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7.5 曲面上的曲线（1）

§7．5 曲面上的曲线
在 §6．1 我们曾经指出，落在曲面 $S$ 上的曲线 $C$ 受到曲面的制约，它的弯曲性质必然在某种程度上反映了曲面的弯曲情况．现在，我们要把上一节所建立的曲面的一阶标架场理论用于曲面上曲线的研究．

假定在曲面 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(u^1, u^2\right)$ 上取定一个一阶标架场 $\left\{\boldsymbol{r} ; \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2\right.$ ， $\left.\alpha_3\right\}$ ，其中 $\alpha_3=n$ ．设它的相对分量是 $\omega^1, \omega^2, \omega^3=0$ 以及 $\omega_i^j=-\omega_j^i$ ，它们都是参数 $u^1, u^2$ 的一次微分式．

设 $C$ 是曲面 $S$ 上的一条连续可微曲线，其参数方程为 $u^\alpha= u^\alpha(s), \alpha=1,2, s$ 为弧长参数．因此，曲线 $C$ 的单位切向量是

$$
\begin{equation*}
e_1=\frac{r(s)}{s}=\frac{\omega^1}{\mathrm{~d} s} \alpha_1+\frac{\omega^2}{\mathrm{~d} s} \alpha_2, \tag{5.1}
\end{equation*}
$$

这里的 $\omega^1, \omega^2$ 是曲面 $S$ 的相对分量 $\omega^1, \omega^2$ 在曲线 $C$ 上的限制．设 $\theta$是 $e_1$ 与 $\alpha_1$ 所构成的方向角，即

$$
\begin{equation*}
e_1=\cos \theta \alpha_1+\sin \theta \alpha_2, \tag{5.2}
\end{equation*}
$$

故沿曲线 $C$ 有

$$
\begin{equation*}
\frac{\omega^1}{\mathrm{~d} s}=\cos \theta, \quad \frac{\omega^2}{\mathrm{~d} s}=\sin \theta \tag{5.3}
\end{equation*}
$$

命

$$
\begin{align*}
e_2 & =n \times e_1=\alpha_3 \times\left(\cos \theta \alpha_1+\sin \theta \alpha_2\right) \\
& =-\sin \theta \alpha_1+\cos \theta \alpha_2=-\frac{\omega^2}{\mathrm{~d} s} \alpha_1+\frac{\omega^1}{\mathrm{~d} s} \alpha_2  \tag{5.4}\\
e_3 & =\alpha_3=n
\end{align*}
$$

于是 $\left\{r ; e_1, e_2, e_3\right\}$ 是沿曲面 $S$ 上的曲线 $C$ 如 §6．1所定义的单位正交标架场，它是曲面 $S$ 的一阶标架场 $\left\{\boldsymbol{r} ; \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right\}$ 在曲线 $C$ 上的限制、并在每一点转过一个角度 $\theta$ 得到的．根据定义，曲线 $C$ 的曲率向量是

$$
\begin{align*}
\frac{\mathrm{d} e_1}{\mathrm{~d} s} & =\left(-\sin \theta \boldsymbol{\alpha}_1+\cos \theta \boldsymbol{\alpha}_2\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}+\cos \theta \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s}+\sin \theta \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}_2}{\mathrm{~d} s} \\
& =\left(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}+\frac{\omega_1^2}{\mathrm{~d} s}\right) e_2+\frac{\omega^1 \omega_1^3+\omega^2 \omega_2^3}{\mathrm{~d} s^2} e_3 \tag{5.5}
\end{align*}
$$

所以

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{D} e_1}{\mathrm{~d} s}=\left(\frac{\mathrm{d} e_1}{\mathrm{~d} s}\right)^{\top}=\left(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}+\frac{\omega_1^2}{\mathrm{~d} s}\right) e_2 \tag{5.6}
\end{equation*}
$$

故曲面 $S$ 上的曲线 $C$ 的测地曲率是

$$
\begin{equation*}
\kappa_g=\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}+\frac{\omega_1^2}{\mathrm{~d} s}, \tag{5.7}
\end{equation*}
$$

