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7.3 E^3中的标架族(1)

§7．3 $E^3$ 中的标架族
在第一章中，我们已经讨论过由 $E^3$ 中的标架的全体所组成的 12 维空间．具体一点说，就是在 $E^3$ 中取定一个右手单位正交标架 $\{O ; \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ ，那么在 $E^3$ 中的任意一个右手标架 $\left\{p ; \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\right\}$ 都可以表示成

$$
\left(\begin{array}{c}
\overrightarrow{O p}  \tag{3.1}\\
\boldsymbol{e}_1 \\
\boldsymbol{e}_2 \\
\boldsymbol{e}_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
a_1 & a_2 & a_3 \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
\boldsymbol{i} \\
\boldsymbol{j} \\
\boldsymbol{k}
\end{array}\right),
$$

并且条件

$$
\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13}  \tag{3.2}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|>0
$$

成立．因此，$E^3$ 中全体右手标架的集合 $\mathfrak{F}$ 是 $\mathbb{R}^{12}$ 中满足条件（3．2）的区域 $D$ ，位于区域中的点的坐标就是

$$
\left(a_1, a_2, a_3, a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{33}\right) .
$$

如果 $\left\{p ; \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\right\}$ 是右手单位正交标架，则除了满足条件（3．2）外，它还要满足方程

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{e}_j=\delta_{i j}, \quad 1 \leq i, j \leq 3, \tag{3.3}
\end{equation*}
$$

即

$$
\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13}  \tag{3.4}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right),
$$

或者

$$
\begin{align*}
& \left(a_{11}\right)^2+\left(a_{12}\right)^2+\left(a_{13}\right)^2=1, \\
& \left(a_{21}\right)^2+\left(a_{22}\right)^2+\left(a_{23}\right)^2=1, \\
& \left(a_{31}\right)^2+\left(a_{32}\right)^2+\left(a_{33}\right)^2=1,  \tag{$\prime$}\\
& a_{11} a_{21}+a_{12} a_{22}+a_{13} a_{23}=0, \\
& a_{11} a_{31}+a_{12} a_{32}+a_{13} a_{33}=0, \\
& a_{21} a_{31}+a_{22} a_{32}+a_{23} a_{33}=0 .
\end{align*}
$$

因此 $E^3$ 中全体右手单位正交标架的集合 $\tilde{\mathfrak{F}}$ 是 $\mathbb{R}^{12}$ 中满足条件（3．2）和（3．4）的一张 6 维（代数）曲面。

现在我们来考察标架 $\left\{p ; e_1, e_2, e_3\right\}$ 的无穷小位移，也就是标架原点 $p$ 和标架向量 $e_1, e_2, e_3$ 的微分。由（3．1）式得到

$$
\left(\begin{array}{c}
\mathrm{d}(\overrightarrow{O p})  \tag{3.5}\\
\mathrm{d} \boldsymbol{e}_1 \\
\mathrm{~d} \boldsymbol{e}_2 \\
\mathrm{~d} \boldsymbol{e}_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\mathrm{d} a_1 & \mathrm{~d} a_2 & \mathrm{~d} a_3 \\
\mathrm{~d} a_{11} & \mathrm{~d} a_{12} & \mathrm{~d} a_{13} \\
\mathrm{~d} a_{21} & \mathrm{~d} a_{22} & \mathrm{~d} a_{23} \\
\mathrm{~d} a_{31} & \mathrm{~d} a_{32} & \mathrm{~d} a_{33}
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
\boldsymbol{i} \\
\boldsymbol{j} \\
\boldsymbol{k}
\end{array}\right) .
$$
但是 $\left\{e_1, e_2, e_3\right\}$ 是线性无关的，因此基底 $\{i, j, k\}$ 反过来可以用 $\left\{e_1\right.$ ， $\left.e_2, e_3\right\}$ 来表示，即

$$
\left(\begin{array}{c}
\boldsymbol{i}  \tag{3.6}\\
\boldsymbol{j} \\
\boldsymbol{k}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
\boldsymbol{e}_1 \\
\boldsymbol{e}_2 \\
\boldsymbol{e}_3
\end{array}\right),
$$

其中系数矩阵

$$
\left(\begin{array}{lll}
b_{11} & b_{12} & b_{13}  \tag{3.7}\\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right)^{-1}
$$

将（3．6）式代入（3．5）式得到

$$
\left(\begin{array}{c}
\mathrm{d}(\overrightarrow{O p}) \\
\mathrm{d} \boldsymbol{e}_1 \\
\mathrm{~d} \boldsymbol{e}_2 \\
\mathrm{~d} \boldsymbol{e}_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\mathrm{d} a_1 & \mathrm{~d} a_2 & \mathrm{~d} a_3 \\
\mathrm{~d} a_{11} & \mathrm{~d} a_{12} & \mathrm{~d} a_{13} \\
\mathrm{~d} a_{21} & \mathrm{~d} a_{22} & \mathrm{~d} a_{23} \\
\mathrm{~d} a_{31} & \mathrm{~d} a_{32} & \mathrm{~d} a_{33}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\boldsymbol{e}_1 \\
\boldsymbol{e}_2 \\
\boldsymbol{e}_3
\end{array}\right),
$$

