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迭代法的收敛性质(2)

定义 3.8 如果 $\left|a_{i i}\right|>\sum_{j=1, j \neq i}^n\left|a_{i j}\right|$ ，则称 $A$ 为严格对角占优矩阵。
定理 3.7 若 $A$ 是严格对角占优矩阵，则 $A$ 为非奇异矩阵。
证明 如果 $A$ 奇异，则 $A x=0$ 有非零解，其中 $x=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^{\mathrm{T}}$ 。记 $\left|x_m\right|= \max _i\left|x_i\right|$ ，则线性方程组的第 $m$ 个方程为

$$
\sum_{j=1}^n a_{m j} x_j=0 .
$$

我们有如下不等式：

$$
\left|a_{m m} x_m\right|=\left|\sum_{j=1, j \neq m}^n a_{m j} x_j\right| \leqslant \sum_{j=1, j \neq m}^n\left|a_{m j}\right|\left|x_j\right| \leqslant\left|x_m\right| \sum_{j=1, j \neq m}^n\left|a_{m j}\right| .
$$

由于 $x$ 为非零解，则 $\left|x_m\right| \neq 0$ ，两边同时除以非零 $\left|x_m\right|$ 得

$$
\left|a_{m m}\right| \leqslant \sum_{j=1, j \neq m}^n\left|a_{m j}\right| .
$$

与假设矛盾，故 $A$ 为非奇异矩阵．
定理 3.8 若线性方程组 $A x=b$ 的系数矩阵 $A$ 是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代格式和高斯－赛德尔迭代格式收敛。

证明 先证明雅可比迭代矩阵的谱半径 $\rho\left(D^{-1}(L+U)\right)<1$ ，即迭代矩阵的特征值

都小于 1．雅可比迭代矩阵 $D^{-1}(L+U)$ 的特征值和特征向量分别为 $\lambda$ 和 $x \neq 0$ ，满足 $D^{-1}(L+U) x=\lambda x$ 即 $\lambda D x=(L+U) x$ 。

记 $\left|x_m\right|=\max _i\left|x_i\right|, \lambda D x=(L+U) x$ 的第 $m$ 个方程为

$$
\left|\lambda \boldsymbol{a}_{m m} x_m\right|=\left|\boldsymbol{a}_{m 1} x_1+\cdots+\boldsymbol{a}_{m, m-1} x_{m-1}+\boldsymbol{a}_{m, m+1} x_{m+1}+\cdots+\boldsymbol{a}_{m n} x_n\right|
$$

我们有如下不等式：

$$
\begin{aligned}
\left|\lambda \boldsymbol{a}_{m m} x_m\right| & =\left|\boldsymbol{a}_{m 1} x_1+\cdots+\boldsymbol{a}_{m, m-1} x_{m-1}+\boldsymbol{a}_{m, m+1} x_{m+1}+\cdots+\boldsymbol{a}_{m n} x_n\right| \\
& \leqslant\left|\boldsymbol{a}_{m 1}\right|\left|x_1\right|+\cdots+\left|\boldsymbol{a}_{m, m-1}\right|\left|x_{m-1}\right|+\left|\boldsymbol{a}_{m, m+1}\right|\left|x_{m+1}\right|+\cdots+\left|\boldsymbol{a}_{m n}\right|\left|x_n\right| \\
& \leqslant\left|x_m\right| \sum_{i \neq m}\left|\boldsymbol{a}_{m i}\right| \\
& <\left|x_m\right|\left|\boldsymbol{a}_{m m}\right|
\end{aligned}
$$

所以雅可比迭代矩阵的特征值都小于 1 。
再证明高斯－赛德尔迭代矩阵的谱半径 $\rho\left((D-L)^{-1} U\right)<1$ ，即迭代矩阵的特征都小于 1．高斯－赛德尔迭代矩阵 $(D-L)^{-1} U$ 的特征值和特征向量分别为 $\lambda$ 和 $x \neq 0$ ，满足 $(D-L)^{-1} U x=\lambda x$ 即 $\lambda(D-L) x=U x$ 。

