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7.4 曲面上的正交标架场（1）

§7．4 曲面上的正交标架场
本节的目的是把 $E^3$ 中的标架族的理论用于曲面论的研究．首先我们求曲面上自然标架场的相对分量，然后把曲面论的 Gauss－Codazzi方程和自然标架场的结构方程等同起来。我们所着眼的重点还是如何在曲面上取单位正交标架场，并且把曲面的有关几何量用曲面上的一阶标架场的相对分量表示出来，为在曲面上用活动标架法创造条件．

设欧氏空间 $E^3$ 中曲面 $S$ 的参数方程是 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right)$ ，相应的自然标架场是 $\left\{r ; r_1, r_2, n\right\}$ ，其中

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}_\alpha=\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u^\alpha}, \quad \alpha=1,2 ; \quad \boldsymbol{n}=\frac{\boldsymbol{r}_1 \times \boldsymbol{r}_2}{\left|\boldsymbol{r}_1 \times \boldsymbol{r}_2\right|} . \tag{4.1}
\end{equation*}
$$

因此，自然标架场 $\left\{\boldsymbol{r} ; \boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, \boldsymbol{n}\right\}$ 是空间 $E^3$ 中依赖参数 $u^1, u^2$ 的标架族。

现在求这个标架族的相对分量 $\omega^j, \omega_i^j$ ．假定曲面 $S$ 的两个基本形式分别是

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=g_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\alpha \mathrm{d} u^\beta, \quad \mathbb{I}=b_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\alpha \mathrm{d} u^\beta . \tag{4.2}
\end{equation*}
$$

由于

$$
\mathrm{d} \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_1 \mathrm{~d} u^1+\boldsymbol{r}_2 \mathrm{~d} u^2
$$

与相对分量的定义式（3．16）对照得到

$$
\begin{equation*}
\omega^1=\mathrm{d} u^1, \quad \omega^2=\mathrm{d} u^2, \quad \omega^3=0 . \tag{4.3}
\end{equation*}
$$

由曲面论的 Gauss－Weingarten 公式（参看第五章（1．18）式）得到

$$
\begin{gathered}
\mathrm{d} \boldsymbol{r}_\alpha=\frac{\partial \boldsymbol{r}_\alpha}{\partial u^\beta} \mathrm{d} u^\beta=\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma \mathrm{d} u^\beta \boldsymbol{r}_\gamma+b_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\beta \boldsymbol{n}, \\
\mathrm{d} \boldsymbol{n}=\frac{\partial \boldsymbol{n}}{\partial u^\beta} \mathrm{d} u^\beta=-b_\beta^\gamma \mathrm{d} u^\beta \boldsymbol{r}_\gamma,
\end{gathered}
$$

其中 $\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma$ 是度量矩阵 $\left(g_{\alpha \beta}\right)$ 的 Christoffel 记号．与相对分量的定义式
（3．16）对照得到

$$
\begin{align*}
& \omega_\alpha^\gamma=\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma \mathrm{d} u^\beta, \quad \omega_\alpha^3=b_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\beta, \quad \omega_3^\gamma=-b_\beta^\gamma \mathrm{d} u^\beta  \tag{4.4}\\
& \omega_3^3=0, \quad \alpha, \gamma=1,2
\end{align*}
$$

下面考查该标架族的结构方程．从（4．3）式得知 $\mathrm{d} \omega^j=0$ ，而在另一方面，由于 $\Gamma_{\alpha \beta}^\gamma$ 和 $b_{\alpha \beta}$ 关于下指标 $\alpha, \beta$ 的对称性我们有

$$
\begin{aligned}
& \sum_{k=1}^3 \omega^k \wedge \omega_k^\gamma=\sum_{\alpha, \beta=1}^2 \mathrm{~d} u^\alpha \wedge \Gamma_{\alpha \beta}^\gamma \mathrm{d} u^\beta=\left(\Gamma_{12}^\gamma-\Gamma_{21}^\gamma\right) \mathrm{d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2=0 \\
& \sum_{k=1}^3 \omega^k \wedge \omega_k^3=\sum_{\alpha, \beta=1}^2 \mathrm{~d} u^\alpha \wedge b_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\beta=\left(b_{12}-b_{21}\right) \mathrm{d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2=0
\end{aligned}
$$

因此第一组结构方程

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \omega^j=\sum_{k=1}^3 \omega^k \wedge \omega_k^j, \quad 1 \leq j \leq 3 \tag{4.5}
\end{equation*}
$$

