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7.4 曲面上的正交标架场（2）

例题 1 将曲面 $S$ 的第一基本形式（4．11）作如下的配平方：

$$
\mathrm{I}=\left(\frac{\sqrt{g}}{\sqrt{G}} \mathrm{~d} u\right)^2+\left(\frac{F}{\sqrt{G}} \mathrm{~d} u+\sqrt{G} \mathrm{~d} v\right)^2
$$

试求与其相应的一阶标架场．
解 命

$$
\omega^1=\frac{\sqrt{g}}{\sqrt{G}} \mathrm{~d} u, \quad \omega^2=\frac{F}{\sqrt{G}} \mathrm{~d} u+\sqrt{G} \mathrm{~d} v,
$$

即。

$$
\left(\omega^1, \omega^2\right)=(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v) \cdot\left(\begin{array}{cc}
\sqrt{g} / \sqrt{G} & F / \sqrt{G}  \tag{4.15}\\
0 & \sqrt{G}
\end{array}\right)
$$

那么曲面 $S$ 的一阶标架场与自然标架场的关系式是

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \boldsymbol{r} & =\left(\omega^1, \omega^2\right) \cdot\binom{\boldsymbol{e}_1}{\boldsymbol{e}_2} \\
& =(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v) \cdot\left(\begin{array}{cc}
\sqrt{g} / \sqrt{G} & F / \sqrt{G} \\
0 & \sqrt{G}
\end{array}\right) \cdot\binom{\boldsymbol{e}_1}{\boldsymbol{e}_2} \\
& =(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v) \cdot\binom{\boldsymbol{r}_u}{\boldsymbol{r}_v},
\end{aligned}
$$

因此

$$
\binom{r_u}{r_v}=\left(\begin{array}{cc}
\sqrt{g} / \sqrt{G} & F / \sqrt{G} \\
0 & \sqrt{G}
\end{array}\right) \cdot\binom{e_1}{e_2},
$$

或者

$$
\binom{e_1}{e_2}=\left(\begin{array}{cc}
\sqrt{G} / \sqrt{g} & -F / \sqrt{G g}  \tag{4.16}\\
0 & 1 / \sqrt{G}
\end{array}\right) \cdot\binom{r_u}{r_v} .
$$

下面我们来求曲面 $S$ 的一阶标架场相对分量的其他成员。假定我们有曲面 $S$ 的一阶标架场 $\left\{r ; e_1, e_2, e_3\right\}$ ，换言之，我们有一次微分式 $\omega^1, \omega^2, \omega^3=0$ ，使得

$$
\mathrm{I}=\left(\omega^1\right)^2+\left(\omega^2\right)^2
$$

因为 I 是正定的，容易证明：$\omega^1, \omega^2$ 是处处线性无关的．首先我们断言：一次微分式 $\omega_1^2=-\omega_2^1$ 是由 $\omega^1, \omega^2$ 根据结构方程唯一确定的。确切地说，我们有下面的定理：

定理 4.1 假定 $\omega^1, \omega^2$ 是依赖自变量 $u, v$ 的两个处处线性无关的一次微分式，则存在唯一的一个一次微分式 $\omega_1^2=-\omega_2^1$ 满足条件

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \omega^1=\omega^2 \wedge \omega_2^1, \quad \mathrm{~d} \omega^2=\omega^1 \wedge \omega_1^2 \tag{4.17}
\end{equation*}
$$

证明 因为曲面 $S$ 的一阶标架场是空间 $E^3$ 中依赖参数 $u, v$ 的单．位正交标架族，它的相对分量必定是自变量 $u, v$ 的一次微分式，但是 $\omega^1, \omega^2$ 是 $u, v$ 的处处线性无关的一次微分式，故可设

$$
\begin{equation*}
\omega_1^2=-\omega_2^1=p \omega^1+q \omega^2 . \tag{4.18}
\end{equation*}
$$

将上式代入（4．17）式得到

$$
\mathrm{d} \omega^1=p \omega^1 \wedge \omega^2, \quad \mathrm{~d} \omega^2=q \omega^1 \wedge \omega^2 .
$$

