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Frobenius 定理

1．4．Frobenius 定理
通常，一阶偏微分方程组以一次微分式的方程组的形式出现，例如方程组（1．23）．一般地，假定 $D$ 是欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中的一个区域， $\omega^\alpha(1 \leq \alpha \leq r)$ 是定义在区域 $D$ 上的 $r$ 个处处线性无关的一次微分式，则方程组

$$
\begin{equation*}
\omega^\alpha \equiv \sum_{i=1}^n a_i^\alpha\left(x^1, \cdots, x^n\right) \mathrm{d} x^i=0, \quad 1 \leq \alpha \leq r \tag{1.40}
\end{equation*}
$$

称为 Pfaff 方程组．其实，Pfaff 方程组也能改写成一阶偏微分方程组．既然 $\omega^\alpha$ 是处处线性无关的，不妨设系数矩阵 $\left(a_i^\alpha\right)$ 的前 $r$ 列的行列式不为零，即方阵 $\left(a_\beta^\alpha\right)$ 是可逆的，设它的逆矩阵是 $\left(b_\beta^\alpha\right)$ 。因此，方程组（1．40）等价于

$$
\theta^\alpha=\sum_{\beta=1}^r b_\beta^\alpha \omega^\beta=0, \quad 1 \leq \alpha \leq r,
$$

即

$$
\begin{equation*}
\theta^\alpha=\mathrm{d} x^\alpha+\sum_{\eta=r+1}^n c_\eta^\alpha \mathrm{d} x^\eta=0, \quad 1 \leq \alpha \leq r, \tag{1.41}
\end{equation*}
$$

其中

$$
c_\eta^\alpha=\sum_{\beta=1}^r b_\beta^\alpha a_\eta^\beta
$$

由此可见，Pfaff 方程组（1．40）等价于一阶偏微分方程组

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial x^\alpha}{\partial x^\eta}=-c_\eta^\alpha\left(x^1, \cdots, x^n\right), \quad 1 \leq \alpha \leq r, r+1 \leq \eta \leq n . \tag{1.42}
\end{equation*}
$$

定理 1．4（Frobenius 定理）如果对于 Pfaff 方程组（1．40）存在一次微分式 $\varphi_\beta^\alpha$ ，使得

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \omega^\alpha=\sum_{\beta=1}^r \varphi_\beta^\alpha \wedge \omega^\beta, \quad 1 \leq \alpha \leq r, \tag{1.43}
\end{equation*}
$$

则经过任意一点 $\left(x_0^1, \cdots, x_0^n\right) \in D$ ，必有一张 $n-r$ 维曲面，使得 $r$ 个一次微分式 $\omega^\alpha$ 在该曲面上的限制恒等于零．条件（1．43）称为 Pfaff 方程组（1．40）所满足的 Frobenius 条件．

证明 首先证明 Frobenius 条件（1．43）在一次微分式组 $\omega^\alpha$ 经过一个非退化线性变换时是保持不变的．设有一组连续可微函数 $b_\beta^\alpha$ 使得 $\operatorname{det}\left(b_\beta^\alpha\right) \neq 0$ 。命

$$
\theta^\alpha=\sum_{\beta=1}^r b_\beta^\alpha \omega^\beta, \quad 1 \leq \alpha \leq r,
$$

求它的外微分，并且用（1．43）式代入得到

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \theta^\alpha & =\sum_{\beta=1}^r\left(\mathrm{~d} b_\beta^\alpha \wedge \omega^\beta+b_\beta^\alpha \mathrm{d} \omega^\beta\right) \\
& =\sum_{\beta=1}^r\left(\mathrm{~d} b_\beta^\alpha+\sum_{\gamma=1}^r b_\gamma^\alpha \varphi_\beta^\gamma\right) \wedge \omega^\beta \\
& =\sum_{\beta, \delta=1}^r c_\delta^\beta\left(\mathrm{d} b_\beta^\alpha+\sum_{\gamma=1}^r b_\gamma^\alpha \varphi_\beta^\gamma\right) \wedge \theta^\delta,
\end{aligned}
$$

