最后更新: 2026-06-08 06:58 查看: 9 次纠错评论(0) 课件开VIP

7.6 应用举例

§7．6 应用举例
在本节，我们要举若干例题说明活动标架和外微分法在曲面之间的对应问题中的应用．通过这些例题，读者可以了解如何用活动标架和外微分法来解决微分几何问题，并且能够体会到该方法的威力．

例题 1 求曲面 $S$ 的平行曲面的主曲率、平均曲率和 Gauss 曲率。

解 设 $S$ 是一个正则参数曲面，它的平均曲率是 $H$ ，Gauss 曲率是 $K$ ，主曲率是 $\kappa_1, \kappa_2$ ．沿曲面 $S$ 在每一点的法线截取长度为 $a$（常数）

的线段，其终端描出一个新的曲面，记为 $S_a$ ，称它为与曲面 $S$ 平行的曲面．我们要计算曲面 $S_a$ 的平均曲率、Gauss 曲率和主曲率．

在曲面 $S$ 上取二阶标架场 $\left\{r ; e_1, e_2, e_3\right\}$ ，设相对分量是 $\omega^1, \omega^2$ ， $\omega^3=0, \omega_1^3=\kappa_1 \omega^1, \omega_2^3=\kappa_2 \omega^2$ ，于是曲面 $S$ 的第一基本形式是

$$
\begin{equation*}
I=\left(\omega^1\right)^2+\left(\omega^2\right)^2 \tag{6.1}
\end{equation*}
$$

第二基本形式是

$$
\begin{equation*}
\mathbb{I}=\kappa_1\left(\omega^1\right)^2+\kappa_2\left(\omega^2\right)^2 . \tag{6.2}
\end{equation*}
$$

根据平行曲面 $S_a$ 的定义，它的向径是

$$
\begin{equation*}
\tilde{r}=r+a e_3 . \tag{6.3}
\end{equation*}
$$

对它求微分得到

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \tilde{\boldsymbol{r}}=\mathrm{d} \boldsymbol{r}+a \mathrm{~d} \boldsymbol{e}_3=\left(\omega^1+a \omega_3^1\right) \boldsymbol{e}_1+\left(\omega^2+a \omega_3^2\right) \boldsymbol{e}_2 . \tag{6.4}
\end{equation*}
$$

因此沿曲面 $S_a$ 可以取一阶标架场 $\left\{\tilde{r} ; \tilde{e}_1, \tilde{e}_2, \tilde{e}_3\right\}$ ，其中
$$
\tilde{\boldsymbol{e}}_1=\boldsymbol{e}_1, \quad \tilde{\boldsymbol{e}}_2=\boldsymbol{e}_2, \quad \tilde{\boldsymbol{e}}_3=\boldsymbol{e}_3
$$

并且从（6．4）式得到

$$
\begin{align*}
& \tilde{\omega}^1=\omega^1+a \omega_3^1=\left(1-a \kappa_1\right) \omega^1 \\
& \tilde{\omega}^2=\omega^2+a \omega_3^2=\left(1-a \kappa_2\right) \omega^2  \tag{6.5}\\
& \tilde{\omega}^3=0
\end{align*}
$$

由此可见，如果要平行曲面 $S_a$ 是正则的，则必须假定 $a \neq \frac{1}{\kappa_1}, \frac{1}{\kappa_2}$ ．在此假定下，曲面 $S_a$ 的第一基本形式是

$$
\begin{align*}
\tilde{\mathrm{I}} & =\left(\tilde{\omega}^1\right)^2+\left(\tilde{\omega}^2\right)^2 \\
& =\left(1-a \kappa_1\right)^2\left(\omega^1\right)^2+\left(1-a \kappa_2\right)^2\left(\omega^2\right)^2 \tag{6.6}
\end{align*}
$$

面积元素是

$$
\begin{align*}
\mathrm{d} \tilde{\sigma} & =\tilde{\omega}^1 \wedge \tilde{\omega}^2=\left(1-a \kappa_1\right)\left(1-a \kappa_2\right) \omega^1 \wedge \omega^2 \\
& =\left(1-2 a H+a^2 K\right) \omega^1 \wedge \omega^2 . \tag{6.7}
\end{align*}
$$

对 $\tilde{e}_3=e_3$ 求微分得到

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \tilde{\boldsymbol{e}}_3 & =\tilde{\omega}_3^1 \tilde{\boldsymbol{e}}_1+\tilde{\omega}_3^2 \tilde{\boldsymbol{e}}_2=\tilde{\omega}_3^1 \boldsymbol{e}_1+\tilde{\omega}_3^2 \boldsymbol{e}_2 \\
& =\mathrm{d} \boldsymbol{e}_3=\omega_3^1 \boldsymbol{e}_1+\omega_3^2 \boldsymbol{e}_2
\end{aligned}
$$

