最后更新: 2026-06-19 18:48 查看: 4 次纠错评论(0) 课件开VIP

插值多项式的概念

在工程实践中，许多实际问题都可以用函数 $y=f(x)$ 来表示某种内在规律的数量关系，但往往并不知道函数的具体表达式，只能通过实验或观测得到某些点处的函数值或导数值，或者有些函数虽然有确定的表达式，但表达式很复杂，不方便进行计算和分析，因此通常是找出函数在某些点处的函数值，造一个函数表，然后利用函数表构造一个能反映原函数特性的简单函数来代替原函数研究其变化规律。数据插值方法要解决的问题就是根据函数的离散数据构造一个简单的易于计算的函数 $P(x)$ 代替原函数，函数 $P(x)$ 通常取多项式函数．

本章主要介绍插值函数的构造方法以及对应的误差分析．

5.1 插值多项式的概念

5．1．1 插值多项式的定义
定义 5.1 设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有定义，且已知在点

$$
a \leqslant x_0<x_1<\cdots<x_n \leqslant b
$$

处的函数值 $y_i=f\left(x_i\right)(i=0,1,2, \cdots, n)$ ，若存在一简单函数 $P(x)$ ，使得

$$
\begin{equation*}
P\left(x_i\right)=y_i, \quad i=0,1,2, \cdots, n \tag{5.1}
\end{equation*}
$$

成立，则称 $P(x)$ 为 $f(x)$ 的插值函数，点 $x_0, x_1, \cdots, x_n$ 称为插值节点，$f(x)$ 称为被插值函数，包含插值节点的区间 $[a, b]$ 称为插值区间，求函数 $P(x)$ 的方法称为插值法．

若插值函数为次数不超过 $n$ 次的代数多项式 $P_n(x)$ ，即

$$
\begin{equation*}
P_n(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n, \tag{5.2}
\end{equation*}
$$

则称 $P_n(x)$ 为 $f(x)$ 的插值多项式，对应的插值法称为多项式插值．
插值法的几何意义就是求曲线 $y=P(x)$ ，使其通过给定的 $n+1$ 个点 $\left(x_i, y_i\right)$ ， $i=0,1,2, \cdots, n$ ，并用它近似代替已知曲线 $y=f(x)$ ．

5．1．2 插值多项式的存在及唯一性
定理 5.1 若 $x_0, x_1, \cdots, x_n$ 是 $n+1$ 个互异的插值节点，则满足插值条件

$$
P_n\left(x_i\right)=y_i, \quad i=0,1,2, \cdots, n
$$

的 $n$ 次插值多项式

$$
P_n(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n
$$

是存在而且唯一的．
证明 根据插值条件

$$
P_n\left(x_i\right)=y_i, \quad i=0,1,2, \cdots, n,
$$

将给定的 $n+1$ 个点 $\left(x_i, y_i\right)(i=0,1,2, \cdots, n)$ 代入，可得线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_0+a_1 x_0+a_2 x_0^2+\cdots+a_n x_0^n=y_0, \\
a_0+a_1 x_1+a_2 x_1^2+\cdots+a_n x_1^n=y_1, \\
\cdots \cdots \\
a_0+a_1 x_n+a_2 x_n^2+\cdots+a_n x_n^n=y_n,
\end{array}\right.
$$

或记为

$$
A z=y
$$

其中

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & x_0 & \cdots & x_0^n \\
1 & x_1 & \cdots & x_1^n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & x_n & \cdots & x_n^n
\end{array}\right), \quad z=\left(\begin{array}{c}
a_0 \\
a_1 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right), \quad y=\left(\begin{array}{c}
y_0 \\
y_1 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right) .
$$

系数矩阵 $A$ 的行列式为范德蒙德（Vandermonde）行列式，由于 $x_0, x_1, \cdots, x_n$ 是互异的插值节点，根据范德蒙德行列式的计算公式，

$$
\operatorname{det} A=\left|\begin{array}{cccc}
1 & x_0 & \cdots & x_0^n \\
1 & x_1 & \cdots & x_1^n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & x_n & \cdots & x_n^n
\end{array}\right|=\prod_{0 \leqslant j<i \leqslant n}\left(x_i-x_j\right) \neq 0,
$$

所以方程组 $A z=y$ 有唯一解，即插值多项式

$$
P_n(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n
$$

的解是存在而且唯一的．
定理不仅给出了插值多项式存在唯一的条件，而且证明过程中还提出了构造插值多项式的方法，即可以通过求解线性方程组来获得多项式中各项的系数．但是线性方程组的求解需要较大的工作量，为了避免求解线性方程组，后面将介绍构造 $P_n(x)$ 的简便方法．

唯一性还表明，用任何方法求得的插值多项式 $P_n(x)$ ，只要满足同一插值条件，其实都是同一多项式。

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