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7.5 曲面上的曲线（2）

例题 3 用活动标架和外微分法证明 Gauss－Bonnet 公式（第六章定理 6．1）。

证明 假定 $C$ 是有向曲面 $S$ 上一条连续可微的简单闭曲线，它在曲面 $S$ 上围成一个单连通区域 $D$ ，并且具有从区域 $D$ 诱导的定向． $K$ 是曲面 $S$ 的 Gauss 曲率，$\kappa_g$ 是曲线 $C$ 的测地曲率，$s$ 是曲线 $C$的弧长参数， $0 \leq s \leq L$ ．

设 $e_1, e_2$ 是区域 $D$ 上的两个单位正交的切向量场，构成区域 $D$上的一阶标架场（对于有边的单连通区域，这样的标架场总是存在的），设 $\omega^1, \omega^2$ 是该标架场的相对分量，$\omega_1^2=-\omega_2^1$ 是根据定理 4.1 确定的联络形式，$\theta$ 是曲线 $C$ 的单位切向量 $\alpha$ 与标架向量 $e_1$ 的夹角，则由 （5．7）式得到

$$
\kappa_g=\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} s}+\frac{\omega_1^2}{\mathrm{~d} s},
$$

故

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \theta=\kappa_g \mathrm{~d} s-\omega_1^2 . \tag{5.24}
\end{equation*}
$$

因为一阶标架场 $\left\{e_1, e_2\right\}$ 和曲线 $C$ 的连续可微性，方向角函数 $\theta$ 在每一点的邻域内是可微的．又因为曲线 $C$ 的紧致性，可以取出方向角函数的一个连续分支 $\theta(s)$ ，因而 $\theta=\theta(s), 0 \leq s \leq L$ 是一个连续可微函数．对（5．24）式两边取积分得到

$$
\begin{align*}
\oint_C \mathrm{~d} \theta & =\theta(L)-\theta(0)=\oint_C \kappa_g \mathrm{~d} s-\oint_C \omega_1^2 \\
& =\oint_C \kappa_g \mathrm{~d} s-\iint_D \mathrm{~d} \omega_1^2=\oint_C \kappa_g \mathrm{~d} s+\iint_D K \omega^1 \wedge \omega^2 \tag{5.25}
\end{align*}
$$

其中第三个等号用了 Stokes 公式（2．31），最后一个等号用了公式（4．39）．注意到 $\theta(L)-\theta(0)$ 必定是 $2 \pi$ 的整数倍，我们要证明该整数是 1 ．
为此，在区域 $D$ 的内部取一点 $p$ ，以 $p$ 为中心作半径为 $\varepsilon$ 的测地圆周 $C_{\varepsilon}$ ，它围成的区域记为 $D_{\varepsilon} \subset D$ 。假定 $C_{\varepsilon}$ 具有从区域 $D_{\varepsilon}$ 诱导的定向，那么 $\partial\left(D \backslash D_{\varepsilon}\right)=C-C_{\varepsilon}$（其中 $-C_{\varepsilon}$ 是指该圆周与圆周 $C_{\varepsilon}$ 有相反的定向）．于是将（5．24）式两边在 $\partial\left(D \backslash D_{\varepsilon}\right)=C-C_{\varepsilon}$ 上积分得到

$$
\begin{align*}
\int_{C-C_{\varepsilon}} \mathrm{d} \theta & =\int_{C-C_{\varepsilon}} \kappa_g \mathrm{~d} s-\int_{C-C_{\varepsilon}} \omega_1^2 \\
& =\int_{C-C_{\varepsilon}} \kappa_g \mathrm{~d} s-\iint_{D \backslash D_{\varepsilon}} \mathrm{d} \omega_1^2 \\
& =\int_{C-C_{\varepsilon}} \kappa_g \mathrm{~d} s+\iint_{D \backslash D_{\varepsilon}} K \omega^1 \wedge \omega^2 \tag{5.26}
\end{align*}
$$

但是，终端的积分明显地与区域 $D \backslash D_{\varepsilon}$ 内的一阶标架场的取法无关．若在区域 $D \backslash D_{\varepsilon}$ 内取一阶标架场 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2\right\}$ ，使得标架向量 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 限制在曲线 $C$ 和 $C_{\varepsilon}$ 上时分别是它们的切向量．这样的标架场是可以取得到的．实际上，曲线 $C$ 能够连续地形变为曲线 $C_{\varepsilon}$ ，因此可以设想有一个单参数曲线族覆盖了区域 $D \backslash D_{\varepsilon}$ ，它是从曲线 $C$ 到 $C_{\varepsilon}$ 的变分。把其中的变分曲线的切向量记为 $\alpha_1$ ，再将它按正定向旋转 $90^{\circ}$ 得到 $\alpha_2$ ，这样便得到我们所要的定义在区域 $D \backslash D_{\varepsilon}$ 上的一阶标架场 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2\right\}$ ．此时 $\theta \equiv 0$ ，而公式（5．26）仍旧成立，因此
$$
\begin{equation*}
\int_{C-C_{\varepsilon}} \kappa_g \mathrm{~d} s+\iint_{D \backslash D_{\varepsilon}} K \omega^1 \wedge \omega^2=0 \tag{5.27}
\end{equation*}
$$

将（5．27）式代入（5．26）式得到

$$
\begin{equation*}
\oint_C \mathrm{~d} \theta=\oint_{C_{\varepsilon}} \mathrm{d} \theta, \tag{5.28}
\end{equation*}
$$

其中 $\left\{e_1, e_2\right\}$ 是定义在区域 $D$ 上的任意一个一阶标架场．对于测地圆周 $C_{\varepsilon}$ 来说，在绕行一周时其切向量方向角的总变差和它的法向量方向角的总变差是一样的，所以从直观上不难知道，（5．28）式的右端的积分是 $2 \pi$ ．证毕．

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