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7.2 外微分式和外微分（2）

2 次外微分式 $\mathrm{d} \sigma$ 称为在曲面 $S$ 上的 面积元素，其理由如下：假设在曲纹坐标系 $\left(u^1, u^2\right)$ 下，在点 $p$ 给定两个切向量

$$
\boldsymbol{a}=a^1 \boldsymbol{r}_1+a^2 \boldsymbol{r}_2, \quad \boldsymbol{b}=b^1 \boldsymbol{r}_1+b^2 \boldsymbol{r}_2,
$$
那么

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \sigma(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) & =\sqrt{g_{11} g_{22}-\left(g_{12}\right)^2} \mathrm{~d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) \\
& =\sqrt{g_{11} g_{22}-\left(g_{12}\right)^2}\left(\mathrm{~d} u^1(\boldsymbol{a}) \mathrm{d} u^2(\boldsymbol{b})-\mathrm{d} u^1(\boldsymbol{b}) \mathrm{d} u^2(\boldsymbol{a})\right) \\
& =\sqrt{g_{11} g_{22}-\left(g_{12}\right)^2}\left(a^1 b^2-b^1 a^2\right)
\end{aligned}
$$

作切向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的向量积得到

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} & =\left(a^1 b^2-b^1 a^2\right) \boldsymbol{r}_1 \times \boldsymbol{r}_2 \\
& =\left(a^1 b^2-b^1 a^2\right)\left|\boldsymbol{r}_1 \times \boldsymbol{r}_2\right| \cdot \boldsymbol{n} \\
& =\left(a^1 b^2-b^1 a^2\right)\left(\left|\boldsymbol{r}_1\right| \cdot\left|\boldsymbol{r}_2\right| \sin \angle(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})\right) \cdot \boldsymbol{n} \\
& =\left(a^1 b^2-b^1 a^2\right)\left|\boldsymbol{r}_1\right| \cdot\left|\boldsymbol{r}_2\right| \sqrt{1-\cos ^2 \angle(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})} \cdot \boldsymbol{n} \\
& =\left(a^1 b^2-b^1 a^2\right) \sqrt{g_{11} g_{22}-\left(g_{12}\right)^2} \cdot \boldsymbol{n},
\end{aligned}
$$

因此

$$
\mathrm{d} \sigma(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})= \pm|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|
$$

换言之， $\mathrm{d} \sigma(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 恰好是切向量 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 所张的平行四边形的有向面积．
区域 $D$ 上的任意两个同次的外微分式能够以逐点计算的方式作加法和外积运算．对于外微分式来说，更重要的一种运算是外微分，它把 $r$ 次外微分式变为一个 $r+1$ 次外微分式．

定义 2.2 设

$$
\begin{equation*}
\varphi=\frac{1}{r!} \varphi_{i_1 \cdots i_r} \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r} \tag{2.18}
\end{equation*}
$$

是定义在区域 $D$ 上的一个 $r$ 次外微分式．用如下的方式定义 $r+1$ 次外微分式：

$$
\begin{align*}
\mathrm{d} \varphi & =\frac{1}{r!} \mathrm{d} \varphi_{i_1 \cdots i_r} \wedge \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r} \\
& =\frac{1}{r!} \frac{\partial \varphi_{i_1 \cdots i_r}}{\partial u^j} \mathrm{~d} u^j \wedge \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r} \tag{2.19}
\end{align*}
$$

称为 $\varphi$ 的 外微分．如果 $\varphi: D \rightarrow \mathbb{R}$ 是定义在 $D$ 上的连续可微函数（即零次外微分式），则它的外微分 $\mathrm{d} \varphi$ 就是它的普通微分（参看例1）．

例题1 设 $(u, v, w)$ 是欧氏空间 $E^3$ 中的曲纹坐标系，命

$$
\begin{gathered}
\omega=\alpha(u, v, w) \mathrm{d} u+\beta(u, v, w) \mathrm{d} v+\gamma(u, v, w) \mathrm{d} w \\
\eta=P(u, v, w) \mathrm{d} v \wedge \mathrm{~d} w+Q(u, v, w) \mathrm{d} w \wedge \mathrm{~d} u+R(u, v, w) \mathrm{d} u \wedge \mathrm{~d} v
\end{gathered}
$$

