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拉格朗日插值

5.2 拉格朗日插值

拉格朗日（Lagrange）插值是由法国数学家拉格朗日提出的一种直接构造多项式的方法，又称为拉格朗日插值基函数方法．
5．2．1 线性插值与抛物插值

1．线性插值
首先讨论 $n=1$ 的简单情形．
给定插值节点 $x_0<x_1$ ，以及对应函数值

$$
y_0=f\left(x_0\right), \quad y_1=f\left(x_1\right),
$$

求线性插值多项式 $L_1(x)$ ，使其满足

$$
L_1\left(x_0\right)=y_0, \quad L_1\left(x_1\right)=y_1 .
$$

$y=L_1(x)$ 的几何意义就是通过两点 $\left(x_0, y_0\right),\left(x_1, y_1\right)$ 的直线．
利用几何意义可直接给出 $L_1(x)$ 的表达式

$$
\begin{align*}
& L_1(x)=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\left(x-x_0\right)(\text { 点斜式 }), \\
& L_1(x)=\frac{x_1-x}{x_1-x_0} y_0+\frac{x-x_0}{x_1-x_0} y_1 \text { (两点式). } \tag{5.3}
\end{align*}
$$

由两点式可以看出，$L_1(x)$ 是由两个线性函数

$$
l_0(x)=\frac{x_1-x}{x_1-x_0}, \quad l_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}
$$

的线性组合得到的，线性组合的系数分别为 $y_0$ 和 $y_1$ ，即

$$
L_1(x)=l_0(x) y_0+l_1(x) y_1 .
$$

可以看出 $l_0(x)$ 和 $l_1(x)$ 也是线性插值多项式，在插值节点 $x_0$ 和 $x_1$ 上满足条件

$$
\begin{array}{ll}
l_0\left(x_0\right)=1, & l_0\left(x_1\right)=0 ; \\
l_1\left(x_0\right)=0, & l_1\left(x_1\right)=1 .
\end{array}
$$

通常称 $l_0(x)$ 和 $l_1(x)$ 为线性插值基函数．

2．抛物插值

下面讨论 $n=2$ 的情况．
给定插值节点 $x_0<x_1<x_2$ ，以及对应函数值

$$
y_0=f\left(x_0\right), \quad y_1=f\left(x_1\right), \quad y_2=f\left(x_2\right),
$$

求二次插值多项式 $L_2(x)$ ，使其满足

$$
L_1\left(x_0\right)=y_0, \quad L_1\left(x_1\right)=y_1, \quad L_1\left(x_2\right)=y_2 .
$$

$y=L_2(x)$ 的几何意义就是通过三点 $\left(x_0, y_0\right),\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right)$ 的抛物线。
可采用基函数的方法构造二次插值多项式 $L_2(x)$ 的表达式，设

$$
L_2(x)=l_0(x) y_0+l_1(x) y_1+l_2(x) y_2,
$$

这里基函数 $l_0(x), l_1(x), l_2(x)$ 是二次函数，且在插值节点 $x_0, x_1$ 和 $x_2$ 上满足条件

$$
\begin{array}{lll}
l_0\left(x_0\right)=1, & l_0\left(x_1\right)=0, & l_0\left(x_2\right)=0 ; \\
l_1\left(x_0\right)=0, & l_1\left(x_1\right)=1, & l_1\left(x_2\right)=0 ; \\
l_2\left(x_0\right)=0, & l_2\left(x_1\right)=0, & l_2\left(x_2\right)=1 .
\end{array}
$$

满足上述条件的基函数是很好求的，比如计算 $l_0(x), l_0(x)$ 的两个零点刚好是插值节点 $x_1$ 和 $x_2$ ，故二次函数 $l_0(x)$ 可表示为

$$
l_0(x)=c\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) .
$$

又 $l_0\left(x_0\right)=1$ ，代入上式，可得

$$
c=\frac{1}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right)},
$$

即

$$
l_0(x)=\frac{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right)} .
$$