展开以后得到
$$
\begin{align*}
& \mathrm{d}(\overrightarrow{O p})=\Omega^1 \boldsymbol{e}_1+\Omega^2 \boldsymbol{e}_2+\Omega^3 \boldsymbol{e}_3,  \tag{3.8}\\
& \mathrm{~d} \boldsymbol{e}_i=\Omega_i^1 \boldsymbol{e}_1+\Omega_i^2 \boldsymbol{e}_2+\Omega_i^3 \boldsymbol{e}_3,
\end{align*}
$$

其中

$$
\begin{equation*}
\Omega^j=\sum_{k=1}^3 \mathrm{~d} a_k \cdot b_{k j}, \quad \Omega_i^j=\sum_{k=1}^3 \mathrm{~d} a_{i k} \cdot b_{k j}, \quad 1 \leq i, j \leq 3 . \tag{3.9}
\end{equation*}
$$

这里的 $\Omega^j, \Omega_i^j$ 是区域 $D$ 上的 12 个一次微分式，称为欧氏空间 $E^3$ 上的活动标架的 相对分量．（3．8）式称为欧氏空间 $E^3$ 上的活动标架的运动公式．

上面的讨论对于欧氏空间 $E^3$ 上的单位正交活动标架也是适用的，只是现在要求矩阵 $\left(a_{i j}\right)$ 是正交矩阵。比较条件（3．4）和（3．7）得

到

$$
\left(\begin{array}{lll}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{array}\right)
$$

因此欧氏空间 $E^3$ 上的单位正交活动标架的相对分量是

$$
\begin{equation*}
\Omega^j=\sum_{k=1}^3 a_{j k} \mathrm{~d} a_k, \quad \Omega_i^j=\sum_{k=1}^3 a_{j k} \mathrm{~d} a_{i k}, \quad 1 \leq i, j \leq 3 . \tag{3.10}
\end{equation*}
$$

另外，从条件（3．4＇）容易得知

$$
\begin{equation*}
\Omega_i^j=-\Omega_j^i, \quad 1 \leq i, j \leq 3, \tag{3.11}
\end{equation*}
$$

因此欧氏空间 $E^3$ 上的单位正交活动标架的相对分量在实质上只有 6个，它们是

$$
\Omega^1, \quad \Omega^2, \quad \Omega^3, \quad \Omega_1^2=-\Omega_2^1, \quad \Omega_1^3=-\Omega_3^1, \quad \Omega_2^3=-\Omega_3^2 .
$$

这些一次微分式定义在 $\mathbb{R}^{12}$ 中的 6 维曲面 $\tilde{\mathfrak{F}}$ 上，或者说成是（3．9）式中的一次微分式在条件（3．4）下的限制．
定理 3.1 欧氏空间 $E^3$ 上的活动标架的相对分量 $\Omega^j, \Omega_i^j$ 满足下列方程式

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \Omega^j=\sum_{k=1}^3 \Omega^k \wedge \Omega_k^j, \quad \mathrm{~d} \Omega_i^j=\sum_{k=1}^3 \Omega_i^k \wedge \Omega_k^j . \tag{3.12}
\end{equation*}
$$

这组方程称为欧氏空间 $E^3$ 上的标架空间 $\mathfrak{F}$ 的结构方程．
证明 在（3．1）式中位置向量 $\overrightarrow{O p}$ 相当于函数 $a_1, a_2, a_3$ ，而每一个标架向量 $\boldsymbol{e}_i$ 相当于函数 $a_{i 1}, a_{i 2}, a_{i 3}$ ，所以 $\overrightarrow{O p}$ 和 $\boldsymbol{e}_i$ 实际上是标架空间 $\mathfrak{F}$ 中的 12 个坐标函数．根据外微分的性质（2）得到

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d}(\mathrm{~d}(\overrightarrow{O p}))=0, \quad \mathrm{~d}\left(\mathrm{~d} \boldsymbol{e}_i\right)=0, \tag{3.13}
\end{equation*}
$$

