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7.2 外微分式和外微分（1）

§7．2 外微分式和外微分
本节的主要内容是介绍外微分式的概念及其外微分运算．为此，我们首先复习曲纹坐标系的概念．

设欧氏空间 $E^3$ 中的正则曲面 $S$ 的参数方程是 $r\left(u^1, u^2\right)$ ，其中 $\left(u^1, u^2\right) \in D \subset E^2$ ，则

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} r=r_\alpha \mathrm{d} u^\alpha . \tag{2.1}
\end{equation*}
$$

在第三章，我们已经强调 $\left(u^1, u^2\right)$ 可以作为曲面 $S$ 上的点 $p$ 的坐标，称为曲面 $S$ 上的点 $p$ 的曲纹坐标．另外，从（2．1）式得知，曲面 $S$ 在点 $p$ 的切空间的基底是 $\left\{r_1, r_2\right\}$ ，而（ $\mathrm{d} u^1, \mathrm{~d} u^2$ ）是在点 $p$ 的任意一个切向量的分量，因此 $\mathrm{d} u^1, \mathrm{~d} u^2$ 分别是曲面 $S$ 在点 $p$ 的切空间 $T_p S$ 上的线性函数，它们构成曲面 $S$ 在点 $p$ 的切空间的对偶空间上与自然基底 $\left\{r_1, r_2\right\}$ 对偶的基底，记为 $\left\{\mathrm{d} u^1, \mathrm{~d} u^2\right\}$ ．我们把曲面 $S$ 在点 $p$ 的切空间 $T_p S$ 的对偶空间称为曲面 $S$ 在点 $p$ 的余切空间，记为 $T_p^* S$ ．余切空间 $T_p^* S$ 中的元素称为曲面 $S$ 在点 $p$ 的余切向量，也就是曲面 $S$ 在点 $p$ 的切空间上的线性函数．

上面的说法可以搬到欧氏空间 $E^2$ 的一个区域 $D$ 上去，得到平面区域 $D$ 上的曲纹坐标的概念．设 $\left(x^1, x^2\right)$ 是平面区域 $D$ 上的笛卡儿
直角坐标系，$\left(u^1, u^2\right)$ 是另一个平面区域 $U$ 上的笛卡儿直角坐标系．如果在平面区域 $U$ 和 $D$ 之间存在一个一一对应，它可以表示为从 $U$到 $D$ 的映射 $f: U \rightarrow D$ ：

$$
\begin{equation*}
x^1=f^1\left(u^1, u^2\right), \quad x^2=f^2\left(u^1, u^2\right) \tag{2.2}
\end{equation*}
$$

以及从 $D$ 到 $U$ 的逆映射 $g: D \rightarrow U:$

$$
\begin{equation*}
u^1=g^1\left(x^1, x^2\right), \quad u^2=g^2\left(x^1, x^2\right), \tag{2.3}
\end{equation*}
$$

并且假定函数 $f^\alpha\left(u^1, u^2\right), g^\alpha\left(x^1, x^2\right)$ 都是连续可微的，则称 $\left(u^1, u^2\right)$ 是平面区域 $D$ 上的 曲纹坐标系．如果让 $u^2$ 的值固定，而让 $u^1$ 变化，则我们在平面区域 $D$ 上得到一条曲线，称为平面区域 $D$ 上的一条 $u^1$－曲线．同理，我们有平面区域 $D$ 上的一条 $u^2$－曲线．由于平面区域 $U$和 $D$ 的点之间是一一对应的，因此经过区域 $D$ 上的每一点 $p$ 只有一条 $u^1$－曲线，也只有一条 $u^2$－曲线．我们把 $u^1$－曲线的切向量记为 $\frac{\partial}{\partial u^1}$ ，把 $u^2$－曲线的切向量记为 $\frac{\partial}{\partial u^2}$ ，于是它们构成区域 $D$ 在点 $p$ 的切空问的基底，记为 $\left\{\frac{\partial}{\partial u^1}, \frac{\partial}{\partial u^2}\right\}$ ，同时区域 $D$ 在点 $p$ 的余切空间的基底是 $\left\{\mathrm{d} u^1, \mathrm{~d} u^2\right\}$ ．在点 $p$ 的任意一个余切向量是 $\mathrm{d} u^1, \mathrm{~d} u^2$ 的线性组合．

