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系数为复数值解析函数的一次微分式的积分因子的存在性

在第三章 § 3.5 证明定理 5.5 时，需要用到系数为复数值解析函数的一次微分式的积分因子的存在性．在这里，我们要给出这个存在性定理的证明．首先，我们要介绍复解析函数的概念，并且证明关于复解析函数的微分方程解的存在性定理．

假定 $f(x, y)$ 是依赖实变量 $x, y$ 的复数值函数．如果 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right) \in \mathbb{R}^2$ 的一个邻域 $U \subset \mathbb{R}^2$ 内能够展开成实变量 $x, y$ 的收敛幂级数

$$
\begin{equation*}
f(x, y)=\sum_{i, j=0}^{\infty} f_{i j}\left(x-x_0\right)^i\left(y-y_0\right)^j \tag{1.48}
\end{equation*}
$$

其中 $f_{i j}$ 是复数，则称复数值函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right) \in \mathbb{R}^2$ 是实解析的．类似地，假定 $f(z, w)$ 是依赖复变量 $z, w$ 的函数．如果 $f(z, w)$ 在点 $\left(z_0, w_0\right) \in \mathbb{C}^2$ 的一个邻域 $U \subset \mathbb{C}^2$ 内能够展开成复变量 $z, w$ 的收敛幂级数

$$
\begin{equation*}
f(z, w)=\sum_{i, j=0}^{\infty} f_{i j}\left(z-z_0\right)^i\left(w-w_0\right)^j \tag{1.49}
\end{equation*}
$$

则称 $f(z, w)$ 在点 $\left(z_0, w_0\right) \in \mathbb{C}^2$ 是复解析的．由此可见，如果把复数值实变量解析函数 $f(x, y)$ 中的变量 $x, y$ 看成复变量时，它必定是复解析函数．反过来，设 $\left(x_0, y_0\right) \in \mathbb{R}^2$ ，如果复变量函数 $f(z, w)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 是复解析的，则当变量 $(z, w) \in \mathbb{C}^2$ 限制在 $\mathbb{R}^2$ 上时，该函数在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 必定是实解析的．

很明显，复解析函数 $f(z, w)$ 有偏导数 $\frac{\partial f}{\partial z}, \frac{\partial f}{\partial w}$ ，并且它们仍然是复解析的．另外在复变函数论的课程中，关于复解析函数有如下的等价条件：设

$$
\begin{equation*}
f(z, \dot{w})=f_1(z, w)+\sqrt{-1} f_2(z, w), \tag{1.50}
\end{equation*}
$$

其中 $f_1(z, w), f_2(z, w)$ 分别是复数值函数 $f(z, w)$ 的实部和虚部。同时把复变量 $z, w$ 也分解成实部和虚部：

$$
z=z_1+\sqrt{-1} z_2, \quad w=w_1+\sqrt{-1} w_2 .
$$

那么，函数 $f(z, w)$ 是复解析的，当且仅当它的实部和虚部满足下面的 Cauchy－Riemann 方程：

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial f_1}{\partial z_1}=\frac{\partial f_2}{\partial z_2}, \quad \frac{\partial f_1}{\partial z_2}=-\frac{\partial f_2}{\partial z_1}, \quad \frac{\partial f_1}{\partial w_1}=\frac{\partial f_2}{\partial w_2}, \quad \frac{\partial f_1}{\partial w_2}=-\frac{\partial f_2}{\partial w_1} . \tag{1.51}
\end{equation*}
$$

定理1．6 设 $f: \mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ 是复解析函数，则对于任意给定的 $\left(z_0, w_0\right) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C}$ ，微分方程

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{~d} z}=f(z, w) \tag{1.52}
\end{equation*}
$$

在点 $z_0 \in \mathbb{C}$ 的一个邻域内必有复解析函数解 $w=w(z)$ 满足初始条件

$$
\begin{equation*}
w\left(z_0\right)=w_0 . \tag{1.53}
\end{equation*}
$$

证明 此定理可以作为定理1．3的应用．将 $f, z, w$ 分解成实部和虚部，则方程（1．52）成为

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial w_1}{\partial z_1}=\frac{\partial w_2}{\partial z_2}=f_1\left(z_1, z_2, w_1, w_2\right), \frac{\partial w_2}{\partial z_1}=-\frac{\partial w_1}{\partial z_2}=f_2\left(z_1, z_2, w_1, w_2\right) . \tag{1.52'}
\end{equation*}
$$

若命

$$
\begin{equation*}
f_{11}=f_{22}=f_1, \quad f_{12}=-f_{21}=-f_2, \tag{1.54}
\end{equation*}
$$

则上面的方程组成为

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial w_i}{\partial z_j}=f_{i j}\left(z_1, z_2, w_1, w_2\right), \quad 1 \leq i, j \leq 2 . \tag{1.55}
\end{equation*}
$$

根据定理 1．3，方程组（1．55）完全可积的充分必要条件是，函数 $f_{i j}$ 在 $\mathbb{R}^4$ 上满足下述恒等式：

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial f_{i j}}{\partial z_k}-\frac{\partial f_{i k}}{\partial z_j}+\sum_{l=1}^2 \frac{\partial f_{i j}}{\partial w_l} f_{l k}-\sum_{l=1}^2 \frac{\partial f_{i k}}{\partial w_l} f_{l j} \equiv 0, \quad \forall i, j, k=1,2 . \tag{1.56}
\end{equation*}
$$

