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7.3 E^3中的标架族(2)

定理 3.2 欧氏空间 $E^3$ 中依赖 $r$ 个参数 $u^1, \cdots, u^r$ 的任意一个标架族 $\left\{p\left(u^\alpha\right) ; e_1\left(u^\alpha\right), e_2\left(u^\alpha\right), e_3\left(u^\alpha\right)\right\}$ 的相对分量 $\omega^j, \omega_i^j$ 必定满足结构方程

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \omega^j=\sum_{k=1}^3 \omega^k \wedge \omega_k^j, \quad \mathrm{~d} \omega_i^j=\sum_{k=1}^3 \omega_i^k \wedge \omega_k^j . \tag{3.20}
\end{equation*}
$$

证明 根据定理2．3，从（3．17）式得到

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \omega^j & =\mathrm{d}\left(\sigma^* \Omega^j\right)=\sigma^* \mathrm{~d} \Omega^j=\sigma^*\left(\sum_{k=1}^3 \Omega^k \wedge \Omega_k^j\right) \\
& =\sum_{k=1}^3 \sigma^* \Omega^k \wedge \sigma^* \Omega_k^j=\sum_{k=1}^3 \omega^k \wedge \omega_k^j
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \omega_i^j & =\mathrm{d}\left(\sigma^* \Omega_i^j\right)=\sigma^* \mathrm{~d} \Omega_i^j=\sigma^*\left(\sum_{k=1}^3 \Omega_i^k \wedge \Omega_k^j\right) \\
& =\sum_{k=1}^3 \sigma^* \Omega_i^k \wedge \sigma^* \Omega_k^j=\sum_{k=1}^3 \omega_i^k \wedge \omega_k^j .
\end{aligned}
$$

证毕．
结构方程的重要性在于上述定理的逆定理成立，即结构方程成立是使标架族存在、且以给定的一组一次微分式 $\omega^j, \omega_i^j, 1 \leq i, j \leq 3$ 为其相对分量的充分条件。具体地说，我们有下面的定理：

定理 3.3 任意给定 12 个依赖自变量 $\left(u^1, \cdots, u^r\right) \in \tilde{D} \subset \mathbb{R}^r$ 的一次微分式 $\omega^j, \omega_i^j, 1 \leq i, j \leq 3$ ，如果它们满足结构方程

$$
\mathrm{d} \omega^j=\sum_{k=1}^3 \omega^k \wedge \omega_k^j, \quad \mathrm{~d} \omega_i^j=\sum_{k=1}^3 \omega_i^k \wedge \omega_k^j,
$$

则在欧氏空间 $E^3$ 中有依赖 $r$ 个参数 $u^1, \cdots, u^r$ 的右手标架族 $\left\{p\left(u^\alpha\right)\right.$ ； $\left.e_1\left(u^\alpha\right), e_2\left(u^\alpha\right), e_3\left(u^\alpha\right)\right\}$ 以 $\omega^j, \omega_i^j$ 为它的相对分量．
定理 3．3＇任意给定 6 个依赖自变量 $\left(u^1, \cdots, u^r\right) \in \tilde{D} \subset \mathbb{R}^r$ 的一次微分式

$$
\omega^1, \quad \omega^2, \quad \omega^3, \quad \omega_1^2=-\omega_2^1, \quad \omega_1^3=-\omega_3^1, \quad \omega_2^3=-\omega_3^2
$$

如果它们满足结构方程

$$
\mathrm{d} \omega^j=\sum_{k=1}^3 \omega^k \wedge \omega_k^j, \quad \mathrm{~d} \omega_i^j=\sum_{k=1}^3 \omega_i^k \wedge \omega_k^j,
$$

则在欧氏空间 $E^3$ 中存在依赖 $r$ 个参数 $u^1, \cdots, u^r$ 的右手单位正交标架族 $\left\{p\left(u^\alpha\right) ; e_1\left(u^\alpha\right), e_2\left(u^\alpha\right), e_3\left(u^\alpha\right)\right\}$ 以 $\omega^j, \omega_i^j$ 为它的相对分量，并且任意两个这样的右手单位正交标架族可以通过空间 $E^3$ 的一个刚体运动彼此重合。