由于映射 $f: U \rightarrow D$ 和 $g: D \rightarrow U$ 互为逆映射，因此有恒等式

$$
\begin{equation*}
x^\alpha=f^\alpha\left(g^1\left(x^1, x^2\right), g^2\left(x^1, x^2\right)\right), \quad \alpha=1,2 \tag{2.4}
\end{equation*}
$$

和恒等式

$$
\begin{equation*}
u^\alpha=g^\alpha\left(f^1\left(u^1, u^2\right), f^2\left(u^1, u^2\right)\right), \quad \alpha=1,2 . \tag{2.5}
\end{equation*}
$$

因为 $f^\alpha\left(u^1, u^2\right), g^\alpha\left(x^1, x^2\right)$ 都是连续可微函数，将（2．5）式对 $u^\beta$ 求导得到

$$
\frac{\partial g^\alpha}{\partial x^\gamma} \frac{\partial f^\gamma}{\partial u^\beta}=\delta_\beta^\alpha
$$

所以 Jacobi 行列式

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\left(f^1, f^2\right)}{\partial\left(u^1, u^2\right)} \neq 0 \tag{2.6}
\end{equation*}
$$

反过来，根据反函数定理，如果有两个连续可微函数

$$
x^1=f^1\left(u^1, u^2\right), \quad x^2=f^2\left(u^1, u^2\right),
$$

只要它们的 Jacobi 行列式 $\frac{\partial\left(f^1, f^2\right)}{\partial\left(u^1, u^2\right)}$ 处处不为零，则在任意一点 $\left(x_0^1\right.$ ， $\left.x_0^2\right)$ 的一个邻域内存在反函数

$$
u^1=g^1\left(x^1, x^2\right), \quad u^2=g^2\left(x^1, x^2\right),
$$

使得恒等式（2．4），（2．5）成立，因此 $\left(u^1, u^2\right)$ 可作为区域 $D$ 在点 $\left(x_0^1, x_0^2\right)$的邻域内的曲纹坐标．由此可见，平面区域上的曲纹坐标系要比笛卡儿直角坐标系随意得多。克服笛卡儿直角坐标系的局限性是数学发展过程中的重要一步，同时曲纹坐标系的概念又导致微分流形概念的产生．

一般地，设 $\left(x^1, \cdots, x^n\right)$ 是 $n$ 维欧氏空间 $E^n$ 中的区域 $D$ 上的笛卡儿直角坐标系，$\left(u^1, \cdots, u^n\right)$ 是 $n$ 维欧氏空间 $E^n$ 中的另一个区域 $U$ 上的笛卡儿直角坐标系．如果在区域 $U$ 和 $D$ 之间存在一个一一对应，它可以表示为从 $U$ 到 $D$ 的映射 $f: U \rightarrow D$ ：
$$
x^1=f^1\left(u^1, \cdots, u^n\right), \cdots, x^n=f^n\left(u^1, \cdots, u^n\right)
$$

以及从 $D$ 到 $U$ 的逆映射 $g: D \rightarrow U:$

$$
u^1=g^1\left(x^1, \cdots, x^2\right), \cdots, u^n=g^n\left(x^1, \cdots, x^n\right)
$$

并且假定函数 $f^\alpha\left(u^1, \cdots, u^n\right), g^\alpha\left(x^1, \cdots, x^n\right)$ 都是连续可微的，则称 $\left(u^1, \cdots, u^n\right)$ 是区域 $D$ 上的曲纹坐标系。区域 $D$ 在点 $p$ 的切空间的自然基底是 $\left\{\frac{\partial}{\partial u^1}, \cdots, \frac{\partial}{\partial u^n}\right\}$ ，同时区域 $D$ 在点 $p$ 的余切空间的基底是 $\left\{\mathrm{d} u^1, \cdots, \mathrm{~d} u^n\right\}$ ．在点 $p$ 的任意一个余切向量是 $\mathrm{d} u^1, \cdots, \mathrm{~d} u^n$ 的线性组合。

