最后更新: 2026-06-08 06:46 查看: 8 次纠错评论(0) 课件开VIP

7.4 曲面上的正交标架场（3）

曲面的一阶标架场是与曲面有密切关系的标架场，曲面的一些几何量应该能够用一阶标架场的相对分量来表示．但是曲面的一阶标架场的选取又有相当大的随意性，因为让曲面 $S$ 的一阶标架场 $\left\{r ; e_1, e_2\right.$ ， $\left.e_3\right\}$ 在每一点绕法向量 $e_3$ 转过一个角度 $\theta$ 得到的仍然是曲面 $S$ 的一阶标架场．换言之，曲面 $S$ 的一阶标架场容许作如下的变换：

$$
\begin{align*}
& \tilde{e}_1=\cos \theta e_1+\sin \theta e_2, \\
& \tilde{e}_2=-\sin \theta e_1+\cos \theta e_2, \tag{4.32}
\end{align*}
$$

其中 $\theta$ 是曲面 $S$ 上的连续可微函数．正是因为曲面 $S$ 的一阶标架场的选取享有这种自由度，使得它与曲面 $S$ 的参数系的关系比较松驰，从而为处理曲面的问题带来很多便利，这就是所谓的活动标架的优越性．当然，曲面的几何量在用一阶标架场的相对分量表示时应该与一阶标架场的容许变换（4．32）无关。

我们先考虑曲面 $S$ 的一阶标架场的相对分量在一阶标架场经受容许变换（4．32）时的变换规律．用 $\tilde{\omega}^j, \tilde{\omega}_i^j$ 记一阶标架场 $\left\{r ; \tilde{e}_1, \tilde{e}_2, \tilde{e}_3\right\}$的相对分量．由（4．32）式得知

$$
\tilde{e}_3=\tilde{e}_1 \times \tilde{e}_2=e_1 \times e_2=e_3,
$$

因此

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \boldsymbol{r} & =\left(\omega^1, \omega^2\right) \cdot\binom{e_1}{e_2}=\left(\tilde{\omega}^1, \tilde{\omega}^2\right) \cdot\binom{\tilde{e}_1}{\tilde{e}_2} \\
& =\left(\tilde{\omega}^1, \tilde{\omega}^2\right) \cdot\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right) \cdot\binom{e_1}{e_2}
\end{aligned}
$$

所以 $\tilde{\omega}^3=\omega^3=0$ ，并且

$$
\begin{align*}
& \left(\omega^1, \omega^2\right)=\left(\tilde{\omega}^1, \tilde{\omega}^2\right) \cdot\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right), \\
& \left(\tilde{\omega}^1, \tilde{\omega}^2\right)=\left(\omega^1, \omega^2\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right) . \tag{4.33}
\end{align*}
$$

按照（4．29）式，我们有

$$
\mathrm{D} \tilde{e}_1=\tilde{\omega}_1^2 \tilde{e}_2,
$$

因此

$$
\begin{align*}
\tilde{\omega}_1^2= & \mathrm{D} \tilde{e}_1 \cdot \tilde{e}_2=\mathrm{D}\left(\cos \theta e_1+\sin \theta e_2\right) \cdot\left(-\sin \theta e_1+\cos \theta e_2\right) \\
= & \left(\left(-\sin \theta e_1+\cos \theta e_2\right) \mathrm{d} \theta+\cos \theta \mathrm{D} e_1+\sin \theta \mathrm{D} e_2\right) \\
& \cdot\left(-\sin \theta e_1+\cos \theta e_2\right) \\
= & \mathrm{d} \theta+\omega_1^2 . \tag{4.34}
\end{align*}
$$

同理，因为 $\tilde{e_3}=e_3$ ，故

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \tilde{e_3} & =\mathrm{d} e_3=\left(\omega_3^1, \omega_3^2\right) \cdot\binom{e_1}{e_2}=\left(\tilde{\omega}_3^1, \tilde{\omega}_3^2\right) \cdot\binom{\tilde{e}_1}{\tilde{e}_2} \\
& =\left(\tilde{\omega}_3^1, \tilde{\omega}_3^2\right) \cdot\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right) \cdot\binom{e_1}{e_2}
\end{aligned}
$$