记 $\left|x_m\right|=\max _i\left|x_i\right|$ ，则 $\lambda(D-L) x=U x$ 的第 $m$ 个方程为

$$
|\lambda|\left|a_{m m} x_m+\sum_{i<m} a_{m i} x_i\right|=\left|\sum_{i>m} a_{m i} x_i\right| .
$$

我们有如下不等式：

$$
\begin{aligned}
|\lambda|\left|x_m\right|\left(\sum_{i>m}\left|a_{m i}\right|\right) & <|\lambda|\left(\left|a_{m m}\right|\left|x_m\right|-\sum_{i<m}\left|a_{m i}\right|\left|x_m\right|\right) \\
& \leqslant|\lambda|\left(\left|a_{m m}\right|\left|x_m\right|-\left|\sum_{i<m} a_{m i} x_i\right|\right) \\
& \leqslant|\lambda|\left|a_{m m} x_m+\sum_{i<m} a_{m i} x_i\right| \\
& =\left|\sum_{i>m} a_{m i} x_i\right| \leqslant\left|x_m\right|\left(\sum_{i>m}\left|a_{m i}\right|\right) .
\end{aligned}
$$

所以高斯－赛德尔迭代矩阵的特征值都小于 1 。
下面研究系数矩阵为对称正定矩阵时，雅可比迭代格式和高斯－赛德尔迭代格式的收敛性．对于雅可比迭代格式，我们可以找到系数矩阵为对称正定矩阵而其迭代矩阵谱半径大于 1 的反例。例如，如下线性方程组：

$$
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0.4 & 0.4 \\
0.4 & 1 & 0.8 \\
0.4 & 0.8 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right),
$$
其系数矩阵是对称正定矩阵，但其迭代矩阵谱半径大于 1．下面证明系数矩阵为对称正定矩阵时，高斯－赛德尔迭代格式收敛。

定理 3.9 若 $A x=b$ 的系数矩阵 $A$ 为对称正定矩阵，则高斯－赛德尔迭代格式收敛。

证明 证明高斯－赛德尔的迭代矩阵的谱半径 $\rho\left((D-L)^{-1} U\right)<1$ ，即迭代矩阵的特征值都小于1．由于 $A$ 对称，记 $A=D-L-L^{\mathrm{T}}$ 。则高斯－赛德尔迭代矩阵 $(D-L)^{-1} L^{\mathrm{T}}$的特征值和特征向量分别为 $\lambda$ 和 $x \neq 0$ ，满足 $(D-L)^{-1} L^{\mathrm{T}} x=\lambda x$ 。进一步有

$$
L^{\mathrm{T}} x=\lambda(D-L) x
$$

两边同时左乘 $x^{\mathrm{T}}$ 有

$$
x^{\mathrm{T}} L^{\mathrm{T}} x=\lambda x^{\mathrm{T}}(D-L) x .
$$

只需证明

$$
\lambda=\frac{x^{\mathrm{T}} L^{\mathrm{T}} x}{x^{\mathrm{T}}(D-L) x}=\frac{a}{p-a}<1,
$$

其中 $p=x^{\mathrm{T}} D x$ 和 $a=x^{\mathrm{T}} L^{\mathrm{T}} x=x^{\mathrm{T}} L x$ ．由于 $A$ 对称正定，则有

$$
\begin{gathered}
p=x^{\mathrm{T}} D x>0, \\
x^{\mathrm{T}} A x=x^{\mathrm{T}}\left(D-L-L^{\mathrm{T}}\right) x=p-a-a \geqslant 0 .
\end{gathered}
$$

综上所述有

$$
-1<\lambda=\frac{x^{\mathrm{T}} L^{\mathrm{T}} x}{x^{\mathrm{T}}(D-L) x}=\frac{a}{p-a}<1 .
$$

当 $A$ 为对称正定矩阵时，高斯－赛德尔迭代矩阵的特征值都小于 1 ，即迭代矩阵的谱半径小于 1 ，所以高斯－赛德尔迭代格式收敛．

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