因此

$$
\begin{align*}
& \tilde{\omega}_3^1=\omega_3^1=\kappa_1 \omega^1=\frac{\kappa_1}{1-a \kappa_1} \tilde{\omega}^1  \tag{6.8}\\
& \tilde{\omega}_3^2=\omega_3^2=\kappa_2 \omega^2=\frac{\kappa_2}{1-a \kappa_2} \tilde{\omega}^2
\end{align*}
$$

所以 $\left\{\tilde{r} ; \tilde{e}_1, \tilde{e}_2, \tilde{e}_3\right\}$ 是曲面 $S_a$ 的二阶标架场，并且该曲面的主曲率是

$$
\begin{equation*}
\tilde{\kappa}_1=\frac{\kappa_1}{1-a \kappa_1}, \quad \tilde{\kappa}_2=\frac{\kappa_2}{1-a \kappa_2}, \tag{6.9}
\end{equation*}
$$

平均曲率是
$$
\begin{align*}
\tilde{H} & =\frac{1}{2}\left(\tilde{\kappa}_1+\tilde{\kappa}_2\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{\kappa_1\left(1-a \kappa_2\right)+\kappa_2\left(1-a \kappa_1\right)}{\left(1-a \kappa_1\right)\left(1-a \kappa_2\right)} \\
& =\frac{H-a K}{1-2 a H+a^2 K} \tag{6.10}
\end{align*}
$$

Gauss 曲率是

$$
\begin{equation*}
\tilde{K}=\tilde{\kappa}_1 \tilde{\kappa}_2=\frac{\kappa_1 \kappa_2}{\left(1-a \kappa_1\right)\left(1-a \kappa_2\right)}=\frac{K}{1-2 a H+a^2 K} . \tag{6.11}
\end{equation*}
$$

例题 2 试证 Bäcklund 定理：设 $S, \tilde{S}$ 是欧氏空间 $E^3$ 中的两张正则曲面。如果存在一一对应 $\sigma: S \rightarrow \tilde{S}$ ，使得连接曲面 $S$ 上的每一点 $p$ 和它的对应点 $\tilde{p}=\sigma(p)$ 的直线构成一个伪球线汇，则 $S, \tilde{S}$ 必定是具有相同负常曲率的曲面．

所谓的 伪球线汇 是指：如果在曲面 $S$ 和 $\tilde{S}$ 之间存在一个一一对应 $\sigma: S \rightarrow \tilde{S}$ ，使得对于曲面 $S$ 上的每一点 $p$ ，连接点 $p$ 和它的对应点 $\tilde{p}=\sigma(p)$ 的直线段是曲面 $S$ 和 $\tilde{S}$ 的长度为常数的公切线，并且曲面 $S$ 和 $\tilde{S}$ 在点 $p$ 和对应点 $\tilde{p}=\sigma(p)$ 的法线的夹角也是常数。

伪球线汇是依赖两个参数的直线族，曲面 $S$ 和 $\tilde{S}$ 恰好是该直线族的包络面．

证明 设伪球线汇中公切线的长度是 $l$ ，曲面 $S$ 和 $\tilde{S}$ 在对应点的法线的夹角是 $\tau$ ．在曲面 $S$ 上取一阶标架场 $\left\{r ; e_1, e_2, e_3\right\}$ ，使得 $r$ 是曲面 $S$ 的向径，$e_1$ 是连接点 $p$ 和它的对应点 $\tilde{p}=\sigma(p)$ 的公切线的方向向量，那么曲面 $\tilde{S}$ 的向径是

$$
\begin{equation*}
\tilde{r}=r+l e_1, \tag{6.12}
\end{equation*}
$$

单位法向量是

$$
\begin{equation*}
\tilde{\boldsymbol{e}}_3=\sin \tau \boldsymbol{e}_2+\cos \tau \boldsymbol{e}_3 . \tag{6.13}
\end{equation*}
$$

对（6．12）式求微分得到

$$
\begin{align*}
\mathrm{d} \tilde{\boldsymbol{r}} & =\mathrm{d} \boldsymbol{r}+l \mathrm{~d} \boldsymbol{e}_1=\omega^1 \boldsymbol{e}_1+\omega^2 \boldsymbol{e}_2+l\left(\omega_1^2 \boldsymbol{e}_2+\omega_1^3 \boldsymbol{e}_3\right) \\
& =\omega^1 \boldsymbol{e}_1+\left(\omega^2+l \omega_1^2\right) \boldsymbol{e}_2+l \omega_1^3 \boldsymbol{e}_3 \tag{6.14}
\end{align*}
$$