其中 $\alpha, \beta, \gamma, P, Q, R$ 都是 $u, v, w$ 的连续可微函数，求它们的外微分．
解 根据外微分的定义，我们有

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \omega= & \mathrm{d} \alpha \wedge \mathrm{~d} u+\mathrm{d} \beta \wedge \mathrm{~d} v+\mathrm{d} \gamma \wedge \mathrm{~d} w \\
= & \left(\frac{\partial \gamma}{\partial v}-\frac{\partial \beta}{\partial w}\right) \mathrm{d} v \wedge \mathrm{~d} w+\left(\frac{\partial \alpha}{\partial w}-\frac{\partial \gamma}{\partial u}\right) \mathrm{d} w \wedge \mathrm{~d} u \\
& +\left(\frac{\partial \beta}{\partial u}-\frac{\partial \alpha}{\partial v}\right) \mathrm{d} u \wedge \mathrm{~d} v, \\
\mathrm{~d} \eta= & \mathrm{d} P \wedge \mathrm{~d} v \wedge \mathrm{~d} w+\mathrm{d} Q \wedge \mathrm{~d} w \wedge \mathrm{~d} u+\mathrm{d} R \wedge \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v \\
= & \left(\frac{\partial P}{\partial u}+\frac{\partial Q}{\partial v}+\frac{\partial R}{\partial w}\right) \mathrm{d} u \wedge \mathrm{~d} v \wedge \mathrm{~d} w .
\end{aligned}
$$

定理 2.1 外微分运算 d 遵循下面的运算法则：
（1）d 是线性算子，即对于任意的外微分式 $\varphi^1, \varphi^2$ ，有

$$
\mathrm{d}\left(\varphi^1+\varphi^2\right)=\mathrm{d} \varphi^1+\mathrm{d} \varphi^2 \quad \mathrm{~d}\left(c \cdot \varphi^1\right)=c \cdot \mathrm{~d} \varphi^1, \quad \forall c \in \mathbb{R} ;
$$

（2） $\mathrm{d} \circ \mathrm{d}=0$ ，即对于任意一个外微分式 $\varphi$ ，有

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d}(\mathrm{~d} \varphi)=0 ; \tag{2.20}
\end{equation*}
$$

（3）若 $\varphi$ 是 $r$ 次外微分式，则对于任意一个外微分式 $\psi$ ，有

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d}(\varphi \wedge \psi)=\mathrm{d} \varphi \wedge \psi+(-1)^r \varphi \wedge \mathrm{~d} \psi \tag{2.21}
\end{equation*}
$$

证明（1）是明显的．

（2）设外微分式 $\varphi$ 由（2．18）式给出，则根据外微分 d 的定义得到

$$
\mathrm{d} \varphi=\frac{1}{r!} \frac{\partial \varphi_{i_1 \cdots i_r}}{\partial u^j} \mathrm{~d} u^j \wedge \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r}
$$

再求一次外微分得到

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d}(\mathrm{~d} \varphi)= & \frac{1}{r!} \frac{\partial^2 \varphi_{i_1 \cdots i_r}}{\partial u^k \partial u^j} \mathrm{~d} u^k \wedge \mathrm{~d} u^j \wedge \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r} \\
= & \frac{1}{r!} \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 \varphi_{i_1 \cdots i_r}}{\partial u^k \partial u^j} \mathrm{~d} u^k \wedge \mathrm{~d} u^j \wedge \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r}\right. \\
& \left.\quad+\frac{\partial^2 \varphi_{i_1 \cdots i_r}}{\partial u^j \partial u^k} \mathrm{~d} u^j \wedge \mathrm{~d} u^k \wedge \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r}\right) \\
= & \frac{1}{r!} \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 \varphi_{i_1 \cdots i_r}}{\partial u^k \partial u^j}-\frac{\partial^2 \varphi_{i_1 \cdots i_r}}{\partial u^j \partial u^k}\right) \mathrm{d} u^k \wedge \mathrm{~d} u^j \wedge \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r} \\
= & 0 .
\end{aligned}
$$