法曲率是 $\kappa_n=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{e}_1}{\mathrm{~d} s} \cdot n$ ，即

$$
\begin{equation*}
\kappa_n=\frac{\omega^1 \omega_1^3+\omega^2 \omega_2^3}{\mathrm{~d} s^2}=a \cos ^2 \theta+2 b \sin \theta \cos \theta+c \sin ^2 \theta, \tag{5.8}
\end{equation*}
$$

其中 $a, b, c$ 是相对分量 $\omega_1^3, \omega_2^3$ 用 $\omega^1, \omega^2$ 线性表示时的系数（参看（4．21）式）为要求得沿曲线 $C$ 的单位正交标架场 $\left\{r ; e_1, e_2, e_3\right\}$ 的运动公式，还需要作如下计算：

$$
\begin{align*}
\frac{\mathrm{d} e_2}{\mathrm{~d} s} & =-\left(\cos \theta \boldsymbol{\alpha}_1+\sin \theta \boldsymbol{\alpha}_2\right) \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}-\sin \theta \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}_1}{\mathrm{~d} s}+\cos \theta \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}_2}{\mathrm{~d} s} \\
& =-\left(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}+\frac{\omega_1^2}{\mathrm{~d} s}\right) e_1+\frac{\omega^1 \omega_2^3-\omega^2 \omega_1^3}{\mathrm{~d} s^2} e_3 \tag{5.9}
\end{align*}
$$

所以曲面 $S$ 上的曲线 $C$ 的测地挠率是

$$
\begin{equation*}
\tau_g=\frac{\omega^1 \omega_2^3-\omega^2 \omega_1^3}{\mathrm{~d} s^2}=b \cos ^2 \theta+(c-a) \cos \theta \sin \theta-b \sin ^2 \theta . \tag{5.10}
\end{equation*}
$$
注意到 $\omega^1 \omega_2^3-\omega^2 \omega_1^3$ 是 $\S 7.4$ 的例题 8 给出的二次微分式，它在曲线 $C$上的限制与 $\mathrm{d} s^2$ 之比恰好是曲面 $S$ 上的曲线 $C$ 的测地挠率。

公式（5．8）给出了曲面 $S$ 的法曲率 $\kappa_n$ 作为切方向的方向角 $\theta$ 的函数，使我们能够容易地考虑 $\kappa_n$ 的极值性质。由（5．8）式得到

$$
\begin{aligned}
\kappa_n & =a \cdot \frac{1+\cos 2 \theta}{2}+b \sin 2 \theta+c \cdot \frac{1-\cos 2 \theta}{2} \\
& =\frac{a+c}{2}+\frac{a-c}{2} \cos 2 \theta+b \sin 2 \theta
\end{aligned}
$$

如果 $(a-c) / 2, b$ 同时为零，则 $\kappa_n=(a+c) / 2$ 与方向角 $\theta$ 无关，即曲面 $S$ 在该点沿各个切方向的法曲率都相同，因此该点是曲面 $S$ 的脐点．假定 $(a-c) / 2, b$ 不同时为零，则可取 $\theta_0$ ，使得

$$
\begin{equation*}
\cos 2 \theta_0=\frac{a-c}{\sqrt{(a-c)^2+4 b^2}}, \quad \sin 2 \theta_0=\frac{2 b}{\sqrt{(a-c)^2+4 b^2}} \tag{5.11}
\end{equation*}
$$

于是曲面 $S$ 的法曲率 $\kappa_n$ 可以写成

$$
\begin{equation*}
\kappa_n=\frac{a+c}{2}+\sqrt{\left(\frac{a-c}{2}\right)^2+b^2} \cdot \cos 2\left(\theta-\theta_0\right) . \tag{5.12}
\end{equation*}
$$

由此可见，曲面 $S$ 在一点的法曲率 $\kappa_n$ 在 $\theta=\theta_0, \theta_0+\pi$ 时达到最大值

$$
\begin{equation*}
\kappa_1=\frac{a+c}{2}+\sqrt{\left(\frac{a-c}{2}\right)^2+b^2}, \tag{5.13}
\end{equation*}
$$