因为 $\mathrm{d} \omega^1, \mathrm{~d} \omega^2$ 是自变量 $u, v$ 的二次外微分式，所以它们必定是 $\mathrm{d} u \wedge \mathrm{~d} v$的倍数，其系数是 $u, v$ 的函数。同时因为 $\omega^1, \omega^2$ 是 $u, v$ 的处处线性无关的一次微分式，故二次外微分式 $\omega^1 \wedge \omega^2$ 是 $\mathrm{d} u \wedge \mathrm{~d} v$ 的非零函数倍，这样， $\mathrm{d} \omega^1, \mathrm{~d} \omega^2$ 必定是 $\omega^1 \wedge \omega^2$ 的倍数，其系数恰好是我们要确定的 $p, q$ ，即

$$
\begin{equation*}
p=\frac{\mathrm{d} \omega^1}{\omega^1 \wedge \omega^2}, \quad q=\frac{\mathrm{d} \omega^2}{\omega^1 \wedge \omega^2} \tag{4.19}
\end{equation*}
$$
由此可见，一次微分式 $\omega_1^2=-\omega_2^1$ 是由 $\omega^1, \omega^2$ 借助于结构方程（4．17）唯一地确定的．证毕．

关于曲面 $S$ 的一阶标架场的相对分量，还需要求出 $\omega_1^3=-\omega_3^1$ 利 $\omega_2^3=-\omega_3^2$ ，它们与曲面 $S$ 的第二基本形式有关。根据结构方程

$$
\begin{equation*}
0=\mathrm{d} \omega^3=\omega^1 \wedge \omega_1^3+\omega^2 \wedge \omega_2^3, \tag{4.20}
\end{equation*}
$$

以及 $\omega^1, \omega^2$ 的线性无关性，由 Cartan 引理（§7．1，定理1．3）得知

$$
\left(\omega_1^3, \omega_2^3\right)=\left(\omega^1, \omega^2\right) \cdot\left(\begin{array}{ll}
a & b  \tag{4.21}\\
b & c
\end{array}\right) .
$$

根据曲面 $S$ 的第二基本形式的定义，

$$
\begin{align*}
\mathbb{I} & =-\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{e}_3=-\left(\omega^1 \boldsymbol{e}_1+\omega^2 \boldsymbol{e}_2\right) \cdot\left(\omega_3^1 \boldsymbol{e}_1+\omega_3^2 \boldsymbol{e}_3\right) \\
& =-\left(\omega^1 \omega_3^1+\omega^2 \omega_3^2\right)=\omega^1 \omega_1^3+\omega^2 \omega_2^3 \\
& =a\left(\omega^1\right)^2+2 b \omega^1 \omega^2+c\left(\omega^2\right)^2 \tag{4.22}
\end{align*}
$$

如果已知曲面 $S$ 的第二基本形式是

$$
\begin{equation*}
\mathbb{I}=L(\mathrm{~d} u)^2+2 M \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+N(\mathrm{~d} v)^2, \tag{4.23}
\end{equation*}
$$

则将 $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ 关于 $\omega^1, \omega^2$ 的表达式代入（4．23）式，并且与（4．22）式比较，就能够得到（4．21）式中的待定系数 $a, b, c$ ．

将上面的讨论综合起来，我们有下面的结论：如果给定曲面 $S$ 的第一基本形式 I 和第二基本形式 II，将 I 作任意一个配平方，写成两个一次微分式 $\omega^1, \omega^2$ 的平方和，那么 $\omega^1, \omega^2, \omega^3=0$ 一定是曲面 $S$ 的某个一阶标架场的相对分量。根据定理4．1，相对分量 $\omega_1^2=-\omega_2^1$ 由 $\omega^1, \omega^2$借助于结构方程（4．17）唯一地确定，$\omega_1^3=-\omega_3^1$ 和 $\omega_2^3=-\omega_3^2$ 由曲面 $S$ 的第二基本形式II借助于结构方程（4．20）唯一地确定。至此，尚未涉及曲面 $S$ 的另一组结构方程 $\mathrm{d} \omega_i^j=\omega_i^k \wedge \omega_k^j$ ，它们恰好是曲面 $S$ 的 Gauss－Codazzi 方程．