其中 $\left(c_\beta^\alpha\right)$ 是 $\left(b_\beta^\alpha\right)$ 的逆矩阵，故 $\theta^\alpha$ 仍旧满足 Frobenius 条件．
由此可见，当 Pfaff 方程组（1．40）转换成等价的（1．41）时，Frobe－ nius 条件仍然成立．对（1．41）式求外微分得到

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \theta^\alpha= & \sum_{\eta=r+1}^n \mathrm{~d} c_\eta^\alpha \wedge \mathrm{d} x^\eta \\
= & \sum_{\eta=r+1}^n\left(\sum_{\beta=1}^r \frac{\partial c_\eta^\alpha}{\partial x^\beta} \mathrm{d} x^\beta \wedge \mathrm{d} x^\eta+\sum_{\xi=r+1}^n \frac{\partial c_\eta^\alpha}{\partial x^{\xi}} \mathrm{d} x^{\xi} \wedge \mathrm{d} x^\eta\right) \\
= & \sum_{\eta=r+1}^n \sum_{\beta=1}^r \frac{\partial c_\eta^\alpha}{\partial x^\beta} \theta^\beta \wedge \mathrm{d} x^\eta \\
& \quad+\sum_{\eta, \xi=r+1}^n\left(-\sum_{\beta=1}^r \frac{\partial c_\eta^\alpha}{\partial x^\beta} c_{\xi}^\beta+\frac{\partial c_\eta^\alpha}{\partial x^{\xi}}\right) \mathrm{d} x^{\xi} \wedge \mathrm{d} x^\eta
\end{aligned}
$$

因为一次微分式组 $\theta^1, \cdots, \theta^r, \mathrm{~d} x^{r+1}, \cdots, \mathrm{~d} x^n$ 是线性无关的，所以一次微分式组 $\theta^\alpha, 1 \leq \alpha \leq r$ 满足 Frobenius 条件的充分必要条件是

$$
\begin{aligned}
& \sum_{\eta, \xi=r+1}^n\left(-\sum_{\beta=1}^r \frac{\partial c_\eta^\alpha}{\partial x^\beta} c_{\xi}^\beta+\frac{\partial c_\eta^\alpha}{\partial x^{\xi}}\right) \mathrm{d} x^{\xi} \wedge \mathrm{d} x^\eta \\
& \quad=\sum_{\xi<\eta}\left(\sum_{\beta=1}^r \frac{\partial c_{\xi}^\alpha}{\partial x^\beta} c_\eta^\beta-\sum_{\beta=1}^r \frac{\partial c_\eta^\alpha}{\partial x^\beta} c_{\xi}^\beta+\frac{\partial c_\eta^\alpha}{\partial x^{\xi}}-\frac{\partial c_{\xi}^\alpha}{\partial x^\eta}\right) \mathrm{d} x^{\xi} \wedge \mathrm{d} x^\eta \\
& \quad=0
\end{aligned}
$$

即

$$
\frac{\partial c_\eta^\alpha}{\partial x^{\xi}}-\frac{\partial c_{\xi}^\alpha}{\partial x^\eta}+\sum_{\beta=1}^r \frac{\partial c_{\xi}^\alpha}{\partial x^\beta} c_\eta^\beta-\sum_{\beta=1}^r \frac{\partial c_\eta^\alpha}{\partial x^\beta} c_{\xi}^\beta=0
$$

这正好是定理1．3中的可积条件（1．26）．因此，对于任意给定的 $\left(x_0^1, \cdots\right.$ ， $\left.x_0^n\right) \in D$ ，必有方程（1．42）的解

$$
\begin{equation*}
x^\alpha=f^\alpha\left(x^{r+1}, \cdots, x^n\right), \quad 1 \leq \alpha \leq r \tag{1.44}
\end{equation*}
$$

即

$$
\frac{\partial f^\alpha\left(x^{r+1}, \cdots, x^n\right)}{\partial x^\eta}=-c_\eta^\alpha\left(f^1, \cdots, f^r, x^{r+1}, \cdots, x^n\right),
$$