在 $\theta=\theta_0+\frac{\pi}{2}, \theta_0+\frac{3 \pi}{2}$ 时达到最小值

$$
\begin{equation*}
\kappa_2=\frac{a+c}{2}-\sqrt{\left(\frac{a-c}{2}\right)^2+b^2} . \tag{5.14}
\end{equation*}
$$

换句话说，$\kappa_1, \kappa_2$ 是曲面 $S$ 在一点的主曲率，$\quad \theta_0+\frac{k \pi}{2}$（ $k$ 是整数）是曲面 $S$ 在该点的主方向，而且对应于不同主曲率的主方向必定是彼此正交的．另外，从（5．13）和（5．14）两式得到

$$
\begin{equation*}
2 H=\kappa_1+\kappa_2=a+c, \quad K=\kappa_1 \cdot \kappa_2=a c-b^2 . \tag{5.15}
\end{equation*}
$$

这再次证明了（4．38）式．
法曲率 $\kappa_n$ 的公式（5．12）还能够进一步写成
$$
\begin{align*}
\kappa_n= & \frac{a+c}{2}+\sqrt{\left(\frac{a-c}{2}\right)^2+b^2} \cdot\left(\cos ^2\left(\theta-\theta_0\right)-\sin ^2\left(\theta-\theta_0\right)\right) \\
= & \left(\frac{a+c}{2}+\sqrt{\left(\frac{a-c}{2}\right)^2+b^2}\right) \cos ^2\left(\theta-\theta_0\right) \\
& \quad+\left(\frac{a+c}{2}-\sqrt{\left(\frac{a-c}{2}\right)^2+b^2}\right) \sin ^2\left(\theta-\theta_0\right) \\
= & \kappa_1 \cos ^2\left(\theta-\theta_0\right)+\kappa_2 \sin ^2\left(\theta-\theta_0\right) \tag{5.16}
\end{align*}
$$

这正是 Euler 公式的一般情形．如果取曲面 $S$ 的一阶标架场 $\left\{\boldsymbol{r} ; \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2\right.$ ， $\left.\alpha_3\right\}$ 使得 $\alpha_1, \alpha_2$ 是曲面 $S$ 的主方向，则这样的标架场称为曲面 $S$ 的二阶标架场．对于曲面 $S$ 的二阶标架场 $\left\{\boldsymbol{r} ; \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right\}$ ，显然有 $\theta_0=0$ ，因此公式（5．16）成为

$$
\begin{equation*}
\kappa_n=\kappa_1 \cos ^2 \theta+\kappa_2 \sin ^2 \theta, \tag{5.17}
\end{equation*}
$$

这就是关于曲面 $S$ 的法曲率的标准的 Euler 公式．
另外，当 $\frac{a-c}{2}, b$ 不同时为零时，（5．10）式能够改写成

$$
\begin{align*}
\tau_g & =b\left(\cos ^2 \theta-\sin ^2 \theta\right)+(c-a) \sin \theta \cos \theta \\
& =b \cos 2 \theta+\frac{c-a}{2} \sin 2 \theta \\
& =\sqrt{\left(\frac{a-c}{2}\right)^2+b^2} \cdot\left(\sin 2 \theta_0 \cos 2 \theta-\cos 2 \theta_0 \sin 2 \theta\right) \\
& =\frac{1}{2}\left(\kappa_2-\kappa_1\right) \sin 2\left(\theta-\theta_0\right) . \tag{5.18}
\end{align*}
$$

所以，曲面 $S$ 在任意一点沿主方向 $\theta=\theta_0$ 时总是有测地挠率 $\tau_g=0$ ，反之亦然．由此可见，

$$
\begin{equation*}
\omega^1 \omega_2^3-\omega^2 \omega_1^3=0 \tag{5.19}
\end{equation*}
$$
是曲面 $S$ 上曲率线的微分方程．比较（5．18）和（5．12）式，不难知道

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d} \kappa_n(\theta)}{\mathrm{d} \theta}=2 \tau_g(\theta) . \tag{5.20}
\end{equation*}
$$

