h=\frac{(r+s+t)!}{r!s!t!}[f \otimes g \otimes h]
\end{align*}
$$

读者可以仿照例 3 自己进行证明．证毕．
根据结合律，任意多个外形式的外积是有意义的．例如： 3 个外形式 $f, g, h$ 的外积 $f \wedge g \wedge h$ 可以写成 $f \wedge(g \wedge h)$ ，也可以写成 $(f \wedge g) \wedge h$ ，最终它是（1．19）式的右端．

由反交换律得知，如果 $f, g$ 是 $V$ 上的一次形式，则

$$
\begin{equation*}
f \wedge g=-g \wedge f \tag{1.20}
\end{equation*}
$$

特别地，

$$
\begin{equation*}
f \wedge f=-f \wedge f, \quad f \wedge f=0 \tag{1.21}
\end{equation*}
$$

另外，如果在 $f, g$ 中至少有一个是偶次外形式，则由（2）得知下面的交换律成立：

$$
f \wedge g=g \wedge f .
$$
现在设 $f^1, \cdots, f^r$ 是 $V$ 上的 $r$ 个一次形式，则由（1．19）得知

$$
\begin{equation*}
f^1 \wedge \cdots \wedge f^r=r!\left[f^1 \otimes \cdots \otimes f^r\right] . \tag{1.22}
\end{equation*}
$$

任意取 $x_1, \cdots, x_r \in V$ ，则

$$
\begin{align*}
f^1 & \wedge \cdots \wedge f^r\left(x_1, \cdots, x_r\right)=r!\left[f^1 \otimes \cdots \otimes f^r\right]\left(x_1, \cdots, x_r\right) \\
& =\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_r} \operatorname{sign}(\sigma) f^1\left(x_{\sigma(1)}\right) \cdots f^r\left(x_{\sigma(r)}\right)=\left|\begin{array}{ccc}
f^1\left(x_1\right) & \cdots & f^1\left(x_r\right) \\
\vdots & & \vdots \\
f^r\left(x_1\right) & \cdots & f^r\left(x_r\right)
\end{array}\right| . \tag{1.23}
\end{align*}
$$
特别地，在 $V^*$ 的基底 $\left\{e^i\right\}$ 中任意取定 $r$ 个成员 $e^{j_1}, \cdots, e^{j_r}$ ，则由 （1．23）式得到

$$
\begin{align*}
& e^{j_1} \wedge \cdots \wedge e^{j_r}\left(x_1, \cdots, x_r\right) \\
& \quad=\left|\begin{array}{ccc}
e^{j_1}\left(x_1\right) & \cdots & e^{j_1}\left(x_r\right) \\
\vdots & & \vdots \\
e^{j_r}\left(x_1\right) & \cdots & e^{j_r}\left(x_r\right)
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
x_1^{j_1} & \cdots & x_r^{j_1} \\
\vdots & & \vdots \\
x_1^{j_r} & \cdots & x_r^{j_r}
\end{array}\right| . \tag{1.24}
\end{align*}
$$

将（1．24）和（1．16）式相对照不难知道

$$
\begin{equation*}
D^{j_1 \cdots j_r}=e^{j_1} \wedge \cdots \wedge e^{j_r} . \tag{1.25}
\end{equation*}
$$

若在 $V$ 的基底 $\left\{e_i\right\}$ 中任意取定 $r$ 个成员 $e_{i_1}, \cdots, e_{i_r}$ ，则由（1．24）式得到

$$
e^{j_1} \wedge \cdots \wedge e^{j_r}\left(e_{i_1}, \cdots, e_{i_r}\right)=\left|\begin{array}{ccc}
\delta_{i_1}^{j_1} & \cdots & \delta_{i_r}^{j_1}  \tag{1.26}\\
\vdots & & \vdots \\
\delta_{i_1}^{j_r} & \cdots & \delta_{i_r}^{j_r}
\end{array}\right| \equiv \delta_{i_1 \cdots i_r}^{j_1 \cdots j_r},
$$
我们把 $\delta_{i_1 \cdots i_r}^{j_1 \cdots j_r}$ 称为广义的 Kronecker $\delta$ 记号．由它的定义式（1．26）即知

$$
\delta_{i_1 \cdots i_r}^{j_1 \cdots j_r}=\left\{\begin{array}{cl}
1, & \text { 若 } i_1, \cdots, i_r \text { 互不相同, 且 } j_1, \cdots, j_r \\
& \text { 是 } i_1, \cdots, i_r \text { 的偶排列; } \\
-1, & \text { 若 } i_1, \cdots, i_r \text { 互不相同, 且 } j_1, \cdots, j_r \\
& \text { 是 } i_1, \cdots, i_r \text { 的奇排列; } \\
0, & \text { 其他情形. }
\end{array}\right.
$$