上面的恒等式在 $j=k$ 是自然成立的，所以只要考虑 $j=1, k=2$ 的情形．分别让 $i=1,2$ ，则条件（1．56）成为

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial f_{11}}{\partial z_2}-\frac{\partial f_{12}}{\partial z_1}+\sum_{l=1}^2 \frac{\partial f_{11}}{\partial w_l} f_{l 2}-\sum_{l=1}^2 \frac{\partial f_{12}}{\partial w_l} f_{l 1}=0, \\
& \frac{\partial f_{21}}{\partial z_2}-\frac{\partial f_{22}}{\partial z_1}+\sum_{l=1}^2 \frac{\partial f_{21}}{\partial w_l} f_{l 2}-\sum_{l=1}^2 \frac{\partial f_{22}}{\partial w_l} f_{l 1}=0,
\end{aligned}
$$

用（1．54）式代入上式得到

$$
\begin{aligned}
& \left(\frac{\partial f_1}{\partial z_2}+\frac{\partial f_2}{\partial z_1}\right)+\left(-\frac{\partial f_1}{\partial w_1}+\frac{\partial f_2}{\partial w_2}\right) f_2+\left(\frac{\partial f_1}{\partial w_2}+\frac{\partial f_2}{\partial w_1}\right) f_1=0 \\
& \left(\frac{\partial f_2}{\partial z_2}-\frac{\partial f_1}{\partial z_1}\right)-\left(\frac{\partial f_2}{\partial w_1}+\frac{\partial f_1}{\partial w_2}\right) f_2+\left(\frac{\partial f_2}{\partial w_2}-\frac{\partial f_1}{\partial w_1}\right) f_1=0
\end{aligned}
$$

由于 $f(z, w)$ 是复变量 $z, w$ 的解析函数，根据 Cauchy－Riemann 条件，上式是自动成立的，于是方程组（1．55）完全可积．设方程组（1．55）的经过点 $\left(z_0, w_0\right)$ 的解是 $\left(w_1(z), w_2(z)\right)$ ，即它满足方程组（1．55），并且

$$
w_1\left(z_0\right)+\sqrt{-1} w_2\left(z_0\right)=w_0
$$

命

$$
w(z)=w_1(z)+\sqrt{-1} w_2(z)
$$

则由方程组（1．52＇）得知 $w(z)$ 是复解析函数，并且

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} w(z)}{\mathrm{d} z} & =\frac{\partial w_1(z)}{\partial z_1}+\sqrt{-1} \frac{\partial w_2(z)}{\partial z_1} \\
& =f_1(z, w(z))+\sqrt{-1} f_2(z, w(z))=f(z, w(z)) .
\end{aligned}
$$

这就是说，函数 $w=w(z)$ 是方程（1．52）的、满足初始条件（1．53）的解．证毕．

定理 1.7 设 $f(x, y), g(x, y)$ 是区域 $D \subset \mathbb{R}^2$ 上的复数值实解析函数．若在点 $\left(x_0, y_0\right) \in D, f\left(x_0, y_0\right), g\left(x_0, y_0\right)$ 不全为零，则在点 $\left(x_0, y_0\right)$的某个邻域 $U \subset D$ 内存在复数值实解析函数 $\lambda(x, y)$ 作为一次微分式

$$
\omega=f(x, y) \mathrm{d} x+g(x, y) \mathrm{d} y
$$

的积分因子，也就是在邻域 $U$ 上存在复数值实解析函数 $k(x, y)$ 使得

$$
\lambda(x, y) \cdot(f(x, y) \mathrm{d} x+g(x, y) \mathrm{d} y)=\mathrm{d} k(x, y) .
$$

证明 不妨设 $g\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，故在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某个邻域 $\tilde{D} \subset D$ 内 $g(x, y)$ 处处不为零．这样，微分方程
$$
f(x, y) \mathrm{d} x+g(x, y) \mathrm{d} y=0
$$

等价于

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{f(x, y)}{g(x, y)} . \tag{1.57}
\end{equation*}
$$

记 $F(x, y)=-\frac{f(x, y)}{g(x, y)}$ ，则它是复数值实解析函数．现在把 $x, y$ 看作复变量，则 $F(x, y)$ 是复解析函数．根据定理1．6，在点 $\left(x_0, y_0\right) \in \mathbb{R}^2 \subset \mathbb{C}^2$的邻域 $\tilde{U} \subset \mathbb{C}^2$ 内任意指定一个点 $\left(x_0, y_1\right)$ ，都有方程（1．57）的复解析函数解 $y=t\left(x, y_1\right)$ ，即它满足方程

$$
\frac{\mathrm{d} t\left(x, y_1\right)}{\mathrm{d} x}=F\left(x, t\left(x, y_1\right)\right),
$$

以及初始条件

$$
t\left(x_0, y_1\right)=y_1 \text {, }
$$

其中 $x, y_1$ 都是复变量．很明显，反函数定理可以用于复解析函数组

$$
x=s\left(x_1, y_1\right) \equiv x_1, \quad y=t\left(x_1, y_1\right) .
$$

其余的证明过程和定理 1.2 一样，故存在复解析函数 $\lambda(x, y)$ 和 $k(x, y)$使得

$$
\lambda(x, y) \cdot(f(x, y) \mathrm{d} x+g(x, y) \mathrm{d} y)=\mathrm{d} k(x, y) .
$$

最后，将变量 $x, y$ 限制在实数域 $\mathbb{R}$ 上，$\lambda(x, y)$ 和 $k(x, y)$ 是复数值实解析函数，而上面的式子仍然成立．证毕．

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