因为 $\mathrm{d} \tilde{\boldsymbol{r}} \cdot \tilde{\boldsymbol{e}}_3=0$ ，从（6．14），（6．13）式得到

$$
\sin \tau\left(\omega^2+l \omega_1^2\right)+l \cos \tau \omega_1^3=0,
$$

因此

$$
\begin{equation*}
\omega_1^2=-\frac{1}{l} \omega^2-\cot \tau \omega_1^3 . \tag{6.15}
\end{equation*}
$$

求（6．15）式的外微分，并且用一阶标架场的结构方程得到

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \omega_1^2 & =-K \omega^1 \wedge \omega^2=-\frac{1}{l} \omega^1 \wedge \omega_1^2-\cot \tau \omega_1^2 \wedge \omega_2^3 \\
& =\left(-\frac{1}{l} \omega^1+\cot \tau \omega_2^3\right) \wedge \omega_1^2
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& =-\left(-\frac{1}{l} \omega^1+\cot \tau \omega_2^3\right) \wedge\left(\frac{1}{l} \omega^2+\cot \tau \omega_1^3\right) \\
& =\frac{1}{l^2} \omega^1 \wedge \omega^2+\cot ^2 \tau \omega_1^3 \wedge \omega_2^3+\frac{\cot \tau}{l}\left(\omega^1 \wedge \omega_1^3+\omega^2 \wedge \omega_2^3\right) \\
& =\left(\frac{1}{l^2}+\cot ^2 \tau \cdot K\right) \omega^1 \wedge \omega^2
\end{aligned}
$$

比较上式两端 $\omega^1 \wedge \omega^2$ 前面的系数得到

$$
-K=\frac{1}{l^2}+\cot ^2 \tau \cdot K, \quad K \cdot \frac{1}{\sin ^2 \tau}=-\frac{1}{l^2}
$$

因此

$$
\begin{equation*}
K=-\frac{\sin ^2 \tau}{l^2} \tag{6.16}
\end{equation*}
$$

因为曲面 $S$ 和 $\tilde{S}$ 的地位是对称的，因此曲面 $\tilde{S}$ 的 Gauss 曲率同样是 $\tilde{K}=-\frac{\sin ^2 \tau}{l^2}$ ．证毕．

把 Bäcklund 定理作进一步的推广，可以考虑其 Gauss 曲率和平均曲率满足线性关系 $K-2 m H+m^2+l^2=0$ 的曲面以及所谓的 Darboux线汇．有兴趣的读者可以参考论文：Weihuan Chen \＆Haizhong Li， A Remark on Bäcklund Transformation of Weingarten Surfaces，North－ eastern Mathematical Journal，15（1999），289－294．

例题 3 试证：在负常 Gauss 曲率 $K=-k^2$ 的曲面的每一点的邻域内总是存在参数系 $(u, v)$ ，使得该曲面的两个基本形式可以表示成

$$
\begin{align*}
& \mathrm{I}=\frac{1}{k^2}\left(\cos ^2 \frac{\varphi}{2}(\mathrm{~d} u)^2+\sin ^2 \frac{\varphi}{2}(\mathrm{~d} v)^2\right)  \tag{6.17}\\
& \mathrm{II}=\frac{1}{k} \cos \frac{\varphi}{2} \sin \frac{\varphi}{2}\left((\mathrm{~d} u)^2-(\mathrm{d} v)^2\right)
\end{align*}
$$

其中 $\varphi$ 是曲面 $S$ 在每一点的两个不同的渐近方向之间的夹角，并 H ．它满足方程

$$
\begin{equation*}
\varphi_{u u}-\varphi_{v v}=\sin \varphi \tag{6.18}
\end{equation*}
$$

微分方程（6．18）就是在可积系统理论中著名的 Sine－Gordon 方程．

反过来，如果 $\varphi$ 是 Sine－Gordon 方程（6．18）的任意一个解，并且 $k$ 是任意一个给定的正常数，则在欧氏空间 $E^3$ 中必定可以构造一个负常 Gauss 曲率 $K=-k^2$ 的曲面，使得 $\varphi$ 是该曲面在每一点的渐近方向的夹角。

证明 设 $S$ 是欧氏空间 $E^3$ 中 Gauss 曲率 $K$ 是负常数的曲面．很明显，在曲面 $S$ 上处处没有脐点．在曲面 $S$ 上取正交的曲率线网作为参数曲线网，因此它的两个基本形式能够写成

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=A^2(\mathrm{~d} u)^2+B^2(\mathrm{~d} v)^2, \quad \mathbb{I}=\kappa_1 A^2(\mathrm{~d} u)^2+\kappa_2 B^2(\mathrm{~d} v)^2 \tag{6.19}
\end{equation*}
$$