根据反交换律（2），对于一次形式 $f^1, \cdots, f^r$ 的外积 $f^1 \wedge \cdots \wedge f^r$ ，交换其中的任意两个因子，则该外积必反号．所以，对任意的 $\sigma \in \mathfrak{S}_r$有

$$
\begin{equation*}
f^{\sigma(1)} \wedge \cdots \wedge f^{\sigma(r)}=\operatorname{sign}(\sigma) \cdot f^1 \wedge \cdots \wedge f^r=\delta_{1 \cdots r}^{\sigma(1) \cdots \sigma(r)} f^1 \wedge \cdots \wedge f^r . \tag{1.27}
\end{equation*}
$$
定理 1.2 设 $\left\{e^1, \cdots, e^n\right\}$ 是对偶向量空间 $V^*$ 的一个基底，则 $\left\{e^{j_1} \wedge \cdots \wedge e^{j_r}, 1 \leq j_1<\cdots<j_r \leq n\right\}$ 是 $r$ 次外形式空间 $\wedge^r V^*$ 的基底．特别是，空间 $\bigwedge^r V^*$ 的维数是 $\operatorname{dim} \bigwedge^r V^*=C_n^r$ ．当 $r>n$ 时， $\bigwedge^r V^*=\{0\}$.

证明 设 $f \in \bigwedge^r V^*$ ，则 $f$ 作为 $r$ 重线性函数可以表示为（参看 （1．13）式）

$$
f=f_{j_1 \cdots j_r} e^{j_1} \otimes \cdots \otimes e^{j_r},
$$

其中

$$
f_{j_1 \cdots j_r}=f\left(e_{j_1}, \cdots, e_{j_r}\right),
$$

这里 $\left\{e_i\right\}$ 是向量空间 $V$ 中对偶的基底．因为 $f$ 的反对称性，所以系数 $f_{j_1 \cdots j_r}$ 关于下指标是反对称的，即

$$
f_{j_{\sigma(1)} \cdots j_{\sigma(r)}}=\operatorname{sign}(\sigma) f_{j_1 \cdots j_r} \quad \forall \sigma \in \mathfrak{S}_r
$$

因此由（1．22）式得知

$$
\begin{align*}
f & =[f]=f_{j_1 \cdots j_r}\left[e^{j_1} \otimes \cdots \otimes e^{j_r}\right]=\frac{1}{r!} f_{j_1 \cdots j_r} e^{j_1} \wedge \cdots \wedge e^{j_r} \\
& =\sum_{1 \leq j_1<\cdots<j_r \leq n} f_{j_1 \cdots j_r} e^{j_1} \wedge \cdots \wedge e^{j_r} \tag{1.28}
\end{align*}
$$

这说明任意一个 $r$ 次外形式 $f$ 能够表示成 $e^{j_1} \wedge \cdots \wedge e^{j_r}, ~ 1 \leq j_1< \cdots<j_r \leq n$ 的线性组合。

为了证明这 $C_n^r$ 个 $r$ 次外形式 $e^{j_1} \wedge \cdots \wedge e^{j_r}, 1 \leq j_1<\cdots<j_r \leq n$是线性无关的，假定有一组实数 $f_{j_1 \cdots j_r}, 1 \leq j_1<\cdots<j_r \leq n$ ，使得线性组合

$$
\sum_{1 \leq j_1<\cdots<j_r \leq n} f_{j_1 \cdots j_r} e^{j_1} \wedge \cdots \wedge e^{j_r}=0 .
$$

将这个零函数在向量 $e_{i_1}, \cdots, e_{i_r}, 1 \leq i_1<\cdots<i_r \leq n$ 上求值，得到

$$
0=\sum_{1 \leq j_1<\cdots<j_r \leq n} f_{j_1 \cdots j_r} e^{j_1} \wedge \cdots \wedge e^{j_r}\left(e_{i_1}, \cdots, e_{i_r}\right)
$$

$$
=\sum_{1 \leq j_1<\cdots<j_r \leq n} f_{j_1 \cdots j_r} \delta_{i_1 \cdots i_r}^{j_1 \cdots j_r}=f_{i_1 \cdots i_r},
$$

由此可见，这组实数 $f_{j_1 \cdots j_r}, 1 \leq j_1<\cdots<j_r \leq n$ 必须全部为零．证毕．

上面的构造可以从代数上进行抽象。假定 $W$ 是任意一个 $n$ 维向量空间，它的一个基底是 $\left\{w_1, \cdots, w_n\right\}$ 。把 $w_1, \cdots, w_n$ 看作 $n$ 个字母，构造实系数多项式，只是要求字母之间的乘法不是普通的交换乘法，而是反交换乘法．也就是在交换任意两个字母的位置时该乘积变号：

$$
\begin{equation*}
w_i \wedge w_j=-w_j \wedge w_i, \quad \forall 1 \leq i, j \leq n \tag{1.29}
\end{equation*}
$$

把这种乘法称为外积，假定多个字母的外积遵循结合律，同时假定分配律也成立．如此得到的多项式称为外多项式．由于

$$
w_i \wedge w_i=-w_i \wedge w_i, \quad \text { 故 } \quad w_i \wedge w_i=0, \quad \forall i .
$$