反过来，根据反函数定理，如果有 $n$ 个连续可微函数

$$
\begin{equation*}
x^1=f^1\left(u^1, \cdots, u^n\right), \cdots, x^n=f^n\left(u^1, \cdots, u^n\right), \tag{2.7}
\end{equation*}
$$
只要它们满足条件

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\left(f^1, \cdots, f^n\right)}{\partial\left(u^1, \cdots, u^n\right)} \neq 0, \tag{2.8}
\end{equation*}
$$

则在任意一点 $\left(x_0^1, \cdots, x_0^n\right)$ 的一个邻域内存在反函数

$$
u^1=g^1\left(x^1, \cdots, x^n\right), \quad u^n=g^n\left(x^1, \cdots, x^n\right),
$$

使得恒等式

$$
x^\alpha=f^\alpha\left(g^1\left(x^1, \cdots, x^n\right), \cdots, g^n\left(x^1, \cdots, x^n\right)\right), \quad 1 \leq \alpha \leq n
$$

和恒等式

$$
u^\alpha=g^\alpha\left(f^1\left(u^1, \cdots, u^n\right), \cdots, f^n\left(u^1, \cdots, u^n\right)\right), \quad 1 \leq \alpha \leq n
$$

成立，因此 $\left(u^1, \cdots, u^n\right)$ 可以作为区域 $D$ 在点 $\left(x_0^1, \cdots, x_0^n\right)$ 的邻域内的曲纹坐标。由此可见，（2．8）式是函数组（2．7）能够在点 $\left(x_0^1, \cdots, x_0^n\right)$的邻域内引进曲纹坐标系 $\left(u^1, \cdots, u^n\right)$ 的充分必要条件．
在 20 世纪中叶，所谓的大范围微分几何和大范围分析的课题成为数学研究的热门课题，所考虑的空间不再限于具有笛卡儿直角坐标系的欧氏空间，而只要求这种空间在局部上具有曲纹坐标系，并且容许曲纹坐标系作一定的变换，这种空间就是现在所称的微分流形．稍微确切一点说，所谓的 $n$ 维微分流形是指由 $n$ 维欧氏空间中的一些小块区域一片、一片连续可微地拼接起来得到的空间．在这里，＂连续可微地拼接起来＂的意思是在有些小块区域的某部分可以通过其上面的曲纹坐标的正则的连续可微的函数关系等同起来．在第三章所叙述的正则曲面就是一个二维微分流形。以后为方便起见，总是假定连续可微函数指它有连续的任意阶的各种偏导数，有时也称这种函数是光滑函数．在 $n$ 维微分流形的每一点有切向量、切空间、余切向量、余切空间的概念，特别地在曲纹坐标系 $\left(u^1, \cdots, u^n\right)$ 下 $\left\{\mathrm{d} u^1, \cdots, \mathrm{~d} u^n\right\}$ 是 $n$ 维微分流形在一点的余切空间的基底．关于微分流形概念的确切叙述可以参看参考文献［3］和［2］．

现在，我们要给出外微分式的定义．
定义2．1 设 $D$ 是 $n$ 维欧氏空间 $E^n$ 中的一个区域，$\left(u^1, \cdots, u^n\right)$是区域 $D$ 上的曲纹坐标系．如果以连续可微的方式在每一点 $p= \left(u^1, \cdots, u^n\right) \in D$ 给定了一个 $r$ 次外形式

$$
\begin{align*}
\varphi(p) & =\frac{1}{r!} \varphi_{i_1 \cdots i_r}\left(u^1, \cdots, u^n\right) \mathrm{d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r} \\
& =\sum_{1 \leq i_1<\cdots<i_r \leq n} \varphi_{i_1 \cdots i_r}\left(u^1, \cdots, u^n\right) \mathrm{d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r}, \tag{2.9}
\end{align*}
$$