因此

$$
\begin{align*}
& \left(\omega_3^1, \omega_3^2\right)=\left(\tilde{\omega}_3^1, \tilde{\omega}_3^2\right) \cdot\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)  \tag{4.35}\\
& \left(\tilde{\omega}_1^3, \tilde{\omega}_2^3\right)=\left(\omega_1^3, \omega_2^3\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)
\end{align*}
$$

假定

$$
\left(\tilde{\omega}_1^3, \tilde{\omega}_2^3\right)=\left(\tilde{\omega}^1, \tilde{\omega}^2\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}
\tilde{a} & \tilde{b}  \tag{4.36}\\
\tilde{b} & \tilde{c}
\end{array}\right),
$$

将（4．33）式代入（4．36）式，然后与（4．21）式一起代入（4．35）式得到

$$
\begin{aligned}
& \left(\omega^1, \omega^2\right) \cdot\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}
\tilde{a} & \tilde{b} \\
\tilde{b} & \tilde{c}
\end{array}\right) \\
& \quad=\left(\omega_1^3, \omega_2^3\right) \cdot\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right) \\
& \quad=\left(\omega^1, \omega^2\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}
a & b \\
b & c
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right) \cdot
\end{aligned}
$$

所以

$$
\left(\begin{array}{cc}
\tilde{a} & \tilde{b} \\
\tilde{b} & \tilde{c}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}
a & b \\
b & c
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right),
$$

即 $\left(\omega_1^3, \omega_2^3\right)$ 用（ $\omega^1, \omega^2$ ）表示时其系数矩阵（参看（4．21）式）在变换（4．32）下经受一个相似变换（或合同变换），其过渡矩阵就是变换（4．32）的矩阵。综合起来，我们有下面的定理：

定理 4.2 若曲面 $S$ 上的一阶标架场 $\left\{r ; e_1, e_2, e_3\right\}$ 经受如下的变换：

$$
\binom{\tilde{e}_1}{\tilde{e}_2}=\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta  \tag{$\prime$}\\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right) \cdot\binom{e_1}{e_2}, \quad \tilde{e_3}=e_3,
$$

则对应的相对分量按下列规律进行变换：

$$
\begin{align*}
& \left(\tilde{\omega}^1, \tilde{\omega}^2\right)=\left(\omega^1, \omega^2\right) \cdot\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right), \\
& \tilde{\omega}^3=\omega^3=0, \\
& \tilde{\omega}_1^2=\omega_1^2+\mathrm{d} \theta,  \tag{4.37}\\
& \left(\tilde{\omega}_1^3, \tilde{\omega}_2^3\right)=\left(\omega_1^3, \omega_2^3\right) \cdot\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right) .
\end{align*}
$$

例题 4 利用曲面 $S$ 上的一阶标架场的相对分量，构造定义在曲面 $S$ 上的二次微分式，使它们与曲面 $S$ 的一阶标架场的选取无关．

解 根据定理 4．2，二次微分形式 $\left(\omega^1\right)^2+\left(\omega^2\right)^2, \omega^1 \omega_1^3+\omega^2 \omega_2^3$ ， $\left(\omega_1^3\right)^2+\left(\omega_2^3\right)^2$ 显然与曲面 $S$ 的一阶标架场的选取无关，它们恰好是曲面 $S$ 的第一基本形式、第二基本形式和第三基本形式。

例题5 证明：二次外微分式 $\omega^1 \wedge \omega^2$ 与曲面 $S$ 的一阶标架场的选取无关．

解 实际上，
$$
\begin{aligned}
\tilde{\omega}^1 \wedge \tilde{\omega}^2 & =\left(\cos \theta \omega^1+\sin \theta \omega^2\right) \wedge\left(-\sin \theta \omega^1+\cos \theta \omega^2\right) \\
& =\omega^1 \wedge \omega^2
\end{aligned}
$$

若取例题 1 所给出的一阶标架场，则

$$
\omega^1=\frac{\sqrt{g}}{\sqrt{G}} \mathrm{~d} u, \quad \omega^2=\frac{F}{\sqrt{G}} \mathrm{~d} u+\sqrt{G} \mathrm{~d} v
$$