因此在外多项式的每一项中同一个字母不会出现两次，于是高于 $n$ 次的齐次外多项式必定是零。这样，一次外多项式是字母 $w_1, \cdots, w_n$ 的线性组合，它们构成向量空间 $W$ 本身．二次外多项式是 $w_i \wedge w_j, 1 \leq i<j \leq n$ 的线性组合，它们构成的空间记成 $\bigwedge^2 W$ 。 一般地，$k$ 次外多项式是

$$
w_{i_1} \wedge \cdots \wedge w_{i_k}, \quad 1 \leq i_1<\cdots<i_k \leq n
$$

的线性组合，它们构成的空间记成 $\wedge^k W$ ．零次外多项式定义为实数本身．全体外多项式的集合记为

$$
\begin{equation*}
\bigwedge(W)=\sum_{k=0}^n \bigwedge^k W, \tag{1.30}
\end{equation*}
$$

其元素是各次外多项式的形式和．在集合 $\Lambda(W)$ 中有加法和外积运算，并且外积运算适合分配律、结合律和反交换律，所以从代数上讲， $\wedge(W)$ 是一个结合代数，称为向量空间 $W$ 上的外代数．
由此可见，向量空间 $V$ 上的外形式就是其对偶空间 $V^*$ 的基底向量 $e^1, \cdots, e^n$ 的外多项式．但是，我们在本节具体地、构造性地定义了外形式的外积，而不只是一种抽象的规定．这就是说，本节叙述的外形式的理论具体地构造出一个外代数．

另一个具体的外代数的例子是：设 $\mathbb{R}^3$ 是三维向量空间，＂$\times$＂是该空间上的向量积（叉积）．容易验证，空间 $\mathbb{R}^3$ 关于向量积是一个外代数．不过，在这个外代数中，向量积 $x \times y$ 本身仍然是空间 $\mathbb{R}^3$ 中的一个元素。

外多项式的形式化定义的好处在于消除外形式和外积的神秘感。从普通的多项式出发，只要规定字母之间的乘法是反交换的，则所得到的便是外多项式．

最后，我们叙述一个重要的定理，它在微分几何中是十分有用的．
定理 1.3 （Cartan 引理）设 $\omega^1, \cdots, \omega^r, \theta_1, \cdots, \theta_r$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 上的 $2 r$ 个一次形式，其中 $\omega^1, \cdots, \omega^r$ 是线性无关的．如果恒等式

$$
\begin{equation*}
\sum_{\alpha=1}^r \omega^\alpha \wedge \theta_\alpha=0 \tag{1.31}
\end{equation*}
$$
成立，则每一个 $\theta_\alpha$ 必定是 $\omega^1, \cdots, \omega^r$ 的线性组合，即

$$
\begin{equation*}
\theta_\alpha=\sum_{\beta=1}^r a_{\alpha \beta} \omega^\beta, \tag{1.32}
\end{equation*}
$$

并且组合系数 $a_{\alpha \beta}$ 是对称的，即 $a_{\alpha \beta}=a_{\beta \alpha}$ ．
证明 因为 $\omega^1, \cdots, \omega^r$ 是线性无关的，所以可以把它们扩充成为对偶空间 $V^*$ 的一个基底 $\omega^1, \cdots, \omega^r, \omega^{r+1}, \cdots, \omega^n$ ，因此每一个一次形式 $\theta_\alpha$ 可以用该基底表示，命

$$
\begin{equation*}
\theta_\alpha=\sum_{i=1}^n a_{\alpha i} \omega^i . \tag{1.33}
\end{equation*}
$$
已知空间 $\wedge^2 V^*$ 的基底是 $\left\{\omega^i \wedge \omega^j, 1 \leq i<j \leq n\right\}$ ，将（1．31）式代入 （1．33）式得到

$$
\begin{aligned}
0 & =\sum_{\alpha=1}^r \omega^\alpha \wedge \theta_\alpha=\sum_{\alpha=1}^r \sum_{i=1}^n a_{\alpha i} \omega^\alpha \wedge \omega^i \\
& =\sum_{\alpha=1}^r \sum_{\beta=1}^r a_{\alpha \beta} \omega^\alpha \wedge \omega^\beta+\sum_{\alpha=1}^r \sum_{\xi=r+1}^n a_{\alpha \xi} \omega^\alpha \wedge \omega^{\xi} \\
& =\sum_{1 \leq \alpha<\beta \leq r}\left(a_{\alpha \beta}-a_{\beta \alpha}\right) \omega^\alpha \wedge \omega^\beta+\sum_{\alpha=1}^r \sum_{\xi=r+1}^n a_{\alpha \xi} \omega^\alpha \wedge \omega^{\xi} .
\end{aligned}
$$

于是所有的组合系数必须为零，即

$$
\begin{aligned}
a_{\alpha \beta}-a_{\beta \alpha}=0, & \forall 1 \leq \alpha<\beta \leq r, \\
a_{\alpha \xi}=0, & \forall 1 \leq \alpha \leq r<\xi \leq n,
\end{aligned}
$$

这样，（1．33）式成为

$$
\theta_\alpha=\sum_{\beta=1}^r a_{\alpha \beta} \omega^\beta .
$$

证毕．

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