曲面 $S$ 上的二阶标架场是与曲面 $S$ 有更加密切关系的标架场．假定 $\left\{\boldsymbol{r} ; \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right\}$ 是曲面 $S$ 的二阶标架场，则 $\theta_0=0$ ，故 $b=0$（参看（5．11）式），因此

$$
\begin{equation*}
\omega_1^3=a \omega^1, \quad \omega_2^3=c \omega^2 . \tag{5.21}
\end{equation*}
$$

在 $a \geq c$ 的假设下，我们有 $\kappa_1=a, \kappa_2=c$ ，并且曲面 $S$ 的第二基本形式成为

$$
\begin{equation*}
\mathbb{I}=\omega^1 \omega_1^3+\omega^2 \omega_2^3=\kappa_1\left(\omega^1\right)^2+\kappa_2\left(\omega^2\right)^2 . \tag{5.22}
\end{equation*}
$$

由此可见，在曲面 $S$ 的二阶标架场下，它的第一基本形式和第二基本形式有最简单的表达式．

例题 1 在曲面 $S$ 的正交参数系下，求曲线 $C$ 的测地曲率 $\kappa_g$ 的 Liouville 公式。

解 假定 $(u, v)$ 是曲面 $S$ 上的正交参数系，曲面 $S$ 的第一基本形式是

$$
\mathrm{I}=E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2,
$$

曲线 $C$ 的参数方程是 $u=u(s), v=v(s)$ ，其中 $s$ 是曲线 $C$ 的弧长参数．设曲线 $C$ 与曲面 $S$ 的 $u$－曲线的夹角是 $\theta$ ．那么在曲面 $S$ 上有一阶标架场，使得它的相对分量是

$$
\omega^1=\sqrt{E} \mathrm{~d} u, \quad \omega^2=\sqrt{G} \mathrm{~d} v .
$$

根据（4．25）式，

$$
\omega_1^2=-\frac{(\sqrt{E})_v}{\sqrt{G}} \mathrm{~d} u+\frac{(\sqrt{G})_u}{\sqrt{E}} \mathrm{~d} v,
$$

并且

$$
\cos \theta=\frac{\omega^1}{\mathrm{~d} s}=\sqrt{E} \frac{\mathrm{~d} u(s)}{\mathrm{d} s}, \quad \sin \theta=\frac{\omega^2}{\mathrm{~d} s}=\sqrt{G} \frac{\mathrm{~d} v(s)}{\mathrm{d} s} .
$$

根据（5．7）式，曲线 $C$ 的测地曲率 $\kappa_g$ 是

$$
\begin{align*}
\kappa_g & =\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}+\frac{\omega_1^2}{\mathrm{~d} s} \\
& =\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}-\frac{(\sqrt{E})_v}{\sqrt{G}} \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} s}+\frac{(\sqrt{G})_u}{\sqrt{E}} \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} s} \\
& =\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}-\frac{(\sqrt{E})_v}{\sqrt{E G}} \cos \theta+\frac{(\sqrt{G})_u}{\sqrt{E G}} \sin \theta \\
& =\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}-\frac{1}{2 \sqrt{G}} \frac{\partial \log E}{\partial v} \cos \theta+\frac{1}{2 \sqrt{E}} \frac{\partial \log G}{\partial u} \sin \theta \tag{5.23}
\end{align*}
$$

这就是曲线 $C$ 的测地曲率 $\kappa_g$ 的 Liouville 公式．

曲线 $C$ 的测地曲率 $\kappa_g$ 的 Liouville 公式在理论上是重要的，但是将它实际地用于计算曲线 $C$ 的测地曲率却是十分困难的，因为夹角函数 $\theta(s)$ 并不是容易求得的．但是公式（5．7）却为我们提供了计算测地曲率的一条途径：设 $C$ 是曲面 $S$ 上的一条曲线，设法在曲面 $S$ 上取一个适当的一阶标架场 $\left\{\boldsymbol{r} ; \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right\}$ ，使得它限制在曲线 $C$ 上时， $\alpha_1$ 恰好是曲线 $C$ 的单位切向量．这样的标架场在曲线 $C$ 的邻域内是容易取到的。设这个一阶标架场的相对分量是 $\omega^1, \omega^2$ ，然后按照定理 4.1 求联络形式 $\omega_1^2$ ．根据该一阶标架场的取法，方向角函数 $\theta=0$ ，所以由（4．7）式得到