因此

$$
\omega^1 \wedge \omega^2=\frac{\sqrt{g}}{\sqrt{G}} \mathrm{~d} u \wedge\left(\frac{F}{\sqrt{G}} \mathrm{~d} u+\sqrt{G} \mathrm{~d} v\right)=\sqrt{g} \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v .
$$

这正好是 $\S 7.2$ 中例2的（2．12）式定义的面积元素 $\mathrm{d} \sigma$ ．
例题 6 证明： $\mathrm{d} \omega_1^2, \omega_1^3 \wedge \omega_2^3, \omega^1 \wedge \omega_2^3-\omega^2 \wedge \omega_1^3$ 是曲面 $S$ 上与一阶标架场的选取无关的二次外微分式．

解 根据定理 4．2，当曲面 $S$ 的一阶标架场作变换（4．32＇）时，

$$
\tilde{\omega}_1^2=\omega_1^2+\mathrm{d} \theta,
$$

其中 $\theta$ 是定义在曲面 $S$ 上的连续可微函数， $\mathrm{d} \theta$ 是它的微分．因此再次取它的外微分得到 $d(d \theta)=0$ ，于是

$$
\mathrm{d} \tilde{\omega}_1^2=\mathrm{d} \omega_1^2+\mathrm{d}(\mathrm{~d} \theta)=\mathrm{d} \omega_1^2 .
$$

另外，根据（4．37）式，

$$
\begin{array}{ll}
\tilde{\omega}^1=\cos \theta \omega^1+\sin \theta \omega^2, & \tilde{\omega}^2=-\sin \theta \omega^1+\cos \theta \omega^2, \\
\tilde{\omega}_1^3=\cos \theta \omega_1^3+\sin \theta \omega_2^3, & \tilde{\omega}_2^3=-\sin \theta \omega_1^3+\cos \theta \omega_2^3,
\end{array}
$$

因此

$$
\begin{aligned}
& \tilde{\omega}_1^3 \wedge \tilde{\omega}_2^3=\left(\cos \theta \omega_1^3+\sin \theta \omega_2^3\right) \wedge\left(-\sin \theta \omega_1^3+\cos \theta \omega_2^3\right) \\
&=\omega_1^3 \wedge \omega_2^3 \\
& \tilde{\omega}^1 \wedge \tilde{\omega}_2^3-\tilde{\omega}^2 \wedge \tilde{\omega}_1^3
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
= & \left(\cos \theta \omega^1+\sin \theta \omega^2\right) \wedge\left(-\sin \theta \omega_1^3+\cos \theta \omega_2^3\right) \\
& \quad-\left(-\sin \theta \omega^1+\cos \theta \omega^2\right) \wedge\left(\cos \theta \omega_1^3+\sin \theta \omega_2^3\right) \\
= & \omega^1 \wedge \omega_2^3-\omega^2 \wedge \omega_1^3
\end{aligned}
$$

经直接计算得到

$$
\begin{gathered}
\omega_1^3 \wedge \omega_2^3=\left(a \omega^1+b \omega^2\right) \wedge\left(b \omega^1+c \omega^2\right)=\left(a c-b^2\right) \omega^1 \wedge \omega^2 \\
\omega^1 \wedge \omega_2^3-\omega^2 \wedge \omega_1^3=\omega^1 \wedge\left(b \omega^1+c \omega^2\right)-\omega^2 \wedge\left(a \omega^1+b \omega^2\right) \\
=(a+c) \omega^1 \wedge \omega^2
\end{gathered}
$$

在这里，$\omega^1 \wedge \omega^2$ 是曲面 $S$ 的面积元素，与曲面 $S$ 上一阶标架场的选取是无关的，因此 $a c-b^2, a+c$ 都是与曲面 $S$ 上一阶标架场的选取无关的不变量。实际上，$a c-b^2, a+c$ 分别是 $\left(\omega_1^3, \omega_2^3\right)$ 用 $\left(\omega^1, \omega^2\right)$ 表示