并且满足初始条件

$$
f^\alpha\left(x_0^{r+1}, \cdots, x_0^n\right)=x_0^\alpha
$$

在 $n-r$ 维曲面（1．44）上

$$
\theta^\alpha=\mathrm{d} f^\alpha\left(x^{r+1}, \cdots, x^n\right)+\sum_{\eta=r+1}^n c_\eta^\alpha \mathrm{d} x^\eta=0
$$

故 $\omega^\alpha=0,1 \leq \alpha \leq r$ ．证毕．
作为定理1．4的应用，我们来证明第七章的定理 3．3，即下面的：
定理 1.5 任意给定 12 个依赖自变量 $\left(u^1, \cdots, u^r\right) \in \tilde{D} \subset \mathbb{R}^r$ 的一次微分式 $\omega^j, \omega_i^j, 1 \leq i, j \leq 3$ ，如果它们满足结构方程

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \omega^j=\sum_{k=1}^3 \omega^k \wedge \omega_k^j, \quad \mathrm{~d} \omega_i^j=\sum_{k=1}^3 \omega_i^k \wedge \omega_k^j \tag{1.45}
\end{equation*}
$$

则在欧氏空间 $E^3$ 中有依赖 $r$ 个参数 $u^1, \cdots, u^r$ 的右手标架族 $\left\{P\left(u^\alpha\right)\right.$ ； $\left.e_1\left(u^\alpha\right), e_2\left(u^\alpha\right), e_3\left(u^\alpha\right)\right\}$ 以 $\omega^j, \omega_i^j$ 为它的相对分量．

证明 用 $\left(a_i, a_{i j}\right)$ 表示欧氏空间 $E^3$ 上的右手标架空间的坐标系，其中 $\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)>0$ ．标架空间的相对分量 $\Omega^j, \Omega_i^j$ 是 $a_i, a_{i j}$ 的一次微分式，如第七章的公式（3．9）所示．现在考虑 $\mathbb{R}^{12+r}$ 的一个区域 $D=\tilde{D} \times \mathbb{R}^{12}$ 上的 Pfaff 方程组

$$
\begin{equation*}
\theta^j=\Omega^j-\omega^j=0, \quad \theta_i^j=\Omega_i^j-\omega_i^j=0 . \tag{1.46}
\end{equation*}
$$

由于 $\Omega^j, \Omega_i^j$ 和 $\omega^j, \omega_i^j$ 分别满足结构方程（1．45），所以

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \theta^j & =\mathrm{d} \Omega^j-\mathrm{d} \omega^j=\sum_{k=1}^3 \Omega^k \wedge \Omega_k^j-\sum_{k=1}^3 \omega^k \wedge \omega_k^j \\
& =\sum_{k=1}^3\left(\theta^k \wedge \Omega_k^j+\omega^k \wedge \theta_k^j\right),
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \theta_i^j & =\mathrm{d} \Omega_i^j-\mathrm{d} \omega_i^j=\sum_{k=1}^3 \Omega_i^k \wedge \Omega_k^j-\sum_{k=1}^3 \omega_i^k \wedge \omega_k^j \\
& =\sum_{k=1}^3\left(\theta_i^k \wedge \Omega_k^j+\omega_i^k \wedge \theta_k^j\right)
\end{aligned}
$$

于是 Frobenius 条件成立．然而，Pfaff 方程组（1．46）等价于

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} a_i=\sum_{k=1}^3 a_{k i} \omega^k, \quad \mathrm{~d} a_{i j}=\sum_{k=1}^3 a_{k j} \omega_i^k . \tag{1.47}
\end{equation*}
$$

根据定理 1．4，存在一组函数 $a_i=a_i\left(u^1, \cdots, u^r\right), a_{i j}=a_{i j}\left(u^1, \cdots, u^r\right)$使方程组（1．47）成立．换言之，这给出欧氏空间 $E^3$ 中依赖 $r$ 个参数 $u^1, \cdots, u^r$ 的右手标架族，它的相对分量是 $\omega^j, \omega_i^j$ ．证毕．

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