同理可得

$$
\begin{aligned}
& l_1(x)=\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_2\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right)} \\
& l_2(x)=\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)}{\left(x_2-x_0\right)\left(x_2-x_1\right)}
\end{aligned}
$$

所以二次插值函数为

$$
\begin{equation*}
L_2(x)=\frac{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right)} y_0+\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_2\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right)} y_1+\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)}{\left(x_2-x_0\right)\left(x_2-x_1\right)} y_2 . \tag{5.4}
\end{equation*}
$$

二次插值又称抛物插值．
5．2．2 拉格朗日插值多项式
考虑一般的 $n$ 次多项式插值问题，设有 $n+1$ 个互异节点

$$
x_0<x_1<\cdots<x_n,
$$

已知对应函数值

$$
y_0=f\left(x_0\right), \quad y_1=f\left(x_1\right), \cdots, y_n=f\left(x_n\right),
$$

求 $n$ 次插值多项式 $L_n(x)$ ，使其满足

$$
L_n\left(x_i\right)=y_i, \quad i=0,1,2, \cdots, n .
$$

为了求出插值多项式 $L_n(x)$ ，首先定义插值基函数。
定义5．2 如果 $n$ 次多项式 $l_i(x)(i=0,1,2, \cdots, n)$ 在插值节点

$$
x_0<x_1<\cdots<x_n
$$

上满足条件

$$
l_i\left(x_k\right)=\left\{\begin{array}{ll}
1, & k=i,  \tag{5.5}\\
0, & k \neq i,
\end{array} \quad i, k=0,1,2, \cdots, n,\right.
$$

则称这 $n+1$ 个 $n$ 次多项式 $l_0(x), l_1(x), \cdots, l_n(x)$ 为节点 $x_0, x_1, \cdots, x_n$ 上的 $n$ 次插值基函数．

由定义可知，基函数 $l_i(x)$ 在除 $x_i$ 以外的 $n$ 个节点上的函数值均为零，而在节点 $x_i$ 上的函数值为 1 ．由此可构造出基函数 $l_i(x)$ 的表达式为

$$
l_i(x)=\frac{\left(x-x_0\right) \cdots\left(x-x_{i-1}\right)\left(x-x_{i+1}\right) \cdots\left(x-x_n\right)}{\left(x_i-x_0\right) \cdots\left(x_i-x_{i-1}\right)\left(x_i-x_{i+1}\right) \cdots\left(x_i-x_n\right)},
$$

或记为

$$
l_i(x)=\prod_{k=0, k \neq i}^n \frac{\left(x-x_k\right)}{\left(x_i-x_k\right)}, \quad i=0,1,2, \cdots, n,
$$

所以满足插值条件（5．1）的插值多项式为

$$
\begin{equation*}
L_n(x)=\sum_{i=0}^n l_i(x) y_i, \tag{5.6}
\end{equation*}
$$

称为拉格朗日插值多项式。
线性插值和抛物插值分别为拉格朗日插值多项式的特殊情形．

5．2．3 拉格朗日插值余项与误差估计
用拉格朗日插值多项式 $L_n(x)$ 作为函数 $f(x)$ 的近似计算公式，则其截断误差为

$$
\begin{equation*}
R_n(x)=f(x)-L_n(x), \tag{5.7}
\end{equation*}
$$

也称为插值多项式的余项。下面介绍拉格朗日插值余项定理。
定理 5.2 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有定义，且在 $(a, b)$ 内有 $n+1$ 阶导数，插值节点为 $a \leqslant x_0<x_1<\cdots<x_n \leqslant b, L_n(x)$ 为 $f(x)$ 的 $n$ 次插值多项式，则对任意 $x \in[a, b]$ ，插值余项可表示为

$$
\begin{equation*}
R_n(x)=f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \omega_{n+1}(x), \tag{5.8}
\end{equation*}
$$