时其系数矩阵（参看（4．21）式）的行列式和迹．在例题 2 中所取的一阶标架场下，$a, b, c$ 有表达式（4．26），因此

$$
\begin{equation*}
a c-b^2=\frac{L N-M^2}{E G}=K, \quad a+c=\frac{L}{E}+\frac{N}{G}=2 H, \tag{4.38}
\end{equation*}
$$

即 $K=a c-b^2$ 是曲面 $S$ 的 Gauss 曲率，$H=\frac{1}{2}(a+c)$ 是曲面 $S$ 的平均曲率．

现在，结构方程中的 Gauss 方程成为

$$
\mathrm{d} \omega_1^2=\omega_1^3 \wedge \omega_3^2=-K \omega^1 \wedge \omega^2,
$$

于是

$$
\begin{equation*}
K=-\frac{\mathrm{d} \omega_1^2}{\omega^1 \wedge \omega^2} \tag{4.39}
\end{equation*}
$$

根据定理4．1，$\omega_1^2, \omega^1, \omega^2$ 都只依赖曲面 $S$ 的第一基本形式，上式再一次证明了 Gauss 的绝妙定理（第五章的定理 5．1）．
例题 7 设曲面 $S$ 的第一基本形式为 $\mathrm{I}=E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2$ ，证明：曲面 $S$ 的 Gauss 曲率是

$$
\begin{equation*}
K=-\frac{1}{\sqrt{E G}}\left(\left(\frac{(\sqrt{E})_v}{\sqrt{G}}\right)_v+\left(\frac{(\sqrt{G})_u}{\sqrt{E}}\right)_u\right) . \tag{4.40}
\end{equation*}
$$

证明 将曲面 $S$ 的第一基本形式写成

$$
\mathrm{I}=(\sqrt{E} \mathrm{~d} u)^2+(\sqrt{G} \mathrm{~d} v)^2,
$$

于是得到曲面 $S$ 上的一阶标架场的相对分量

$$
\omega^1=\sqrt{E} \mathrm{~d} u, \quad \omega^2=\sqrt{G} \mathrm{~d} v .
$$

根据定理 4.1 和例题 2 的计算得到（参看（4．25）式）

$$
\omega_1^2=-\frac{(\sqrt{E})_v}{\sqrt{G}} \mathrm{~d} u+\frac{(\sqrt{G})_u}{\sqrt{E}} \mathrm{~d} v
$$
经直接计算得到

$$
\begin{gathered}
\mathrm{d} \omega_1^2=\left(\left(\frac{(\sqrt{E})_v}{\sqrt{G}}\right)_v+\left(\frac{(\sqrt{G})_u}{\sqrt{E}}\right)_u\right) \mathrm{d} u \wedge \mathrm{~d} v \\
\omega^1 \wedge \omega^2=\sqrt{E G} \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v
\end{gathered}
$$

因此由（4．39）式得到（4．40）．证毕．
例题 8 试证 $\omega^1 \omega_2^3-\omega^2 \omega_1^3$ 是曲面 $S$ 上与一阶标架场的选取无关的二次微分形式．

证明 由定理4．2得到

$$
\begin{aligned}
\left(\tilde{\omega}^1, \tilde{\omega}^2\right) & =\left(\omega^1, \omega^2\right) \cdot\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right), \\
\binom{\tilde{\omega}_2^3}{-\tilde{\omega}_1^3} & =\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)\binom{\omega_2^3}{-\omega_1^3},
\end{aligned}
$$

因此

$$
\left(\tilde{\omega}^1, \tilde{\omega}^2\right)\binom{\tilde{\omega}_2^3}{-\tilde{\omega}_1^3}=\left(\omega^1, \omega^2\right)\binom{\omega_2^3}{-\omega_1^3} .
$$

将 $\omega_1^3, \omega_2^3$ 的表达式代入上式得到
$$
\begin{aligned}
&\omega^1 \omega_2^3-\omega^2 \omega_1^3=b\left(\omega^1\right)^2+(c-a) \omega^1 \omega^2-b\left(\omega^2\right)^2 .\\
&\text { 在 §7．5 我们会给出这个二次微分形式的几何意义．证毕．}\\
\end{aligned}
$$

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇： 7.4 曲面上的正交标架场（2）

下一篇： 7.5 曲面上的曲线（1）

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)