其中 $\kappa_1, \kappa_2$ 是曲面 $S$ 的主曲率．在曲面 $S$ 上取二阶标架场 $\left\{r ; e_1, e_2\right.$ ， $\left.e_3\right\}$ ，它的相对分量是

$$
\begin{equation*}
\omega^1=A \mathrm{~d} u, \quad \omega^2=B \mathrm{~d} v, \quad \omega_1^3=\kappa_1 A \mathrm{~d} u, \quad \omega_2^3=\kappa_2 B \mathrm{~d} v . \tag{6.20}
\end{equation*}
$$

设联络形式是

$$
\omega_1^2=-\omega_2^1=p \mathrm{~d} \dot{u}+q \mathrm{~d} v
$$

将上式代入结构方程（定理 4．1）得到

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{d} \omega^1=-A_v \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v=\omega^2 \wedge \omega_2^1=p B \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v, \\
& \mathrm{~d} \omega^2=B_u \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v=\omega^1 \wedge \omega_1^2=q A \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v,
\end{aligned}
$$

因此

$$
\begin{equation*}
p=-\frac{A_v}{B}, \quad q=\frac{B_u}{A}, \quad \omega_1^2=-\frac{A_v}{B} \mathrm{~d} u+\frac{B_u}{A} \mathrm{~d} v . \tag{6.21}
\end{equation*}
$$

对前面的 $\omega_1^3, \omega_2^3$ 的表达式求外微分，并且用结构方程得到

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{d} \omega_1^3=-\left(\kappa_1 A\right)_v \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v=\omega_1^2 \wedge \omega_2^3=-\kappa_2 A_v \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v, \\
& \mathrm{~d} \omega_2^3=\left(\kappa_2 B\right)_u \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v=\omega_2^1 \wedge \omega_1^3=\kappa_1 B_u \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v,
\end{aligned}
$$

因此 Codazzi 方程是

$$
\begin{equation*}
\left(\kappa_1-\kappa_2\right) A_v+\left(\kappa_1\right)_v A=0, \quad\left(\kappa_1-\kappa_2\right) B_u+\left(\kappa_2\right)_u B=0 . \tag{6.22}
\end{equation*}
$$
设 $K=\kappa_1 \kappa_2=-k^2, k=$ 常数 $>0$ ，则可以假定

$$
\begin{equation*}
\kappa_1=k \tan \frac{\varphi}{2}, \quad \kappa_2=-k \cot \frac{\varphi}{2}, \tag{6.23}
\end{equation*}
$$

那么

$$
\begin{equation*}
\kappa_1-\kappa_2=k\left(\tan \frac{\varphi}{2}+\cot \frac{\varphi}{2}\right)=\frac{k}{\sin \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\varphi}{2}} . \tag{6.24}
\end{equation*}
$$

将上式代入 Codazzi 方程得到

$$
(\log A)_v=\left(\cos \frac{\varphi}{2}\right)_v, \quad(\log B)_u=\left(\sin \frac{\varphi}{2}\right)_u,
$$

因此

$$
\begin{equation*}
A=\cos \frac{\varphi}{2} \cdot a(u), \quad B=\sin \frac{\varphi}{2} \cdot b(v) . \tag{6.25}
\end{equation*}
$$

作参数变换

$$
\begin{equation*}
\tilde{u}=k \int a(u) \mathrm{d} u, \quad \tilde{v}=k \int b(v) \mathrm{d} v \tag{6.26}
\end{equation*}
$$

并且把新自变量 $\tilde{u}, \tilde{v}$ 仍旧记成 $u, v$ ，则曲面 $S$ 的两个基本形式成为 （6．17）式，其中 $\varphi$ 是 $u, v$ 的函数．容易证明，函数 $\varphi$ 恰好是曲面 $S$ 在每一点的两个不同的渐近方向的夹角．由（6．21）式得到联络形式是

$$
\begin{equation*}
\omega_1^2=-\omega_2^1=\frac{1}{2}\left(\varphi_v \mathrm{~d} u+\varphi_u \mathrm{~d} v\right), \tag{6.27}
\end{equation*}
$$

同时

$$
\begin{equation*}
\omega_1^3=\sin \frac{\varphi}{2} \mathrm{~d} u, \quad \omega_2^3=-\cos \frac{\varphi}{2} \mathrm{~d} v . \tag{6.28}
\end{equation*}
$$

容易验证，在曲面 $S$ 的上述参数系下，Codazzi 方程是自动成立的，而 Gauss 方程成为

$$
\mathrm{d} \omega_1^2=\frac{1}{2}\left(\varphi_{u u}-\varphi_{v v}\right) \mathrm{d} u \wedge \mathrm{~d} v=\omega_1^3 \wedge \omega_3^2=\sin \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\varphi}{2} \mathrm{~d} u \wedge \mathrm{~d} v,
$$

即

$$
\varphi_{u u}-\varphi_{v v}=\sin \varphi .
$$

逆命题的证明留给读者作为练习．证毕．

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