定理 3.3 和定理 $3.3^{\prime}$ 的证明，实际上要化为在第五章证明曲面存在定理时用到的一阶线性齐次偏微分方程组的求解问题，而结构方程

相当于这组偏微分方程组的完全可积条件．详细的证明参看附录 §1 的定理 1．5．

例题1 设 $p$ 是 $E^3$ 中的一个固定点，以 $p$ 为原点的全体右手标架构成依赖 9 个参数的标架族，它在拓扑上等价于全体行列式为正的 $3 \times 3$ 矩阵的集合 $\mathrm{GL}^{+}(3)$ 。由此可见，$E^3$ 中的一个固定点相当于标架空间 $\mathfrak{F}$ 中的一个9维曲面．试写出该标架族的相对分量．

解 上述标架族满足的条件是

$$
a_i=\text { 常数, } \quad 1 \leq i \leq 3 .
$$

因此该标架族的相对分量是

$$
\begin{equation*}
\omega^1=\omega^2=\omega^3=0, \quad \omega_i^j=\sum_{k=1}^3 b_{k j} \mathrm{~d} a_{i k} \tag{3.21}
\end{equation*}
$$

其中 $\left(b_{i j}\right)$ 是 $\left(a_{i j}\right)$ 的逆矩阵．
如果在右手单位正交标架空间 $\tilde{\mathfrak{F}}$ 中看，$E^3$ 中的一个固定点相当于 $\tilde{\mathfrak{F}}$ 中的一个三维曲面，在拓扑上等价于行列式为 1 的正交矩阵的集合 $S O(3)$ ，它的相对分量是
$$
\begin{equation*}
\omega^1=\omega^2=\omega^3=0, \quad \omega_i^j=\sum_{k=1}^3 a_{j k} \mathrm{~d} a_{i k} \tag{3.22}
\end{equation*}
$$

其中 $a_{i j}$ 满足条件 $\sum_{k=i}^3 a_{i k} a_{j k}=\delta_{i j}$ 和 $\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)=1$ ．
例题 2 设 $C$ 是欧氏空间 $E^3$ 中一条挠率不为零的曲线，其参数方程是

$$
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s),
$$

其中 $s$ 是弧长参数，曲率是 $\kappa$ ，挠率是 $\tau$ ．那么曲线 $C$ 的 Frenet 标架场 $\{\boldsymbol{r}(s) ; \boldsymbol{\alpha}(s), \boldsymbol{\beta}(s), \boldsymbol{\gamma}(s)\}$ 是 $E^3$ 中的单参数正交标架族，因而是空问 $\tilde{\mathfrak{F}}$ 中的一条曲线．试写出该标架族的相对分量．
解 根据 Frenet 公式，

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \boldsymbol{r}(s) & =\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}(s)}{\mathrm{d} s} \mathrm{~d} s=\boldsymbol{\alpha}(s) \mathrm{d} s \\
\mathrm{~d} \boldsymbol{\alpha}(s) & =\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}(s)}{\mathrm{d} s} \mathrm{~d} s=\kappa(s) \boldsymbol{\beta}(s) \mathrm{d} s \\
\mathrm{~d} \boldsymbol{\beta}(s) & =\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\beta}(s)}{\mathrm{d} s} \mathrm{~d} s=-\kappa(s) \boldsymbol{\alpha}(s) \mathrm{d} s+\tau(s) \boldsymbol{\gamma}(s) \mathrm{d} s \\
\mathrm{~d} \boldsymbol{\gamma}(s) & =\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\gamma}(s)}{\mathrm{d} s} \mathrm{~d} s=-\tau(s) \boldsymbol{\beta}(s) \mathrm{d} s
\end{aligned}
$$