最后一个等号成立的原因是系数 $\varphi_{i_1 \cdots i_r}$ 都是连续可微函数，因而

$$
\frac{\partial^2 \varphi_{i_1 \cdots i_r}}{\partial u^k \partial u^j}=\frac{\partial^2 \varphi_{i_1 \cdots i_r}}{\partial u^j \partial u^k}
$$

（3）由于外微分 d 是线性算子，所以只要假定 $\varphi$ 和 $\psi$ 都是单项外
微分式

$$
\varphi=a \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r}, \quad \psi=b \mathrm{~d} u^{j_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{j_s},
$$

于是利用外积的反交换性得到

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d}(\varphi \wedge \psi)= & \mathrm{d}\left(a b \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r} \wedge \mathrm{~d} u^{j_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{j_s}\right) \\
= & \mathrm{d}(a b) \wedge \mathrm{d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r} \wedge \mathrm{~d} u^{j_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{j_s} \\
= & (a \mathrm{~d} b+b \mathrm{~d} a) \wedge \mathrm{d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r} \wedge \mathrm{~d} u^{j_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{j_s} \\
= & \left(\mathrm{d} a \wedge \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r}\right) \wedge\left(b \mathrm{~d} u^{j_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{j_s}\right) \\
& +(-1)^r\left(a \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r}\right) \wedge\left(\mathrm{d} b \wedge \mathrm{~d} u^{j_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{j_s}\right) \\
= & \mathrm{d} \varphi \wedge \psi+(-1)^r \varphi \wedge \mathrm{~d} \psi
\end{aligned}
$$

证毕．
关于运算法则（3）有两个特殊情形需要特别强调一下．若 $f$ 是定义在区域 $D$ 上的零次外微分式，即 $f$ 是定义在区域 $D$ 上的连续可微函数，则由（3）得到

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d}(f \psi)=\mathrm{d} f \wedge \psi+f \mathrm{~d} \psi \tag{2.22}
\end{equation*}
$$

若 $\varphi$ 是定义在区域 $D$ 上的 1 次外微分式，则

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d}(\varphi \wedge \psi)=\mathrm{d} \varphi \wedge \psi-\varphi \wedge \mathrm{d} \psi . \tag{2.23}
\end{equation*}
$$

例题2 在欧氏空间 $E^3$ 中的笛卡儿直角坐标系下，试将向量场的场论公式和外微分式的两次外微分为零的性质相对照。

解 设 $(u, v, w)$ 是欧氏空间 $E^3$ 中的笛卡儿直角坐标系， $\boldsymbol{\omega}= (\alpha, \beta, \gamma)$ 和 $\boldsymbol{\eta}=(P, Q, R)$ 是定义在区域 $D$ 上的连续可微的向量场，那么
$$
\begin{gathered}
\operatorname{rot}(\alpha, \beta, \gamma)=\left(\frac{\partial \gamma}{\partial v}-\frac{\partial \beta}{\partial w}, \frac{\partial \alpha}{\partial w}-\frac{\partial \gamma}{\partial u}, \frac{\partial \alpha}{\partial u}-\frac{\partial \gamma}{\partial v}\right) \\
\operatorname{div}(P, Q, R)=\frac{\partial P}{\partial u}+\frac{\partial Q}{\partial v}+\frac{\partial R}{\partial w}
\end{gathered}
$$