是自动成立的．第二组结构方程可以写成

$$
\begin{align*}
& \mathrm{d} \omega_\alpha^\gamma=\omega_\alpha^\beta \wedge \omega_\beta^\gamma+\omega_\alpha^3 \wedge \omega_3^\gamma, \quad \mathrm{d} \omega_\alpha^3=\omega_\alpha^\beta \wedge \omega_\beta^3,  \tag{4.6}\\
& \mathrm{~d} \omega_3^\gamma=\omega_3^\beta \wedge \omega_\beta^\gamma, \quad \mathrm{d} \omega_3^3=\omega_3^\beta \wedge \omega_\beta^3 .
\end{align*}
$$

先看（4．6）式的第四式，因为 $\mathrm{d} \omega_3^3=0$ ，另外

$$
\omega_3^\beta \wedge \omega_\beta^3=-b_\alpha^\beta \mathrm{d} u^\alpha \wedge b_{\beta \gamma} \mathrm{d} u^\gamma=\left(b_2^\beta b_{\beta 1}-b_1^\beta b_{\beta 2}\right) \mathrm{d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2=0
$$

因此该第四式自然是成立的．注意到

$$
g_{\alpha \gamma} b_\beta^\gamma=b_{\alpha \beta},
$$

于是

$$
\begin{gathered}
\omega_\alpha^3=b_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\beta=g_{\alpha \gamma} b_\beta^\gamma \mathrm{d} u^\beta=-g_{\alpha \gamma} \omega_3^\gamma \\
\mathrm{d} \omega_\alpha^3=-\mathrm{d} g_{\alpha \gamma} \omega_3^\gamma-g_{\alpha \gamma} \wedge \mathrm{d} \omega_3^\gamma
\end{gathered}
$$
所以

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \omega_\alpha^3 & -\omega_\alpha^\beta \wedge \omega_\beta^3 \\
& =-\mathrm{d} g_{\alpha \gamma} \wedge \omega_3^\gamma-g_{\alpha \gamma} \mathrm{d} \omega_3^\gamma-\omega_\alpha^\beta \wedge \omega_\beta^3 \\
& =-\left(g_{\alpha \delta} \omega_\gamma^\delta+g_{\gamma \delta} \omega_\alpha^\delta\right) \wedge \omega_3^\gamma-\omega_\alpha^\beta \wedge \omega_\beta^3-g_{\alpha \gamma} \mathrm{d} \omega_3^\gamma \\
& =-g_{\alpha \gamma}\left(\mathrm{d} \omega_3^\gamma+\omega_\delta^\gamma \wedge \omega_3^\delta\right)
\end{aligned}
$$

由此可见，（4．6）式的第二式和第三式是等价的，因此我们只需要证明第一式和第二式．

首先考查第一式。经直接计算得到

$$
\begin{gathered}
\mathrm{d} \omega_\alpha^\gamma=\frac{\partial \Gamma_{\alpha \beta}^\gamma}{\partial u^\delta} \mathrm{d} u^\delta \wedge \mathrm{d} u^\beta=\left(\frac{\partial \Gamma_{\alpha 2}^\gamma}{\partial u^1}-\frac{\partial \Gamma_{\alpha 1}^\gamma}{\partial u^2}\right) \mathrm{d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2 \\
\omega_\alpha^\beta \wedge \omega_\beta^\gamma=\left(\Gamma_{\alpha \xi}^\beta \mathrm{d} u^{\xi}\right) \wedge\left(\Gamma_{\beta \eta}^\gamma \mathrm{d} u^\eta\right)=\left(\Gamma_{\alpha 1}^\beta \Gamma_{\beta 2}^\gamma-\Gamma_{\alpha 2}^\beta \Gamma_{\beta 1}^\gamma\right) \mathrm{d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2
\end{gathered}
$$

所以

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \omega_\alpha^\gamma & -\omega_\alpha^\beta \wedge \omega_\beta^\gamma \\
& =\left(\frac{\partial \Gamma_{\alpha 2}^\gamma}{\partial u^1}-\frac{\partial \Gamma_{\alpha 1}^\gamma}{\partial u^2}-\Gamma_{\alpha 1}^\beta \Gamma_{\beta 2}^\gamma+\Gamma_{\alpha 2}^\beta \Gamma_{\beta 1}^\gamma\right) \mathrm{d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2 \\
& =R_{\alpha 21}^\gamma \mathrm{d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2=-R_{\alpha 12}^\gamma \mathrm{d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2
\end{aligned}
$$

（参看第五章公式（3．10））．另一方面，

$$
\omega_\alpha^3 \wedge \omega_3^\gamma=\left(b_{\alpha \xi} \mathrm{d} u^{\xi}\right) \wedge\left(-b_\eta^\gamma \mathrm{d} u^\eta\right)=\left(b_{\alpha 2} b_1^\gamma-b_{\alpha 1} b_2^\gamma\right) \mathrm{d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2,
$$