因此该标架族的相对分量是

$$
\begin{align*}
& \omega^1=\mathrm{d} s, \quad \omega^2=\omega^3=0 \\
& \omega_1^1=\omega_2^2=\omega_3^3=0, \quad \omega_1^2=-\omega_2^1=\kappa(s) \mathrm{d} s  \tag{3.23}\\
& \omega_1^3=-\omega_3^1=0, \quad \omega_2^3=-\omega_3^2=\tau(s) \mathrm{d} s
\end{align*}
$$

反过来，如果给定两个连续可微函数 $\kappa=\kappa(s)>0, \tau=\tau(s)$ ，则可以按照（3．23）式构造一次微分式 $\omega^j, \omega_i^j, 1 \leq i, j \leq 3$ 。因为它们只依赖一个自变量，所以它们的外积和外微分都自动为零，因此定理 $3.3^{\prime}$ 的条件成立，于是在 $E^3$ 中存在一个单参数正交标架族以 $\omega^j, \omega_i^j, 1 \leq i, j \leq 3$为它的相对分量。从该标架族的运动公式（3．17）不难知道，该标架族的原点的轨迹是欧氏空间 $E^3$ 中一条正则参数曲线，它以 $s$ 为弧长参数，以 $\kappa(s)$ 为曲率，以 $\tau(s)$ 为挠率，而且该曲线至多除在空间 $E^3$ 中的位置不同以外是唯一确定的．这正好是曲线论基本定理．
例题 3 在空间 $E^3$ 中沿挠率不为零的曲线 $C$ 的所有单位正交标架 $\left\{r(s) ; e_1, e_2, e_3\right\}$ 的集合，其中 $e_1$ 是曲线 $r=r(s)$ 的单位切向量，则这是依赖两个参数的标架族．试写出该标架族的相对分量．

解 由于 $e_1=\alpha(s)$ ，因此向量 $\left\{e_2, e_3\right\}$ 和 $\{\beta(s), \gamma(s)\}$ 可以差一个任意的转动，设

$$
\begin{align*}
& \boldsymbol{e}_2=\cos \theta \boldsymbol{\beta}(s)+\sin \theta \gamma(s),  \tag{3.24}\\
& \boldsymbol{e}_3=-\sin \theta \boldsymbol{\beta}(s)+\cos \theta \gamma(s) .
\end{align*}
$$

由此可见，这是空间 $E^3$ 中依赖两个参数 $s, \theta$ 的单位正交标架族，它的相对分量是

$$
\begin{align*}
& \omega^1=\mathrm{d} s, \quad \omega^2=\omega^3=0 \\
& \omega_1^1=\omega_2^2=\omega_3^3=0, \quad \omega_1^2=-\omega_2^1=\kappa(s) \cos \theta \mathrm{d} s  \tag{3.25}\\
& \omega_1^3=-\omega_3^1=-\kappa(s) \sin \theta \mathrm{d} s, \quad \omega_2^3=-\omega_3^2=\mathrm{d} \theta+\tau(s) \mathrm{d} s
\end{align*}
$$

如果 $\left\{\boldsymbol{r}(s) ; \boldsymbol{e}_1(s), \boldsymbol{e}_2(s), \boldsymbol{e}_3(s)\right\}$ 是空间 $E^3$ 中沿曲线 $C$ 的一个单参数单位正交标架族，其中 $e_1(s)$ 是曲线 $C$ 的单位切向量，通常称这样的标架族为沿曲线 $C$ 的一个一阶标架族。这样的标架族是在上面的依赖两个参数的单位正交标架族中取定函数 $\theta=\theta(s)$ 得到的．若取另一个函数 $\theta=\tilde{\theta}(s)$ ，则得到沿曲线 $C$ 的另一个一阶标架族。从（3．25）式得到，由 $\theta=\theta(s)$ 确定的沿曲线 $C$ 的一阶标架族的相对分量是

$$
\begin{align*}
& \omega^1=\mathrm{d} s, \quad \omega^2=\omega^3=0 \\
& \omega_1^1=\omega_2^2=\omega_3^3=0, \quad \omega_1^2=-\omega_2^1=\kappa(s) \cos \theta(s) \mathrm{d} s  \tag{3.26}\\
& \omega_1^3=-\omega_3^1=-\kappa(s) \sin \theta(s) \mathrm{d} s, \quad \omega_2^3=-\omega_3^2=\left(\theta^{\prime}(s)+\tau(s)\right) \mathrm{d} s
\end{align*}
$$