$$
\kappa_g=\frac{\omega_1^2}{\mathrm{~d} s} .
$$

需要指出的是，在上面介绍的方法中，并不要求在曲面 $S$ 上已经取了正交参数系，这正是活动标架场与曲面的参数系的关系比较松驰的妙处。

例题 2 设曲面 $S$ 的第一基本形式为

$$
\mathrm{I}=(\mathrm{d} u)^2+\left(u^2+a^2\right)(\mathrm{d} v)^2 .
$$

求曲线 $C: u+v=0$ 的测地曲率．

解 本例可以用 Liouville 公式来进行计算，关键是计算夹角函数 $\theta$ ．在这里我们采用前面所介绍的方法．

首先在曲面 $S$ 上引进新参数系 $(\xi, \eta)$ ，使得曲线 $C$ 对应于该参数系下的参数曲线 $\eta=0$ ．为此，只要设

$$
\xi=\frac{1}{2}(u-v), \quad \eta=\frac{1}{2}(u+v),
$$

故

$$
u=\xi+\eta, \quad v=-\xi+\eta .
$$

曲面 $S$ 的第一基本形式成为

$$
\mathrm{I}=(\mathrm{d} \xi+\mathrm{d} \eta)^2+\left((\xi+\eta)^2+a^2\right)(-\mathrm{d} \xi+\mathrm{d} \eta)^2
$$

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
= & \left(1+a^2+(\xi+\eta)^2\right) \mathrm{d} \xi^2+2\left(1-a^2-(\xi+\eta)^2\right) \mathrm{d} \xi \mathrm{~d} \eta \\
& +\left(1+a^2+(\xi+\eta)^2\right) \mathrm{d} \eta^2 \\
= & \left(1+a^2+(\xi+\eta)^2\right) \cdot\left(\mathrm{d} \xi+\frac{1-a^2-(\xi+\eta)^2}{1+a^2+(\xi+\eta)^2} \mathrm{~d} \eta\right)^2 \\
& +\left(-\frac{\left(1-a^2-(\xi+\eta)^2\right)^2}{1+a^2+(\xi+\eta)^2}+1+a^2+(\xi+\eta)^2\right) \mathrm{d} \eta^2 \\
= & \left(\sqrt{1+a^2+(\xi+\eta)^2} \mathrm{~d} \xi+\frac{1-a^2-(\xi+\eta)^2}{\sqrt{1+a^2+(\xi+\eta)^2}} \mathrm{~d} \eta\right)^2 \\
& +\left(\frac{2 \sqrt{a^2+(\xi+\eta)^2}}{\sqrt{1+a^2+(\xi+\eta)^2}} \mathrm{~d} \eta\right)^2
\end{aligned}\\
&\text { 命 }\\
&\begin{gathered}
\omega^1=\sqrt{1+a^2+(\xi+\eta)^2} \mathrm{~d} \xi+\frac{1-a^2-(\xi+\eta)^2}{\sqrt{1+a^2+(\xi+\eta)^2}} \mathrm{~d} \eta \\
\omega^2=\frac{2 \sqrt{a^2+(\xi+\eta)^2}}{\sqrt{1+a^2+(\xi+\eta)^2}} \mathrm{~d} \eta
\end{gathered}
\end{aligned}
$$