例题 2 设 $(u, v)$ 是曲面 $S$ 上的正交参数系，它的第一基本形式和第二基本形式分别是

$$
\begin{gathered}
\mathrm{I}=E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2 \\
\mathrm{II}=L(\mathrm{~d} u)^2+2 M \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+N(\mathrm{~d} v)^2
\end{gathered}
$$

在曲面 $S$ 上取一个一阶标架场，并且求它的相对分量．
解 因为

$$
\mathrm{I}=(\sqrt{E} \mathrm{~d} u)^2+(\sqrt{G} \mathrm{~d} v)^2
$$

所以取

$$
\begin{equation*}
\omega^1=\sqrt{E} \mathrm{~d} u, \quad \omega^2=\sqrt{G} \mathrm{~d} v, \quad \omega^3=0, \tag{4.24}
\end{equation*}
$$

即

$$
e_1=\frac{1}{\sqrt{E}} r_u, \quad e_2=\frac{1}{\sqrt{G}} r_v .
$$

假定

$$
\omega_1^2=-\omega_2^1=p \mathrm{~d} u+q \mathrm{~d} v
$$

则

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{d} \omega^1=\mathrm{d}(\sqrt{E} \mathrm{~d} u)=-(\sqrt{E})_v \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v=\omega_1^2 \wedge \omega^2=p \sqrt{G} \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v, \\
& \mathrm{~d} \omega^2=\mathrm{d}(\sqrt{G} \mathrm{~d} v)=(\sqrt{G})_u \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v=\omega^1 \wedge \omega_1^2=q \sqrt{E} \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v,
\end{aligned}
$$

因此

$$
\begin{equation*}
p=-\frac{(\sqrt{E})_v}{\sqrt{G}}, \quad q=\frac{(\sqrt{G})_u}{\sqrt{E}}, \quad \omega_1^2=-\frac{(\sqrt{E})_v}{\sqrt{G}} \mathrm{~d} u+\frac{(\sqrt{G})_u}{\sqrt{E}} \mathrm{~d} v . \tag{4.25}
\end{equation*}
$$

假定

$$
\begin{aligned}
& \omega_1^3=-\omega_3^1=a \omega^1+b \omega^2=a \sqrt{E} \mathrm{~d} u+b \sqrt{G} \mathrm{~d} v \\
& \omega_2^3=-\omega_3^2=b \omega^1+c \omega^2=b \sqrt{E} \mathrm{~d} u+c \sqrt{G} \mathrm{~d} v
\end{aligned}
$$

则

$$
\mathbb{I}=\omega^1 \omega_1^3+\omega^2 \omega_2^3=a E(\mathrm{~d} u)^2+2 b \sqrt{E G} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+c G(\mathrm{~d} v)^2 .
$$

将上式与已知条件相比较得到

$$
L=a E, \quad M=b \sqrt{E G}, \quad N=c G,
$$

因此

$$
\begin{equation*}
a=\frac{L}{E}, \quad b=\frac{M}{\sqrt{E G}}, \quad c=\frac{N}{G}, \tag{4.26}
\end{equation*}
$$

故

$$
\begin{equation*}
\omega_1^3=\frac{1}{\sqrt{E}}(L \mathrm{~d} u+M \mathrm{~d} v), \quad \omega_2^3=\frac{1}{\sqrt{G}}(M \mathrm{~d} u+N \mathrm{~d} v) . \tag{$\prime$}
\end{equation*}
$$

例题 3 已知曲面 $S$ 的第一基本形式 I 和第二基本形式II 分别是

$$
\mathrm{I}=\left(1+u^2\right)(\mathrm{d} u)^2+u^2(\mathrm{~d} v)^2, \quad \mathbb{I}=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}(\mathrm{~d} u)^2+\frac{u^2}{\sqrt{1+u^2}}(\mathrm{~d} v)^2 .
$$

