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线性变换的特征值

§2 自共轭线性变换的特征值

2．1．线性变换的特征值
假定 $V$ 是 $n$ 维实向量空间．在 $V$ 中取定一个基底 $\left\{e_1, \cdots, e_n\right\}$ ，则 $V$ 中的任意一个成员 $v$ 能够唯一地表示成

$$
\begin{equation*}
v=v^1 e_1+\cdots+v^n e_n . \tag{2.1}
\end{equation*}
$$

所谓向量空间 $V$ 的一个线性变换 $\boldsymbol{A}$ 是指从 $V$ 到它自身的一个映射 $\boldsymbol{A}: V \rightarrow V$ ，满足下列条件：
（1）对于任意的 $u, v \in V$ ，有 $\boldsymbol{A}(u+v)=\boldsymbol{A}(u)+\boldsymbol{A}(v)$ ；
（2）对于任意的 $u \in V$ 和 $\lambda \in \mathbb{R}$ ，有 $\boldsymbol{A}(\lambda u)=\lambda \boldsymbol{A}(u)$ ．由此可见，当向量 $v$ 表示成（2．1）式时，我们有

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{A}(v)=v^1 \boldsymbol{A}\left(e_1\right)+\cdots+v^n \boldsymbol{A}\left(e_n\right), \tag{2.2}
\end{equation*}
$$

因此线性变换 $\boldsymbol{A}$ 是由它在各基底向量 $e_1, \cdots, e_n$ 上的值 $\boldsymbol{A}\left(e_1\right), \cdots$ ， $\boldsymbol{A}\left(e_n\right)$ 来确定．设

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{A}\left(e_i\right)=\sum_{j=1}^n a_i^j e_j, \tag{2.3}
\end{equation*}
$$

其中 $a_i^j$ 是实数，它们构成矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
a_1^1 & \cdots & a_1^n  \tag{2.4}\\
\vdots & & \vdots \\
a_n^1 & \cdots & a_n^n
\end{array}\right) .
$$

通常，称 $A$ 为线性变换 $\boldsymbol{A}$ 在基底 $\left\{e_1, \cdots, e_n\right\}$ 下的矩阵。此时，式可以写成

$$
\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c}
e_1  \tag{2.3}\\
\vdots \\
e_n
\end{array}\right)=A \cdot\left(\begin{array}{c}
e_1 \\
\vdots \\
e_n
\end{array}\right),
$$

并且（2．2）式成为

$$
\boldsymbol{A}(v)=\left(v^1, \cdots, v^n\right) \cdot A \cdot\left(\begin{array}{c}
e_1  \tag{2.6}\\
\vdots \\
e_n
\end{array}\right),
$$

其中右端的＂．＂是指矩阵的乘法．

如果存在数 $\lambda$ 以及非零向量 $v$ ，使得

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{A} v=\lambda v, \tag{2.7}
\end{equation*}
$$

则称 $\lambda$ 是线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的 特征值，并且称 $v$ 是它的 特征向量．按照 （2．6）式，（2．7）式成为

$$
\boldsymbol{A}(v)=\left(v^1, \cdots, v^n\right) \cdot A \cdot\left(\begin{array}{c}
e_1 \\
\vdots \\
e_n
\end{array}\right)=\lambda\left(v^1, \cdots, v^n\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
e_1 \\
\vdots \\
e_n
\end{array}\right),
$$

即

$$
\begin{equation*}
\left(v^1, \cdots, v^n\right) \cdot A=\lambda\left(v^1, \cdots, v^n\right) . \tag{2.8}
\end{equation*}
$$

用 $I$ 表示 $n \times n$ 单位矩阵，则（2．8）式成为

$$
\begin{equation*}
\left(v^1, \cdots, v^n\right) \cdot(\lambda I-A)=0 . \tag{2.9}
\end{equation*}
$$

这是关于未知数 $v^1, \cdots, v^n$ 的线性方程组，其系数矩阵是 $\lambda I-A$ 。根据克莱姆法则，线性方程组（2．9）有非零解 $\left(v^1, \cdots, v^n\right)$ 的充分必要条件是，它的系数矩阵 $\lambda I-A$ 的行列式为零，即

$$
\operatorname{det}(\lambda I-A)=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda-a_1^1 & \cdots & -a_1^n  \tag{2.10}\\
\vdots & & \vdots \\
-a_n^1 & \cdots & \lambda-a_n^n
\end{array}\right|=0 .
$$

这是关于未知数 $\lambda$ 的 $n$ 次方程．根据代数基本定理，它在复数域上有 $n$ 个根。这意味着，一般说来，线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是复数；相应地，用复数特征值 $\lambda$ 代入线性方程组（2．9），得到的解 $\left(v^1, \cdots, v^n\right)$ 也是由复数组成的，因此线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量，一般说来，是基底向量 $e_1, \cdots, e_n$ 的复线性组合。

取（2．8）式的复共轭，则得

$$
\left(\overline{v^1}, \cdots, \overline{v^n}\right) \cdot A=\bar{\lambda}\left(\overline{v^1}, \cdots, \overline{v^n}\right) .
$$
这就是说，如果 $\lambda$ 是线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，$v$ 为对应的特征向量，那么 $\bar{\lambda}$ 也是线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，并且对应的特征向量是 $\bar{v}$ 。