由此可见，$\xi$－曲线的方程是 $\eta=$ 常数，它们满足微分方程 $\omega^2=0$ ．因此，对应的一阶标架场 $\left\{\boldsymbol{r} ; \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right\}$ 中的向量 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 是 $\xi$－曲线的切向量．特别是，当该标架场限制在曲线 $C$ 上时，$\alpha_1$ 是曲线 $C: \eta=0$的切向量．所以，要求的曲线 $C$ 的测地曲率是

$$
\kappa_g=\left.\frac{\omega_1^2}{\mathrm{~d} s}\right|_{\eta=0}
$$

如果假设 $\omega_1^2=p \mathrm{~d} \xi+q \mathrm{~d} \eta$ ，则

$$
\kappa_g=\left.p \cdot \frac{\mathrm{~d} \xi}{\mathrm{~d} s}\right|_{\eta=0}
$$

因此我们只要求出 $\left.p\right|_{\eta=0}$ 和 $\left.\frac{\mathrm{d} \xi}{\mathrm{d} s}\right|_{\eta=0}$ 即可．

对 $\omega^1$ 求外微分得到

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \omega^1= & \frac{\xi+\eta}{\sqrt{1+a^2+(\xi+\eta)^2}} \mathrm{~d}(\xi+\eta) \wedge \mathrm{d} \eta+\left(\frac{-2(\xi+\eta)}{\sqrt{1+a^2+(\xi+\eta)^2}}\right. \\
& \left.-\frac{\left(1-a^2-(\xi+\eta)^2\right)(\xi+\eta)}{\left(\sqrt{1+a^2+(\xi+\eta)^2}\right)^3}\right) \mathrm{d}(\xi+\eta) \wedge \mathrm{d} \eta \\
= & \left(\frac{-3(\xi+\eta)}{\sqrt{1+a^2+(\xi+\eta)^2}}-\frac{\left(1-a^2-(\xi+\eta)^2\right)(\xi+\eta)}{\left(\sqrt{1+a^2+(\xi+\eta)^2}\right)^3}\right) \mathrm{d} \xi \wedge \mathrm{~d} \eta
\end{aligned}
$$

另外，

$$
\omega^2 \wedge \omega_2^1=\omega_1^2 \wedge \omega^2=p \cdot \frac{2 \sqrt{a^2+(\xi+\eta)^2}}{\sqrt{1+a^2+(\xi+\eta)^2}} \mathrm{~d} \xi \wedge \mathrm{~d} \eta
$$

故由结构方程 $\mathrm{d} \omega^1=\omega^2 \wedge \omega_2^1$ 得到

$$
\begin{aligned}
\left.p\right|_{\eta=0} & =\frac{\sqrt{1+a^2+\xi^2}}{2 \sqrt{a^2+\xi^2}} \cdot\left(\frac{-3 \xi}{\sqrt{1+a^2+\xi^2}}-\frac{\left(1-a^2-\xi^2\right) \xi}{\left(\sqrt{1+a^2+\xi^2}\right)^3}\right) \\
& =\frac{-\xi\left(2+a^2+\xi^2\right)}{\sqrt{a^2+\xi^2}\left(1+a^2+\xi^2\right)}
\end{aligned}
$$

曲线 $C: \eta=0$ 的弧长元素是

$$
\mathrm{d} s^2=\left(\omega^1\right)^2+\left(\omega^2\right)^2=\left(1+a^2+\xi^2\right) \mathrm{d} \xi^2
$$

因此

$$
\left.\frac{\mathrm{d} \xi}{\mathrm{~d} s}\right|_{\eta=0}=\frac{1}{\sqrt{1+a^2+\xi^2}}
$$

由此得到曲线 $C: \eta=0$ 的测地曲率是

$$
\begin{aligned}
\kappa_g & =\frac{-\xi\left(2+a^2+\xi^2\right)}{\sqrt{a^2+\xi^2} \sqrt{\left(1+a^2+\xi^2\right)^3}} \\
& =-\frac{2(u-v)\left(8+4 a^2+(u-v)^2\right)}{\sqrt{4 a^2+(u-v)^2} \sqrt{\left(4+4 a^2+(u-v)^2\right)^3}}
\end{aligned}
$$

$$
=-\frac{u\left(2+a^2+u^2\right)}{\sqrt{a^2+u^2} \sqrt{\left(1+a^2+u^2\right)^3}},
$$

在最后的等号中用到了 $2 \eta=u+v=0$ ，即 $-v=u$ 的事实．

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