求曲面 $S$ 上的一个一阶标架场的相对分量，并且验证 Gauss－Codazzi方程成立．

解 因为曲面 $S$ 的第一基本形式 I 能够容易地配成平方和

$$
\mathrm{I}=\left(\sqrt{1+u^2} \mathrm{~d} u\right)^2+(u \mathrm{~d} v)^2
$$

所以

$$
\omega^1=\sqrt{1+u^2} \mathrm{~d} u, \quad \omega^2=u \mathrm{~d} v, \quad \omega^3=0 .
$$

求它们的外微分得到

$$
\mathrm{d} \omega^1=0, \quad \mathrm{~d} \omega^2=\mathrm{d} u \wedge \mathrm{~d} v
$$

并且

$$
\omega^1 \wedge \omega^2=u \sqrt{1+u^2} \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v .
$$
假定

$$
\begin{equation*}
\omega_1^2=-\omega_2^1=p \omega^1+q \omega^2 \tag{4.27}
\end{equation*}
$$

则由定理 4.1 得到

$$
p=\frac{\mathrm{d} \omega^1}{\omega^1 \wedge \omega^2}=0, \quad q=\frac{\mathrm{d} \omega^2}{\omega^1 \wedge \omega^2}=\frac{1}{u \sqrt{1+u^2}}
$$

因此

$$
\omega_1^2=-\omega_2^1=\frac{1}{u \sqrt{1+u^2}} \omega^2=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \mathrm{~d} v
$$

假定

$$
\begin{aligned}
& \omega_1^3=a \omega^1+b \omega^2=a \sqrt{1+u^2} \mathrm{~d} u+b u \mathrm{~d} v \\
& \omega_2^3=b \omega^1+c \omega^2=b \sqrt{1+u^2} \mathrm{~d} u+c u \mathrm{~d} v
\end{aligned}
$$

故

$$
\begin{aligned}
\mathbb{I} & =\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}(\mathrm{~d} u)^2+\frac{u^2}{\sqrt{1+u^2}}(\mathrm{~d} v)^2=\omega^1 \omega_1^3+\omega^2 \omega_2^3 \\
& =a\left(1+u^2\right)(\mathrm{d} u)^2+2 b u \sqrt{1+u^2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+c u^2(\mathrm{~d} v)^2
\end{aligned}
$$

比较上式系数得到

$$
a\left(1+u^2\right)=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}, \quad 2 b u=0, \quad c u^2=\frac{u^2}{\sqrt{1+u^2}},
$$

因此

$$
\begin{gathered}
a=\frac{1}{\left(\sqrt{1+u^2}\right)^3}, \quad b=0, \quad c=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \\
\omega_1^3=-\omega_3^1=a \sqrt{1+u^2} \mathrm{~d} u+b u \mathrm{~d} v=\frac{1}{1+u^2} \mathrm{~d} u \\
\omega_2^3=-\omega_3^2=b \sqrt{1+u^2} \mathrm{~d} u+c u \mathrm{~d} v=\frac{u}{\sqrt{1+u^2}} \mathrm{~d} v
\end{gathered}
$$

求外微分得到
$$
\mathrm{d} \omega_1^2=-\frac{u}{\left(\sqrt{1+u^2}\right)^3} \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v, \quad \mathrm{~d} \omega_1^3=0, \quad \mathrm{~d} \omega_2^3=\frac{1}{\left(\sqrt{1+u^2}\right)^3} \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v,
$$

此外，

$$
\begin{gathered}
\omega_1^3 \wedge \omega_3^2=-\left(\frac{1}{1+u^2} \mathrm{~d} u\right) \wedge\left(\frac{u}{\sqrt{1+u^2}} \mathrm{~d} v\right)=-\frac{u}{\left(\sqrt{1+u^2}\right)^3} \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v \\
\omega_1^2 \wedge \omega_2^3=\left(\frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \mathrm{~d} v\right) \wedge\left(\frac{u}{\sqrt{1+u^2}} \mathrm{~d} v\right)=0 \\
\omega_2^1 \wedge \omega_1^3=-\left(\frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \mathrm{~d} v\right) \wedge\left(\frac{1}{1+u^2} \mathrm{~d} u\right)=\frac{1}{\left(\sqrt{1+u^2}\right)^3} \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v
\end{gathered}
$$