2．2．自共轭线性变换
设 $V$ 是 $n$ 维实向量空间．如果在 $V$ 上给定了一个对称的正定的双线性函数 $g: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ ，则称 $(V, g)$ 是一个 $n$ 维欧氏向量空间，称 $g$ 为内积，并且通常把内积记为

$$
\begin{equation*}
g(u, v)=u \cdot v, \quad \forall u, v \in V . \tag{2.11}
\end{equation*}
$$

设 $\boldsymbol{A}$ 是欧氏向量空间 $V$ 上的一个线性变换．如果对于任意的 $u, v \in V$ 都有

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{A}(u) \cdot v=u \cdot \boldsymbol{A}(v), \tag{2.12}
\end{equation*}
$$

则称 $\boldsymbol{A}$ 是欧氏向量空间 $V$ 上的 自共轭线性变换．
定理 2.1 在欧氏向量空间 $V$ 上自共轭线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的特征值都是实数，对应的特征向量是基底向量 $e_1, \cdots, e_n$ 的实线性组合。

证明 设 $\lambda$ 是自共轭线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，$v$ 是对应的特征向量，于是 $\bar{\lambda}$ 也是线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，并且对应的特征向量是 $\bar{v}$ 。这样，根据自共轭的条件（2．12）得到

$$
\boldsymbol{A}(v) \cdot \bar{v}=\lambda v \cdot \bar{v}=v \cdot \boldsymbol{A}(\bar{v}) \bar{\lambda} v \cdot \bar{v},
$$

故

$$
\begin{equation*}
(\bar{\lambda}-\lambda) v \cdot \bar{v}=0 . \tag{2.13}
\end{equation*}
$$

将向量 $v$ 分解成实部和虚部，得到

$$
v=v_1+\sqrt{-1} v_2,
$$

其中 $v_1, v_2 \in V$ ，那么

$$
\bar{v}=v_1-\sqrt{-1} v_2,
$$

并且

$$
v \cdot \bar{v}=\left(v_1+\sqrt{-1} v_2\right) \cdot\left(v_1-\sqrt{-1} v_2\right)=v_1 \cdot v_1+v_2 \cdot v_2>0 .
$$

由（2．13）式得到

$$
\bar{\lambda}=\lambda,
$$

即特征值 $\lambda$ 必定是实数。用实数特征值 $\lambda$ 代入线性方程组（2．9），得到的解（ $v^1, \cdots, v^n$ ）也是由实数组成的，因此自共轭线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量是基底向量 $e_1, \cdots, e_n$ 的实线性组合。证毕。

定理 2.2 设 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是自共轭线性变换 $\boldsymbol{A}: V \rightarrow V$ 的两个不同的特征值，其对应的特征向量分别是 $v_1$ 和 $v_2$ ，则 $v_1$ 和 $v_2$ 必定彼此正交．

证明 根据定义，我们有

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{A}\left(v_1\right)=\lambda_1 v_1, \quad \boldsymbol{A}\left(v_2\right)=\lambda_2 v_2 . \tag{2.14}
\end{equation*}
$$

因为 $\boldsymbol{A}: V \rightarrow V$ 是自共轭线性变换，故

$$
\boldsymbol{A}\left(v_1\right) \cdot v_2=v_1 \cdot \boldsymbol{A}\left(v_2\right) .
$$

用（2．14）式代入上面的式子得到

$$
\lambda_1 v_1 \cdot v_2=\lambda_2 v_1 \cdot v_2,
$$

即

$$
\left(\lambda_1-\lambda_2\right) v_1 \cdot v_2=0 .
$$

由于 $\lambda_1-\lambda_2 \neq 0$ ，因此 $v_1 \cdot v_2=0$ ．证毕．
定理 2.3 设 $v$ 是自共轭线性变换 $\boldsymbol{A}: V \rightarrow V$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，记 $V_1=v^{\perp}=\{u \in V: u \cdot v=0\}$ ，则 $V_1$ 是向量空间 $V$ 在自共轭线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的作用下不变的子空间，即对于任意的 $u \perp v$ ，都有 $\boldsymbol{A}(u) \perp v$ ．

证明 设 $u \cdot v=0$ ，则

$$
\boldsymbol{A}(u) \cdot v=u \cdot \boldsymbol{A}(v)=\lambda u \cdot v=0
$$

故 $\boldsymbol{A}(u) \perp v$ ．证毕．
定理 2.4 假定 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 维欧氏向量空间 $V$ 上的自共轭线性变换，则它必定有 $n$ 个实特征值 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$ ，并且对应地有 $n$ 个彼此正交的特征向量 $v_1, \cdots, v_n$ ，它们构成欧氏向量空间 $V$ 的单位正交基底．

证明 根据定理 2．1，自共轭线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的特征值都是实数，设实数 $\lambda_1$ 是它的一个特征值，对应的特征向量是单位向量 $v_1$ ．命 $V_1=\left(v_1\right)^{\perp}$ ，则 $V_1$ 是 $n-1$ 维欧氏向量空间，并且线性变换 $\boldsymbol{A}$ 在 $V_1$ 上的作用是封闭的，并且它在 $V_1$ 上的限制 $\boldsymbol{A}_1=\left.\boldsymbol{A}\right|_{V_1}$ 仍然是自共轭线性变换．接着，对于欧氏向量空间 $V_1$ 和自共轭线性变换 $\boldsymbol{A}_1: V_1 \rightarrow V_1$重复上面的过程．最终，我们便得到定理所要求的结论．证毕．

从定理 2.4 不难看出，如果 $\lambda$ 是自共轭线性变换 $\boldsymbol{A}$ 的 $r$ 重特征值，则对应的特征向量构成向量空间 $V$ 的 $r$ 维子空间．

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