因此

$$
\begin{align*}
\mathrm{d} \omega_\alpha^\gamma & -\omega_\alpha^\beta \wedge \omega_\beta^\gamma-\omega_\alpha^3 \wedge \omega_3^\gamma \\
& =-\left(R_{\alpha 12}^\gamma+\left(b_{\alpha 2} b_1^\gamma-b_{\alpha 1} b_2^\gamma\right)\right) \mathrm{d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2 \\
& =-g^{\gamma \beta}\left(R_{\alpha \beta 12}-b_{\alpha 1} b_{\beta 2}+b_{\alpha 2} b_{\beta 1}\right) \mathrm{d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2 \tag{4.7}
\end{align*}
$$

这意味着，结构方程（4．6）的第一式就是 Gauss 方程

$$
R_{1212}=b_{11} b_{22}-b_{12} b_{21} .
$$

对 $\omega_\alpha^3$ 求外微分得到

$$
\mathrm{d} \omega_\alpha^3=\frac{\partial b_{\alpha \beta}}{\partial u^\gamma} \mathrm{d} u^\gamma \wedge \mathrm{d} u^\beta=\left(\frac{\partial b_{\alpha 2}}{\partial u^1}-\frac{\partial b_{\alpha 1}}{\partial u^2}\right) \mathrm{d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2,
$$

另外

$$
\omega_\alpha^\beta \wedge \omega_\beta^3=\left(\Gamma_{\alpha \gamma}^\beta \mathrm{d} u^\gamma\right) \wedge\left(b_{\beta \delta} \mathrm{d} u^\delta\right)=\left(\Gamma_{\alpha 1}^\beta b_{\beta 2}-\Gamma_{\alpha 2}^\beta b_{\beta 1}\right) \mathrm{d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2
$$

因此

$$
\begin{align*}
\mathrm{d} \omega_\alpha^3 & -\omega_\alpha^\beta \wedge \omega_\beta^3 \\
& =\left(\frac{\partial b_{\alpha 2}}{\partial u^1}-\frac{\partial b_{\alpha 1}}{\partial u^2}-\Gamma_{\alpha 1}^\beta b_{\beta 2}+\Gamma_{\alpha 2}^\beta b_{\beta 1}\right) \mathrm{d} u^1 \wedge \mathrm{~d} u^2 \tag{4.9}
\end{align*}
$$

这就说明，结构方程（4．6）的第二式就是 Codazzi 方程

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial b_{\alpha 2}}{\partial u^1}-\frac{\partial b_{\alpha 1}}{\partial u^2}=\Gamma_{\alpha 1}^\beta b_{\beta 2}-\Gamma_{\alpha 2}^\beta b_{\beta 1}, \quad \alpha=1,2 . \tag{4.10}
\end{equation*}
$$

总起来说，在曲面 $S$ 上取自然标架场 $\left\{r ; r_1, r_2, n\right\}$ ，则它的相对分量 $\omega^j, \omega_i^j$ 由（4．3）和（4．4）式给出，它们所满足的结构方程恰好是曲面 $S$ 的第一类基本量和第二类基本量所满足的 Gauss－Codazzi 方程。由此可见，如果已知两个二次微分形式
$$
\varphi=g_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\alpha \mathrm{d} u^\beta, \quad \psi=b_{\alpha \beta} \mathrm{d} u^\alpha \mathrm{d} u^\beta
$$

其中 $\varphi$ 是正定的，要验证它们是否满足 Gauss－Codazzi 方程，只要按照（4．3）和（4．4）式构造一次微分式 $\omega^j, \omega_i^j$ ，然后验证它们是否满足纱构方程就行了。由于结构方程比 Gauss－Codazzi 方程容易记忆，所以验证结构方程显然是比较方便的。

下面我们来讨论曲面 $S$ 上的单位正交标架场．首先我们要指出，从曲面 $S$ 的自然标架场得到单位正交标架场的最简单的方法是所谓的 Schmidt 正交化步骤。假定曲面 $S$ 的第一基本形式是（采用 Gausw记号）

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=E(\mathrm{~d} u)^2+2 F \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+G(\mathrm{~d} v)^2 \tag{4.11}
\end{equation*}
$$
则从 $\left\{r_u, r_v\right\}$ 经过 Schmidt 正交化得到

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{e}_1=\frac{\boldsymbol{r}_u}{\sqrt{E}}, \quad \boldsymbol{e}_2=\frac{1}{\sqrt{E G-F^2}}\left(-\frac{F}{\sqrt{E}} \boldsymbol{r}_u+\sqrt{E} \boldsymbol{r}_v\right) \tag{4.12}
\end{equation*}
$$