其中假定系数函数 $\varphi_{i_1 \cdots i_r}\left(u^1, \cdots, u^n\right)$ 对于下指标 $i_1, \cdots, i_r$ 是反对称的，则称 $\varphi$ 是定义在 $D$ 上的 $r$ 次 外微分式．

在这里，所谓的＂以连续可微的方式＂是指系数 $\varphi_{i_1 \cdots i_r}\left(u^1, \cdots, u^n\right)$ ， $1 \leq i_1, \cdots, i_r \leq n$ 是 $u^1, \cdots, u^n$ 的连续可微函数，即 $\varphi_{i_1 \cdots i_r}\left(u^1, \cdots, u^n\right)$是 $u^1, \cdots, u^n$ 的光滑函数．

例1 区域 $D$ 上的 1 次微分式就是 1 次外微分式。
设 $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ 是定义在 $D$ 上的连续可微函数，则它的微分

$$
\mathrm{d} f=\frac{\partial f}{\partial u^i} \mathrm{~d} u^i
$$
即为区域 $D$ 上的 1 次微分式，因而也是 $D$ 上的一个 1 次外微分式．
例 2 设 $S$ 是三维欧氏空间 $E^3$ 中的一块正则参数曲面，参数方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right), \tag{2.10}
\end{equation*}
$$

并且它的第一基本形式是

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=g_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\alpha \mathrm{d} u^\beta . \tag{2.11}
\end{equation*}
$$

命

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \sigma=\sqrt{g_{11} g_{22}-\left(g_{12}\right)^2} \mathrm{~d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2 \tag{2.12}
\end{equation*}
$$

则 $\mathrm{d} \sigma$ 是曲面 $S$ 上的一个 2 次外微分式．
容易证明： 2 次外微分式 $\mathrm{d} \sigma$ 在曲面 $S$ 的保持定向的容许参数变换下是不变的。实际上，如果（ $\tilde{u}^1, \tilde{u}^2$ ）是曲面 $S$ 的另一个保持定向的参数系，于是 $\tilde{u}^\alpha=\tilde{u}^\alpha\left(u^1, u^2\right)$ 是 $u^1, u^2$ 的至少 3 次以上连续可微的函数，并且

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\left(\tilde{u}^1, \tilde{u}^2\right)}{\partial\left(u^1, u^2\right)}>0 . \tag{2.13}
\end{equation*}
$$

假定曲面 $S$ 的第一基本形式用新参数 $\left(\tilde{u}^1, \tilde{u}^2\right)$ 的表达式是

$$
\mathrm{I}=\tilde{g}_{\alpha \beta} \mathrm{d} \tilde{u}^\alpha \mathrm{d} \tilde{u}^\beta,
$$

则根据第三章的（3．12）式，在第一类基本量 $\tilde{g}_{\alpha \beta}$ 和 $g_{\alpha \beta}$ 之间有关系式

$$
\left(\begin{array}{ll}
g_{11} & g_{12}  \tag{2.14}\\
g_{12} & g_{22}
\end{array}\right)=J \cdot\left(\begin{array}{ll}
\tilde{g}_{11} & \tilde{g}_{12} \\
\tilde{g}_{12} & \tilde{g}_{22}
\end{array}\right) \cdot J^{\mathrm{T}},
$$

其中

$$
J=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial \tilde{u}^1}{\partial u^1} & \frac{\partial \tilde{u}^2}{\partial u^1} \\
\frac{\partial \tilde{u}^1}{\partial u^2} & \frac{\partial \tilde{u}^2}{\partial u^2}
\end{array}\right) .
$$

在（2．14）式两边取行列式得到
$$
g_{11} g_{22}-\left(g_{12}\right)^2=(\operatorname{det} J)^2\left(\tilde{g}_{11} \tilde{g}_{22}-\left(\tilde{g}_{12}\right)^2\right),
$$

