最后更新: 2026-06-08 06:23 查看: 4 次纠错评论(0) 课件开VIP

7.2 外微分式和外微分（3）

定理2．2 设 $\varphi$ 是定义在 $n$ 区域 $D$ 上的一个 $r$ 次外微分式，它在曲纹坐标系 $\left(u^1, \cdots, u^n\right)$ 下的表示是

$$
\varphi=\frac{1}{r!} \varphi_{i_1 \cdots i_r}\left(u^1, \cdots, u^n\right) \mathrm{d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r},
$$

在另一个曲纹坐标系 $\left(\tilde{u}^1, \cdots, \tilde{u}^n\right)$ 下的表示是

$$
\varphi=\frac{1}{r!} \tilde{\varphi}_{i_1 \cdots i_r}\left(\tilde{u}^1, \cdots, \tilde{u}^n\right) \mathrm{d} \tilde{u}^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} \tilde{u}^{i_r},
$$

其中假定 $\varphi_{i_1 \cdots i_r}$ 和 $\tilde{\varphi}_{i_1 \cdots i_r}$ 对下指标都是反对称的，则有

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \varphi_{i_1 \cdots i_r} \wedge \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r}=\mathrm{d} \tilde{\varphi}_{i_1 \cdots i_r} \wedge \mathrm{~d} \tilde{u}^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} \tilde{u}^{i_r} . \tag{2.24}
\end{equation*}
$$

证明 由于不同的曲纹坐标系之间有容许的坐标变换，设为

$$
\tilde{u}^i=\tilde{u}^i\left(u^1, \cdots, u^n\right), \quad 1 \leq i \leq n,
$$

故

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \tilde{u}^i=\frac{\partial \tilde{u}^i}{\partial u^j} \cdot \mathrm{~d} u^j . \tag{2.25}
\end{equation*}
$$

因此
$$
\begin{aligned}
& \varphi_{i_1 \cdots i_r}\left(u^1, \cdots, u^n\right) \mathrm{d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r} \\
& \quad=\tilde{\varphi}_{j_1 \cdots j_r}\left(\tilde{u}^1, \cdots, \tilde{u}^n\right) \mathrm{d} \tilde{u}^{j_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} \tilde{u}^{j_r} \\
& \quad=\tilde{\varphi}_{j_1 \cdots j_r}\left(\tilde{u}^1, \cdots, \tilde{u}^n\right) \frac{\partial \tilde{u}^{j_1}}{\partial u^{i_1}} \cdots \frac{\partial \tilde{u}^{j_r}}{\partial u^{i_r}} \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r}
\end{aligned}
$$

很明显，$\tilde{\varphi}_{j_1 \cdots j_r} \frac{\partial \tilde{u}^{j_1}}{\partial u^{i_1}} \cdots \frac{\partial \tilde{u}^{j_r}}{\partial u^{i_r}}$ 对于下指标 $i_1, \cdots, i_r$ 仍然是反对称的，因此比较上式的前后两端的系数得到

$$
\begin{equation*}
\varphi_{i_1 \cdots i_r}=\tilde{\varphi}_{j_1 \cdots j_r} \frac{\partial \tilde{u}^{j_1}}{\partial u^{i_1}} \cdots \frac{\partial \tilde{u}^{j_r}}{\partial u^{i_r}} . \tag{2.26}
\end{equation*}
$$

对（2．26）式求微分得到

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \varphi_{i_1 \cdots i_r}= & \frac{\partial}{\partial u^k}\left(\tilde{\varphi}_{j_1 \cdots j_r} \frac{\partial \tilde{u}^{j_1}}{\partial u^{i_1}} \cdots \frac{\partial \tilde{u}^{j_r}}{\partial u^{i_r}}\right) \mathrm{d} u^k \\
= & \left(\frac{\partial \tilde{\varphi}_{j_1 \cdots j_r}}{\partial \tilde{u}^l} \frac{\partial \tilde{u}^l}{\partial u^k} \frac{\partial \tilde{u}^{j_1}}{\partial u^{i_1}} \cdots \frac{\partial \tilde{u}^{j_r}}{\partial u^{i_r}}+\tilde{\varphi}_{j_1 \cdots j_r} \frac{\partial^2 \tilde{u}^{j_1}}{\partial u^k \partial u^{i_1}} \cdots \frac{\partial \tilde{u}^{j_r}}{\partial u^{i_r}}\right. \\
& \left.+\cdots+\tilde{\varphi}_{j_1 \cdots j_r} \frac{\partial \tilde{u}^{j_1}}{\partial u^{i_1}} \cdots \frac{\partial^2 \tilde{u}^{j_r}}{\partial u^k \partial u^{i_r}}\right) \mathrm{d} u^k
\end{aligned}
$$
所以