其中 $\xi \in(a, b)$ 且与 $x$ 有关，$\omega_{n+1}(x)=\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \cdots\left(x-x_n\right)$ 。
证明 由插值条件知，$R_n(x)$ 在插值节点 $x_0, x_1, \cdots, x_n$ 处的值为零，即

$$
\begin{equation*}
R_n\left(x_k\right)=f\left(x_k\right)-L_n\left(x_k\right), \quad k=0,1,2, \cdots, n, \tag{5.9}
\end{equation*}
$$

故插值节点都为函数 $R_n(x)$ 的零点，可设

$$
R_n(x)=K(x)\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \cdots\left(x-x_n\right),
$$

其中 $K(x)$ 是与 $x$ 有关的待定函数．
为了确定 $K(x)$ ，构造辅助函数

$$
\varphi(t)=f(t)-L_n(t)-K(x)\left(t-x_0\right)\left(t-x_1\right) \cdots\left(t-x_n\right),
$$

把 $x$ 看成区间 $[a, b]$ 上的一个固定点，且 $x \neq x_k(k=0,1,2, \cdots, n)$ ，则根据插值条件及余项定义可得

$$
\begin{gathered}
\varphi\left(x_k\right)=0, \quad k=0,1,2, \cdots, n, \\
\varphi(x)=0,
\end{gathered}
$$

即 $\varphi(t)$ 在区间 $[a, b]$ 上至少有 $n+2$ 个相异零点，根据罗尔（Rolle）中值定理，$\varphi^{\prime}(t)$ 在 $\varphi(t)$ 的两个零点间至少有一个零点，故 $\varphi^{\prime}(t)$ 在区间 $[a, b]$ 上至少有 $n+1$ 个相异零点，以此类推，$\varphi^{(n+1)}(t)$ 在区间 $[a, b]$ 上至少有 1 个零点．

故存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得

$$
\varphi^{(n+1)}(\xi)=0,
$$

又由于

$$
\varphi^{(n+1)}(t)=f^{(n+1)}(t)-L_n^{(n+1)}(t)-K(x) \omega_{n+1}^{(n+1)}(t),
$$

故

$$
\varphi^{(n+1)}(\xi)=f^{(n+1)}(\xi)-L_n^{(n+1)}(\xi)-K(x) \omega_{n+1}^{(n+1)}(\xi)
$$

$$
=f^{(n+1)}(\xi)-K(x)(n+1)!=0,
$$

于是

$$
K(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}, \quad \xi \in(a, b) \text { 且依赖于 } x .
$$

代入式（5．9），即可得余项表达式（5．8）。
余项表达式只有在 $f(x)$ 的高阶导数存在时才有意义，而且点 $\xi$ 在 $(a, b)$ 内的具体位置通常不可能给出，因此截断误差的具体大小并不能够计算出来，可以通过求出 $f^{(n+1)}(x)$ 在区间 $(a, b)$ 上的最大值，得到插值多项式 $L_n(x)$ 逼近函数 $f(x)$ 的截断误差限，即若

$$
\max _{a<x<b}\left|f^{(n+1)}(x)\right|=M_{n+1},
$$

则 $L_n(x)$ 逼近 $f(x)$ 的截断误差限是

$$
\begin{equation*}
\left|R_n(x)\right| \leqslant \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\left|\omega_{n+1}(x)\right| \tag{5.10}
\end{equation*}
$$

当 $n=1$ 时，线性插值的余项为

$$
\begin{equation*}
R_1(x)=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi) \omega_2(x)=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right), \quad \xi \in\left[x_0, x_1\right] \tag{5.11}
\end{equation*}
$$

当 $n=2$ 时，抛物插值的余项为

$$
\begin{equation*}
R_2(x)=\frac{1}{6} f^{\prime \prime \prime}(\xi)\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right), \quad \xi \in\left[x_0, x_2\right] . \tag{5.12}
\end{equation*}
$$

当 $f(x)$ 是 $n$ 次多项式时，根据插值多项式的存在唯一性可知，$L_n(x)=f(x)$ ，即 $n$ 次多项式的 $n$ 次插值函数即为该多项式本身．

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