因此

$$
\begin{equation*}
\sqrt{g_{11} g_{22}-\left(g_{12}\right)^2}=|\operatorname{det} J| \cdot \sqrt{\tilde{g}_{11} \tilde{g}_{22}-\left(\tilde{g}_{12}\right)^2} . \tag{2.15}
\end{equation*}
$$

但是根据（2．13）式，

$$
\operatorname{det} J=\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial \tilde{u}^1}{\partial u^1} & \frac{\partial \tilde{u}^2}{\partial u^1} \\
\frac{\partial \tilde{u}^1}{\partial u^2} & \frac{\partial \tilde{u}^2}{\partial u^2}
\end{array}\right|=\frac{\partial\left(\tilde{u}^1, \tilde{u}^2\right)}{\partial\left(u^1, u^2\right)}>0,
$$

所以（2．15）式成为

$$
\begin{equation*}
\sqrt{g_{11} g_{22}-\left(g_{12}\right)^2}=\operatorname{det} J \cdot \sqrt{\tilde{g}_{11} \tilde{g}_{22}-\left(\tilde{g}_{12}\right)^2} . \tag{$\prime$}
\end{equation*}
$$

在另一方面，对函数 $\tilde{u}^\alpha\left(u^1, u^2\right)$ 求微分得到

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \tilde{u}^\alpha=\frac{\partial \tilde{u}^\alpha}{\partial u^1} \mathrm{~d} u^1+\frac{\partial \tilde{u}^\alpha}{\partial u^2} \mathrm{~d} u^2, \quad \alpha=1,2, \tag{2.16}
\end{equation*}
$$

因此

$$
\begin{align*}
\mathrm{d} \tilde{u}^1 \wedge \mathrm{~d} \tilde{u}^2 & =\left(\frac{\partial \tilde{u}^1}{\partial u^1} \mathrm{~d} u^1+\frac{\partial \tilde{u}^1}{\partial u^2} \mathrm{~d} u^2\right) \wedge\left(\frac{\partial \tilde{u}^2}{\partial u^1} \mathrm{~d} u^1+\frac{\partial \tilde{u}^2}{\partial u^2} \mathrm{~d} u^2\right) \\
& =\frac{\partial\left(\tilde{u}^1, \tilde{u}^2\right)}{\partial\left(u^1, u^2\right)} \mathrm{d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2 \tag{2.17}
\end{align*}
$$

结合（2．15＇）和（2．17）式得到

$$
\begin{aligned}
& \sqrt{\tilde{g}_{11} \tilde{g}_{22}-\left(\tilde{g}_{12}\right)^2} \mathrm{~d} \tilde{u}^1 \wedge \mathrm{~d} \tilde{u}^2=\sqrt{\tilde{g}_{11} \tilde{g}_{22}-\left(\tilde{g}_{12}\right)^2} \frac{\partial\left(\tilde{u}^1, \tilde{u}^2\right)}{\partial\left(u^1, u^2\right)} \mathrm{d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2 \\
& \quad=\sqrt{g_{11} g_{22}-\left(g_{12}\right)^2} \mathrm{~d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2
\end{aligned}
$$

这就证明了 2 次外微分式 $\mathrm{d} \sigma$ 在曲面 $S$ 的保持定向的容许参数变换下是不变的．
这个事实蕴涵着一个十分重要的结果．我们在第三章 §3．1 已经定义过正则曲面的概念（参看第三章的定义 1．1），它是一片、一片正则参数曲面粘合的结果，在重叠部分会有多个曲纹坐标系，但是在不同的曲纹坐标系之间的变换都是容许的参数变换．上面的断言表明，虽然 2 次外微分式 $\mathrm{d} \sigma$ 在曲面 $S$ 的每一个参数表示（2．10）下是用（2．12）式给出的，但是它在实际上是定义在整个有向正则曲面 $S$ 上的 2 次外微分式．在这里，我们具体地描述了构造定义在整个有向正则曲面 $S$ 上的量的一种方式，这种方式有普遍意义．

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