因此 Gauss－Codazzi 方程，即结构方程

$$
\mathrm{d} \omega_1^2=\omega_1^3 \wedge \omega_3^2, \quad \mathrm{~d} \omega_1^3=\omega_1^2 \wedge \omega_2^3, \quad \mathrm{~d} \omega_2^3=\omega_2^1 \wedge \omega_1^3
$$

成立．
为计算方便起见，也可以把（4．27）式改设为

$$
\begin{equation*}
\omega_1^2=-\omega_2^1=p \mathrm{~d} u+q \mathrm{~d} v \tag{$\prime$}
\end{equation*}
$$

那么

$$
\begin{gathered}
\omega^2 \wedge \omega_2^1=\omega_1^2 \wedge \omega^2=p u \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v \\
\omega^1 \wedge \omega_1^2=q \sqrt{1+u^2} \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v
\end{gathered}
$$

所以将上面两式与 $\mathrm{d} \omega^1, \mathrm{~d} \omega^2$ 的表达式相比较得到

$$
p u=0, \quad q \sqrt{1+u^2}=1,
$$

因此

$$
p=0, \quad q=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}, \quad \omega_1^2=-\omega_2^1=p \mathrm{~d} u+q \mathrm{~d} v=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \mathrm{~d} v .
$$

定理4．1说明，对于曲面 $S$ 的一阶标架场来说，相对分量 $\omega_1^2=-\omega_2^1$是由 $\omega^1, \omega^2$ 借助于结构方程唯一确定的。这个事实可以用来证实曲面 $S$ 上切向量场的协变微分和沿曲线的平行移动是属于曲面 $S$ 的内蕴几何的概念．设 $\left\{r ; e_1, e_2, e_3\right\}$ 是曲面 $S$ 的一阶标架场，则
$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} e_1=\omega_1^2 e_2+\omega_1^3 e_3, \quad \mathrm{~d} e_2=\omega_2^1 e_1+\omega_2^3 e_3 \tag{4.28}
\end{equation*}
$$

根据曲面 $S$ 上切向量场协变微分的定义，我们有

$$
\begin{equation*}
\mathrm{D} e_1=\left(\mathrm{d} e_1\right)^{\top}=\omega_1^2 e_2, \quad \mathrm{D} e_2=\left(\mathrm{d} e_2\right)^{\top}=\omega_2^1 e_1 \tag{4.29}
\end{equation*}
$$

假定

$$
\boldsymbol{X}=x^1 \boldsymbol{e}_1+x^2 \boldsymbol{e}_2
$$

是曲面 $S$ 上的一个连续可微切向量场，则它的协变微分是

$$
\begin{align*}
\mathrm{D} \boldsymbol{X} & =\mathrm{d} x^1 \boldsymbol{e}_1+x^1 \mathrm{D} \boldsymbol{e}_1+\mathrm{d} x^2 \boldsymbol{e}_2+x^2 \mathrm{D} \boldsymbol{e}_2 \\
& =\left(\mathrm{d} x^1+x^2 \omega_2^1\right) \boldsymbol{e}_1+\left(\mathrm{d} x^2+x^1 \omega_1^2\right) \boldsymbol{e}_2 \tag{4.30}
\end{align*}
$$
命

$$
\begin{align*}
& \mathrm{D} x^1=\mathrm{d} x^1+x^2 \omega_2^1, \\
& \mathrm{D} x^2=\mathrm{d} x^2+x^1 \omega_1^2, \tag{4.31}
\end{align*}
$$

分别称为切向量场 $\boldsymbol{X}$ 的分量 $x^1, x^2$ 的协变微分．注意到在公式（4．29）， （4．30）和（4．31）中只用到相对分量 $\omega_1^2=-\omega_2^1$ ，而它们是由 $\omega^1, \omega^2$ 确定的，与曲面 $S$ 的第二基本形式无关，所以协变微分是曲面 $S$ 的内蕴几何的概念，在曲面 $S$ 作保长变换时它是保持不变的．在曲面的内蕴微分几何学中，一次微分形式

$$
\omega_1^2=-\omega_2^1
$$

通常称为 联络形式．

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