（参看第三章（4．13）式和（4．16）式）．命 $g=E G-F^2$ ，则上式可以用矩阵表示为

$$
\binom{e_1}{e_2}=\left(\begin{array}{cc}
1 / \sqrt{E} & 0  \tag{4.13}\\
-F / \sqrt{E g} & \sqrt{E} / \sqrt{g}
\end{array}\right) \cdot\binom{r_u}{r_v} .
$$

命

$$
e_3=e_1 \times e_2=n .
$$

现在，$\left\{r ; e_1, e_2, e_3\right\}$ 是定义在曲面 $S$ 上的单位正交标架场，其中 $e_1, e_2$是曲面 $S$ 的切向量．这是欧氏空间 $E^3$ 中依赖参数 $u, v$ 的正交标架族．为求该标架族的相对分量 $\omega^i$ ，注意到 $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ 是曲面 $S$ 的切向量，所以

$$
\omega^3=\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{e}_3=\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{n}=0 .
$$

另外，根据相对分量 $\omega^i$ 的定义得到
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \boldsymbol{r} & =\omega^1 \boldsymbol{e}_1+\omega^2 \boldsymbol{e}_2=\left(\omega^1, \omega^2\right) \cdot\binom{\boldsymbol{e}_1}{\boldsymbol{e}_2} \\
& =\left(\omega^1, \omega^2\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}
1 / \sqrt{E} & 0 \\
-F / \sqrt{E g} & \sqrt{E} / \sqrt{g}
\end{array}\right) \cdot\binom{\boldsymbol{r}_u}{\boldsymbol{r}_v} \\
& =(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v) \cdot\binom{\boldsymbol{r}_u}{\boldsymbol{r}_v}
\end{aligned}
$$

所以

$$
(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)=\left(\omega^1, \omega^2\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}
1 / \sqrt{E} & 0 \\
-F / \sqrt{E g} & \sqrt{E} / \sqrt{g}
\end{array}\right)
$$

或者 $\quad\left(\omega^1, \omega^2\right)=(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v) \cdot\left(\begin{array}{cc}\sqrt{E} & 0 \\ F / \sqrt{E} & \sqrt{g} / \sqrt{E}\end{array}\right)$ ，

即

$$
\begin{equation*}
\omega^1=\sqrt{E} \mathrm{~d} u+\frac{F}{\sqrt{E}} \mathrm{~d} v, \quad \omega^2=\frac{\sqrt{g}}{\sqrt{E}} \mathrm{~d} v . \tag{4.14}
\end{equation*}
$$

上面求曲面 $S$ 上的单位正交标架场 $\left\{r ; e_1, e_2, e_3\right\}$ 的相对分量 $\omega^1, \omega^2$的过程，可以简单地归结为曲面 $S$ 的第一基本形式（4．11）配平方的过程。实际上，将第一基本形式（4．11）配平方得到

$$
\begin{aligned}
\mathrm{I} & =E(\mathrm{~d} u)^2+2 F \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+G(\mathrm{~d} v)^2 \\
& =\left(\sqrt{E} \mathrm{~d} u+\frac{F}{\sqrt{E}} \mathrm{~d} v\right)^2+\left(\frac{\sqrt{E G-F^2}}{\sqrt{E}} \mathrm{~d} v\right)^2
\end{aligned}
$$

把等式终端的第一个括号内的式子记为 $\omega^1$ ，第二个括号内的式子记为 $\omega^2$ ，则我们所得到的便是（4．14）式．

一般地，如果曲面 $S$ 上的单位正交标架场 $\left\{r ; e_1, e_2, e_3\right\}$ 中的成员 $e_1, e_2$ 是曲面 $S$ 的切向量，则称这样的标架场为曲面 $S$ 的一阶标架场．对于曲面 $S$ 的任意一个一阶标架场 $\left\{r ; e_1, e_2, e_3\right\}$ 必定有

$$
\mathrm{d} \boldsymbol{r}=\omega^1 \boldsymbol{e}_1+\omega^2 \boldsymbol{e}_2,
$$
 因此 $\omega^3=0$ ，并且

$$
\mathrm{I}=\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}=\left(\omega^1 e_1+\omega^2 e_2\right)^2=\left(\omega^1\right)^2+\left(\omega^2\right)^2
$$

反过来，只要将曲面 $S$ 的第一基本形式（4．11）作任意的配平方，把它写成两个一次微分式的平方和，并且把这两个一次微分式分别记为 $\omega^1, \omega^2$ ，而让 $\omega^3=0$ ，则我们便得到曲面 $S$ 的某个一阶标架场的相对分量，并且由此可以得到曲面 $S$ 的一阶标架场关于自然标架场的表达式．这个看法为在曲面 $S$ 上选用一阶标架场带来方便，在实践中是十分有用的．

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