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{d} \varphi_{i_1 \cdots i_r} \wedge \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r} \\
&=\left(\frac{\partial \tilde{\varphi}_{j_1 \cdots j_r}}{\partial \tilde{u}^l} \frac{\partial \tilde{u}^l}{\partial u^k} \frac{\partial \tilde{u}^{j_1}}{\partial u^{i_1}} \cdots \frac{\partial \tilde{u}^{j_r}}{\partial u^{i_r}}+\tilde{\varphi}_{j_1 \cdots j_r} \frac{\partial^2 \tilde{u}^{j_1}}{\partial u^k \partial u^{i_1}} \cdots \frac{\partial \tilde{u}^{j_r}}{\partial u^{i_r}}\right. \\
&\left.+\cdots+\tilde{\varphi}_{j_1 \cdots j_r} \frac{\partial \tilde{u}^{j_1}}{\partial u^{i_1}} \cdots \frac{\partial^2 \tilde{u}^{j_r}}{\partial u^k \partial u^{i_r}}\right) \mathrm{d} u^k \wedge \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r} \\
&= \frac{\partial \tilde{\varphi}_{j_1 \cdots j_r}}{\partial \tilde{u}^l} \frac{\partial \tilde{u}^l}{\partial u^k} \frac{\partial \tilde{u}^{j_1}}{\partial u^{i_1}} \cdots \frac{\partial \tilde{u}^{j_r}}{\partial u^{i_r}} \mathrm{~d} u^k \wedge \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r} \\
&= \frac{\partial \tilde{\varphi}_{j_1 \cdots j_r}}{\partial \tilde{u}^l} \mathrm{~d} \tilde{u}^l \wedge \mathrm{~d} \tilde{u}^{j_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} \tilde{u}^{j_r} \\
&= \mathrm{d} \tilde{\varphi}_{j_1 \cdots j_r} \wedge \mathrm{~d} \tilde{u}^{j_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} \tilde{u}^{j_r} .
\end{aligned}
$$

在这里，第二个等号成立的理由是除了第 1 项以外，其余各项全部为零，例如

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial^2 \tilde{u}^{j_1}}{\partial u^k \partial u^{i_1}} \cdots \frac{\partial \tilde{u}^{j_r}}{\partial u^{i_r}} \mathrm{~d} u^k \wedge \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r} \\
& \quad=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 \tilde{u}^{j_1}}{\partial u^k \partial u^{i_1}}-\frac{\partial^2 \tilde{u}^{j_1}}{\partial u^{i_1} \partial u^k}\right) \cdots \frac{\partial \tilde{u}^{j_r}}{\partial u^{i_r}} \mathrm{~d} u^k \wedge \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r} \\
& \quad=0
\end{aligned}
$$

（参看定理 2．1（2）的证明）．证毕．
根据定理 2．2，外微分实际上是定义在整个正则曲面 $S$ 上的算子，或者更一般地，外微分是定义在微分流形上的算子．因为在这种空间每一点的邻域内有曲纹坐标系，而在不同的曲纹坐标系之间有容许的坐标变换，但是外微分算子与曲纹坐标系的选取无关，所以它是在整个空间上定义好的．这就是说，尽管在不同的曲纹坐标系下，外微分式有不同的表达式，但是它们的外微分仍旧是同一个外微分式在相应的曲纹坐标系下的表达式．因此，外微分运算把定义在整个空间上的一个 $r$ 次外微分式变成定义在整个空间上的一个确定的 $r+1$ 次外微分式。

定理 2.2 还可以作一些推广，这在以后十分有用．设有另一个 $m$维区域 $\tilde{D}$ ，曲纹坐标系是 $\left(\tilde{u}^1, \cdots, \tilde{u}^m\right)$ ，并且 $\sigma: D \rightarrow \tilde{D}$ 是一个连续可微映射，表示为

$$
\begin{equation*}
\tilde{u}^\alpha=\tilde{u}^\alpha\left(u^1, \cdots, u^n\right), \quad \alpha=1, \cdots, m . \tag{2.27}
\end{equation*}
$$

映射 $\sigma$ 诱导出一个映射 $\sigma^*$ ，它把定义在区域 $\tilde{D}$ 上的 $r$ 次外微分式变为区域 $D$ 上的 $r$ 次外微分式．例如，设

$$
\begin{equation*}
\tilde{\varphi}=\frac{1}{r!} \sum_{1 \leq \alpha_1, \cdots, \alpha_r \leq m} \tilde{\varphi}_{\alpha_1 \cdots \alpha_r}\left(\tilde{u}^1, \cdots, \tilde{u}^m\right) \mathrm{d} \tilde{u}^{\alpha_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} \tilde{u}^{\alpha_r}, \tag{2.28}
\end{equation*}
$$