将（3．8）式代入得到

$$
\begin{aligned}
0 & =\mathrm{d}(\mathrm{~d}(\overrightarrow{O p}))=\sum_{j=1}^3 \mathrm{~d}\left(\Omega^j \boldsymbol{e}_j\right)=\sum_{j=1}^3\left(\mathrm{~d} \Omega^j \boldsymbol{e}_j-\Omega^j \wedge \mathrm{~d} \boldsymbol{e}_j\right) \\
& =\sum_{j=1}^3\left(\mathrm{~d} \Omega^j-\sum_{k=1}^3 \Omega^k \wedge \Omega_k^j\right) \boldsymbol{e}_j, \\
0 & =\mathrm{d}\left(\mathrm{~d} \boldsymbol{e}_i\right)=\sum_{j=1}^3 \mathrm{~d}\left(\Omega_i^j \boldsymbol{e}_j\right)=\sum_{j=1}^3\left(\mathrm{~d} \Omega_i^j \boldsymbol{e}_j-\Omega_i^j \wedge \mathrm{~d} \boldsymbol{e}_j\right) \\
& =\sum_{j=1}^3\left(\mathrm{~d} \Omega_i^j-\sum_{k=1}^3 \Omega_i^k \wedge \Omega_k^j\right) \boldsymbol{e}_j .
\end{aligned}
$$

因为 $e_1, e_2, e_3$ 是线性无关的，因此上式终端的系数必须为零．证毕．
欧氏空间 $E^3$ 上的单位正交标架空间 $\tilde{\mathfrak{F}}$ 有相同的结构方程（3．13），但是由于外微分式 $\Omega_i^j$ 关于指标有反对称性（3．11），故结构方程成为
$$
\begin{align*}
\mathrm{d} \Omega^j & =\sum_{k=1}^3 \Omega^k \wedge \Omega_k^j \\
\mathrm{~d} \Omega_1^2 & =\Omega_1^3 \wedge \Omega_3^2=-\Omega_1^3 \wedge \Omega_2^3  \tag{3.14}\\
\mathrm{~d} \Omega_1^3 & =\Omega_1^2 \wedge \Omega_2^3 \\
\mathrm{~d} \Omega_2^3 & =\Omega_2^1 \wedge \Omega_1^3=\Omega_1^3 \wedge \Omega_1^2
\end{align*}
$$

下面我们考虑欧氏空间 $E^3$ 中依赖 $r$ 个参数的标架族。设变量 $\left(u^1, \cdots, u^r\right)$ 的定义域是空间 $\mathbb{R}^r$ 中的一个区域 $\tilde{D}$ ，那么所谓的 $E^3$ 中依赖 $r$ 个参数的标架族是指从 $r$ 维区域 $\tilde{D}$ 到标架空间 $\mathfrak{F}$ 中的一个连续可微映射 $\sigma: \tilde{D} \rightarrow \mathfrak{F}$ ，即有 12 个连续可微函数

$$
\begin{equation*}
a_i=a_i\left(u^1, \cdots, u^r\right), \quad a_{i j}=a_{i j}\left(u^1, \cdots, u^r\right), \tag{3.15}
\end{equation*}
$$

其中 $\operatorname{det}\left(a_{i j}\left(u^\alpha\right)\right)>0$ ．把 $u^1, \cdots, u^r$ 看作自变量，将（3．15）式代入（3．1）式对 $\overrightarrow{O p}\left(u^1, \cdots, u^r\right)$ 和 $e_i\left(u^1, \cdots, u^r\right)$ 求微分，并且 $e_j\left(u^1, \cdots, u^r\right), j=1,2,3$ 是线性无关的，故有

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d}(\overrightarrow{O p})=\sum_{k=1}^3 \omega^k \boldsymbol{e}_k, \quad \mathrm{~d} \boldsymbol{e}_i=\sum_{k=1}^3 \omega_i^k \boldsymbol{e}_k, \tag{3.16}
\end{equation*}
$$

很明显，

$$
\begin{equation*}
\omega^k=\sigma^* \Omega^k, \quad \omega_i^k=\sigma^* \Omega_i^k \tag{3.17}
\end{equation*}
$$

它们是 $r$ 维区域 $\tilde{D}$ 上的一次微分式，称为 $E^3$ 中这个依赖 $r$ 个参数 $u^1, \cdots, u^r$ 的标架族的相对分量．（3．16）式称为 $E^3$ 中依赖 $r$ 个参数 $u^1, \cdots, u^r$ 的标架族的运动公式．

如果考虑欧氏空间 $E^3$ 中依赖 $r$ 个参数的单位正交标架族，则它是从 $r$ 维区域 $\tilde{D}$ 到标架空间 $\tilde{\mathfrak{F}}$ 中的一个连续可微映射 $\sigma: \tilde{D} \rightarrow \tilde{\mathfrak{F}}$ ，换言之，这 12 个函数 $a_i\left(u^1, \cdots, u^r\right), a_{i j}\left(u^1, \cdots, u^r\right)$ 还要满足条件

$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^3 a_{i k}\left(u^1, \cdots, u^r\right) a_{j k}\left(u^1, \cdots, u^r\right)=\delta_{i j} . \tag{3.18}
\end{equation*}
$$

相应地，相对分量 $\omega^j, \omega_i^j$ 满足关系式

$$
\begin{equation*}
\omega_i^j+\omega_j^i=0 \tag{3.19}
\end{equation*}
$$

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