最后更新: 2026-06-16 16:41 查看: 11 次纠错评论(0) 课件开VIP

特征值的估计

第4章 矩阵特征值与特征向量的计算

矩阵特征值有着广泛的应用背景。自然科学和工程应用中的许多问题，如电磁振荡、动力系统和结构系统中的振动问题、电力系统的静态稳定分析、工程设计中的某些临界值系统稳定性问题、数字信号处理等，常归结为求矩阵的特征值和特征向量．求矩阵的特征值和特征向量的问题是数值计算中的重要课题．

为方便起见，这里设 $n$ 阶方阵 $A$ 的 $n$ 个特征值就是其特征方程

$$
\varphi(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I)=\lambda^n+a_1 \lambda^{n-1}+\cdots+a_{n-1} \lambda+a_n=0
$$

的 $n$ 个根，其中 $a_i(i=1,2, \cdots, n)$ 为常数．方阵 $A$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量 $x$ 是线性方程组

$$
A x=\lambda x
$$

的非零解．
由于上述特征根方程是 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式，因此它有 $n$ 个根（实根或复根）．通常在计算上面特征方程的系数及求解其根的过程中，计算量往往比较大且不稳定，所以除特殊情况外（如 $n=2,3$ 或 $A$ 为上（下）三角矩阵），一般不直接求解，而是采取迭代方法．数值计算中常用的方法是幂法、反幂法和 $Q R$ 方法．本章讨论求非零方阵 $A$ 的特征值和特征向量的常用数值方法．

4.1 特征值的估计

本节我们利用线性代数的一些基本结论来对矩阵的特征值进行估计。虽然这些估计比较粗糙，但它们有助于深入理解后续的数值方法．关于矩阵的特征值，引入如下代数理论和估计．

定理 4.1 设 $A \in \mathbf{R}^{n \times n}$ 为实对称矩阵，其特征值 $\lambda_1 \geqslant \lambda_2 \geqslant \cdots \geqslant \lambda_n$ ，则
（1）对任意非 0 向量 $x \in \mathbf{R}^n$ ，都有

$$
\lambda_n \leqslant \frac{(A x, x)}{(x, x)} \leqslant \lambda_1 .
$$

（2）$\lambda_1=\max _{x \neq 0} \frac{(A x, x)}{(x, x)}, \lambda_n=\min _{x \neq 0} \frac{(A x, x)}{(x, x)}$ ．
下面介绍特征值的盖尔（Gerschgorin）圆盘估计．

定义 4.1 设 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，称由不等式 $\left|z-a_{i i}\right| \leqslant \sum_{j=1, j \neq i}^n\left|a_{i j}\right|$ 所确定的复区域为 $A$ 的第 $i$ 个行盖尔圆，记为

$$
\begin{equation*}
G_i=\left\{z:\left|z-a_{i i}\right| \leqslant \sum_{j=1, j \neq i}^n\left|a_{i j}\right|\right\}, \quad i=1,2, \cdots, n . \tag{4.1}
\end{equation*}
$$

（4．1）式表示以 $a_{i i}$ 为中心，半径为 $\sum_{j=1, j \neq i}^n\left|a_{i j}\right|$ 的复平面上的 $n$ 个圆盘．
例 4.1 计算方阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0.1 & 0.2 & 0.3 \\ 0.5 & 3 & 0.1 & 0.2 \\ 1 & 0.3 & -1 & 0.5 \\ 0.2 & -0.3 & -0.1 & -4\end{array}\right)$ 的盖尔圆．
解

$$
\begin{array}{ll}
G_1=\{z:|z-1| \leqslant 0.6\} ; & G_2=\{z:|z-3| \leqslant 0.8\} ; \\
G_3=\{z:|z+1| \leqslant 1.8\} ; & G_4=\{z:|z+4| \leqslant 0.6\} .
\end{array}
$$

这四个行盖尔圆的范围如图 4.1 所示，这里的横坐标表示实部，纵坐标表示虚部．

![图片](/uploads/2026-06/422488.jpg)
 
 定理 4.2 （盖尔圆盘定理）设 $A \in \mathbf{R}^{n \times n}$ ，则
（1）$A$ 的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，

$$
\begin{equation*}
\left|z-a_{i i}\right| \leqslant \sum_{j=1, j \neq i}^n\left|a_{i j}\right|, \quad i=1,2, \cdots, n \tag{4.2}
\end{equation*}
$$

（2）如果矩阵 $A$ 的 $m$ 个圆盘组成的并集 $S$（连通的）与其余 $n-m$ 个圆盘不连接，则 $S$ 内恰包含 $m$ 个 $A$ 的特征值．

注（1）每个孤立圆中恰有一个特征值．
（2）例4．1中 $G_2, G_4$ 为仅由一个盖尔圆构成的连通部分，故它们各有一个特征值，而 $G_1, G_3$ 构成的连通部分应含有两个特征值．
（3）因为例4．1中 $A$ 为实方阵，所以若 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，则 $\bar{\lambda}$ 也是 $A$ 的特征值，
 所以 $G_2, G_4$ 中各有一个实特征值．实际上，例 4.1 四个特征值的近似值为：3．02531， $1.07575,-1.111780,-3.98926$ ．

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