则 $\sigma^* \tilde{\varphi}$ 是区域 $D$ 上的 $r$ 次外微分式，它是用（2．27）式代入（2．28）式所得到的结果，即

$$
\begin{align*}
\sigma^* \tilde{\varphi}= & \frac{1}{r!} \tilde{\varphi}_{\alpha_1 \cdots \alpha_r}\left(\tilde{u}^1\left(u^1, \cdots, u^n\right), \cdots, \tilde{u}^m\left(u^1, \cdots, u^n\right)\right) \\
& \cdot \frac{\partial \tilde{u}^{\alpha_1}}{\partial u_{!}^{i_1}} \cdots \frac{\partial \tilde{u}^{\alpha_r}}{\partial u^{i_r}} \mathrm{~d} u^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{~d} u^{i_r}, \tag{2.29}
\end{align*}
$$

其中指标 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r$ 的取值范围从 1 到 $m$ ，指标 $i_1, \cdots, i_r$ 的取值范围从 1 到 $n$ ，并且上式使用了 Einstein 和式约定．通常，我们把 $\sigma^* \tilde{\varphi}$ 称为区域 $\tilde{D}$ 上的 $r$ 次外微分式 $\tilde{\varphi}$ 通过映射 $\sigma$ 在区域 $D$ 上的拉回．
定理 2.3 设 $\sigma: \tilde{D} \rightarrow D$ 是连续可微映射，则对区域 $\tilde{D}$ 上任意的外微分式 $\tilde{\varphi}, \tilde{\psi}$ 有下面的等式：
（1）$\sigma^*(\varphi+\psi)=\sigma^* \varphi+\sigma^* \psi$ ；
（2）$\sigma^*(\varphi \wedge \psi)=\sigma^* \varphi \wedge \sigma^* \psi$ ；
（3）$\sigma^*(\mathrm{~d} \varphi)=\mathrm{d}\left(\sigma^* \varphi\right)$ ．
证明 性质（1）和（2）可以从映射 $\sigma^*$ 的定义直接得到。性质（3）的证明在实际上和定理 2.2 的证明是一样的．实际上，定理 2.2 是定理 2．3（3）的特殊情形．证毕．

把微积分学中的重积分的被积表达式写成外微分式是更加自然的，因为此时积分的变量替换公式可以通过直接计算得到．例如，考虑二维区域上的重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中的 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 应该换成 $\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y$ ．
如果有变量替换

$$
x=x(u, v), \quad y=y(u, v), \quad(u, v) \in \tilde{D}
$$

则

$$
\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y=\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{array}\right| \mathrm{d} u \wedge \mathrm{~d} v=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \mathrm{d} u \wedge \mathrm{~d} v,
$$

所以

$$
\begin{aligned}
& \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y \\
& \quad=\iint_{\tilde{D}} f(x(u, v), y(u, v)) \cdot \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \mathrm{d} u \wedge \mathrm{~d} v
\end{aligned}
$$

这正好是二重积分的变量替换公式．三重积分的情况是一样的．
采用外微分的语言，积分的 Green 公式、Stokes 公式和 Gauss 公式可以统一地表述如下：设 $G$ 是 $n$ 维欧氏空间 $E^n$ 中的一个 $r$ 维有向曲面上的一个区域，$\partial G$ 是 $G$ 的边界，具有从 $G$ 诱导的定向，$\omega$是定义在 $G$ 上的 $r-1$ 次外微分式，则有

$$
\begin{equation*}
\int_{\partial G} \omega=\int_G \mathrm{~d} \omega . \tag{2.30}
\end{equation*}
$$

上式统称为 Stokes 公式，证明可以查看参考文献［3］或［2］．
例题 3 试在二维或三维欧氏空间中，把 Stokes 公式（2．30）具体地表述成经典的积分公式．

解（1）设 $n=r=2$ ，命

$$
\omega=P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y
$$

则

$$
\mathrm{d} \omega=\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y .
$$
公式（2．30）就是

$$
\int_{\partial G} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_G\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y,
$$

这正是经典的 Green 公式．
（2）设 $n=3, r=2$ ，命

$$
\omega=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z,
$$

则

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \omega= & \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} x \\
& +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y
\end{aligned}
$$

公式（2．30）成为
$$
\begin{aligned}
\int_{\partial G} P \mathrm{~d} x & +Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z \\
= & \iint_G\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} x \\
& +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y
\end{aligned}
$$

这正是经典的 Stokes 公式．
（3）设 $n=r=3$ ，则得 Gauss 公式

$$
\begin{aligned}
& \iint_{\partial G} P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y \\
& \quad=\iiint_G\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z
\end{aligned}
$$

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