从（3．26）式得知，

$$
\left(\omega_1^2\right)^2+\left(\omega_1^3\right)^2=(\kappa(s) \mathrm{d} s)^2
$$

它与沿曲线 $C$ 的一阶标架族的选取无关，所以曲线 $C$ 的曲率可以用曲线 $C$ 的一阶标架族的相对分量定义为

$$
\begin{equation*}
\kappa=\frac{\sqrt{\left(\omega_1^2\right)^2+\left(\omega_1^3\right)^2}}{\mathrm{~d} s} . \tag{3.27}
\end{equation*}
$$

沿曲线 $C$ 的 Frenet 标架通常称为沿曲线 $C$ 的二阶标架族，它对应于在一阶标架族中取 $\theta=0$ ．

例题 4 求 $E^3$ 中球坐标系给出的自然标架场和对应的单位正交标架场，并且求它们的相对分量．
解 设 $(x, y, z)$ 是 $E^3$ 中的笛卡儿直角坐标系，命

$$
x=r \cos \theta \cos \varphi, \quad y=r \cos \theta \sin \varphi, \quad z=r \sin \theta,
$$

则 $(r, \varphi, \theta)$ 是 $E^3$ 中的球坐标系．它给出的自然标架场是 $\left\{r ; \frac{\partial r}{\partial r}, \frac{\partial r}{\partial \varphi}\right.$ ， $\left.\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta}\right\}$ ，其中

$$
\begin{align*}
& \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial r}=(\cos \theta \cos \varphi, \cos \theta \sin \varphi, \sin \theta), \\
& \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \varphi}=(-r \cos \theta \sin \varphi, r \cos \theta \cos \varphi, 0),  \tag{3.28}\\
& \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta}=(-r \sin \theta \cos \varphi,-r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta) .
\end{align*}
$$

经直接验证知道，$\left\{\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial r}, \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \varphi}, \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta}\right\}$ 是彼此正交的，并且构成右手系．要得到单位正交标架场只要将它们单位化就可以了．命
$$
\begin{align*}
& \boldsymbol{e}_1=\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \boldsymbol{r}}=(\cos \theta \cos \varphi, \cos \theta \sin \varphi, \sin \theta), \\
& \boldsymbol{e}_2=\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \varphi} /\left|\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \varphi}\right|=(-\sin \varphi, \cos \varphi, 0),  \tag{3.29}\\
& \boldsymbol{e}_3=\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta} /\left|\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta}\right|=(-\sin \theta \cos \varphi,-\sin \theta \sin \varphi, \cos \theta),
\end{align*}
$$

则 $\left\{r ; e_1, e_2, e_3\right\}$ 是对应的单位正交标架场．
对向径 $r$ 微分得到

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \boldsymbol{r}=\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial r} \mathrm{~d} r+\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \varphi} \mathrm{d} \varphi+\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta} \mathrm{d} \theta=\mathrm{d} r \boldsymbol{e}_1+r \cos \theta \mathrm{~d} \varphi \boldsymbol{e}_2+r \mathrm{~d} \theta \boldsymbol{e}_3, \tag{3.30}
\end{equation*}
$$

因此

$$
\begin{align*}
\omega^1 & =\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{e}_1=\mathrm{d} r, \\
\omega^2 & =\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{e}_2=r \cos \theta \mathrm{~d} \varphi,  \tag{3.31}\\
\omega^3 & =\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{e}_3=r \mathrm{~d} \theta
\end{align*}
$$
 同理可得

$$
\begin{align*}
& \omega_1^2=-\omega_2^1=\cos \theta \mathrm{d} \varphi \\
& \omega_1^3=-\omega_3^1=\mathrm{d} \theta  \tag{3.32}\\
& \omega_2^3=-\omega_3^2=\sin \theta \mathrm{d} \varphi
\end{align*}
$$

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