场论中有著名的公式

$$
\operatorname{div} \circ \operatorname{rot}=0
$$

用到向量场 $\boldsymbol{\omega}=(\alpha, \beta, \gamma)$ 上则是

$$
\begin{aligned}
& \operatorname{div}(\operatorname{rot}(\alpha, \beta, \gamma)) \\
& \quad=\operatorname{div}\left(\frac{\partial \gamma}{\partial v}-\frac{\partial \beta}{\partial w}, \frac{\partial \alpha}{\partial w}-\frac{\partial \gamma}{\partial u}, \frac{\partial \alpha}{\partial u}-\frac{\partial \gamma}{\partial v}\right) \\
& \quad=\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{\partial \gamma}{\partial v}-\frac{\partial \beta}{\partial w}\right)+\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{\partial \alpha}{\partial w}-\frac{\partial \gamma}{\partial u}\right)+\frac{\partial}{\partial w}\left(\frac{\partial \alpha}{\partial u}-\frac{\partial \gamma}{\partial v}\right)=0
\end{aligned}
$$

把 $\boldsymbol{\omega}=(\alpha, \beta, \gamma)$ 对应于 1 次外微分式

$$
\tilde{\omega}=\alpha \mathrm{d} u+\beta \mathrm{d} v+\gamma \mathrm{d} w
$$
把 $\boldsymbol{\eta}=(P, Q, R)$ 对应于 2 次外微分式

$$
\tilde{\eta}=P \mathrm{~d} v \wedge \mathrm{~d} w+Q \mathrm{~d} w \wedge \mathrm{~d} u+R \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v,
$$

那么向量场 $\omega=(\alpha, \beta, \gamma)$ 的旋量对应于 1 次外微分式 $\tilde{\omega}$ 的外微分：

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{d} \tilde{\omega}=\left(\frac{\partial \gamma}{\partial v}-\frac{\partial \beta}{\partial w}\right) \mathrm{d} v \wedge \mathrm{~d} w+\left(\frac{\partial \alpha}{\partial w}-\frac{\partial \gamma}{\partial u}\right) \mathrm{d} w \wedge \mathrm{~d} u \\
&+\left(\frac{\partial \beta}{\partial u}-\frac{\partial \alpha}{\partial v}\right) \mathrm{d} u \wedge \mathrm{~d} v
\end{aligned}
$$

同时， $\boldsymbol{\eta}=(P, Q, R)$ 的散度对应于 2 次外微分式 $\tilde{\eta}$ 的外微分：

$$
\mathrm{d} \tilde{\eta}=\left(\frac{\partial P}{\partial u}+\frac{\partial Q}{\partial v}+\frac{\partial R}{\partial w}\right) \mathrm{d} u \wedge \mathrm{~d} v \wedge \mathrm{~d} w .
$$

由此可见，场论公式 $\operatorname{div} \circ \operatorname{rot} \omega=0$ 对应于 $\mathrm{d}(\mathrm{d} \tilde{\omega})=0$ ，即

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d}(\mathrm{~d} \tilde{\omega})=\left(\frac{\partial}{\partial u}\right. & \left(\frac{\partial \gamma}{\partial v}-\frac{\partial \beta}{\partial w}\right)+\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{\partial \gamma}{\partial w}-\frac{\partial \beta}{\partial u}\right) \\
& \left.+\frac{\partial}{\partial w}\left(\frac{\partial \gamma}{\partial u}-\frac{\partial \beta}{\partial v}\right)\right) \mathrm{d} u \wedge \mathrm{~d} v \wedge \mathrm{~d} w=0 .
\end{aligned}
$$
 但是，对于后一个公式，并不需要假定 $(u, v, w)$ 是欧氏空间 $E^3$ 中的笛卡儿直角坐标系，只要假定 $(u, v, w)$ 是欧氏空间 $E^3$ 中的任意的曲纹坐标系就行了，而且该公式对于任意维数的空间内任意次外微分式都成立，因此有更广泛的意义。

外微分运算还有一个更重要的性质，也就是外微分 d 与外微分式的参数表示的方式无关，这称为＂外微分 d 的形式不变性＂，是微积分学中＂一次微分的形式不变性＂的推广。确切地说，我们有下面的定理。

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