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牛顿插值

5.3 牛 顿 插 值

拉格朗日插值多项式利用基函数的思想进行插值，理论上比较方便，插值余项也便于分析，但是当插值节点增加时，插值基函数 $l_i(x)$ 都要改变，因此在实际运算中并不方便。

若将插值多项式表示为如下形式：

$$
P_n(x)=a_0+a_1\left(x-x_0\right)+a_2\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)+\cdots+a_n\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right),
$$

则当插值节点增多时，只需在多项式右端增加项数即可。上式中 $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n$ 待定，可由 $P_n\left(x_i\right)=f_i(i=0,1,2, \cdots, n)$ 确定，$f_i$ 为节点处的函数值．

当 $x=x_0$ 时，$P_n\left(x_0\right)=f_0$ ，故 $a_0=f_0$ ；

当 $x=x_1$ 时，$P_n\left(x_1\right)=f_1$ ，可得 $a_0+a_1\left(x_1-x_0\right)=f_1$ ，故 $a_1=\frac{f_1-f_0}{x_1-x_0}$ ；
当 $x=x_2$ 时，$P_n\left(x_2\right)=f_2$ ，可得 $a_0+a_1\left(x_2-x_0\right)+a_2\left(x_2-x_0\right)\left(x_2-x_1\right)=f_2$ ，故

$$
a_2=\frac{\frac{f_2-f_0}{x_2-x_0}-\frac{f_1-f_0}{x_1-x_0}}{x_2-x_1},
$$

亦可记为

$$
a_2=\frac{\frac{f_2-f_1}{x_2-x_1}-\frac{f_1-f_0}{x_1-x_0}}{x_2-x_0}
$$

以此类推可求得 $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n$ 的值，但形式会越来越复杂，因此可引入均差的概念．
5．3．1 均差的概念
定义 5.3 设函数 $y=f(x)$ 在互异节点 $x_0, x_1, \cdots, x_n$ 处的函数值为

$$
f\left(x_i\right)=f_i, \quad i=0,1,2, \cdots, n,
$$

称

$$
\begin{equation*}
f\left[x_i, x_j\right]=\frac{f_j-f_i}{x_j-x_i} \quad(i \neq j) \tag{5.13}
\end{equation*}
$$

为函数 $y=f(x)$ 关于节点 $x_i, x_j$ 的一阶均差．
两个一阶均差的均差

$$
\begin{equation*}
f\left[x_i, x_j, x_k\right]=\frac{f\left[x_j, x_k\right]-f\left[x_i, x_j\right]}{x_k-x_i} \quad(i \neq j \neq k) \tag{5.14}
\end{equation*}
$$

称为函数 $y=f(x)$ 关于节点 $x_i, x_j, x_k$ 的二阶均差．
一般地，两个 $n-1$ 阶均差的均差

$$
\begin{equation*}
f\left[x_0, x_1, \cdots, x_n\right]=\frac{f\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]-f\left[x_0, x_1, \cdots, x_{n-1}\right]}{x_n-x_0}, \tag{5.15}
\end{equation*}
$$

称为 $n$ 阶均差（也称差商）．
均差具有如下的基本性质：
（1）函数 $y=f(x)$ 的 $n$ 阶均差可以表示为函数值 $f\left(x_0\right), f\left(x_1\right), \cdots, f\left(x_n\right)$ 的线性组合，即

$$
f\left[x_0, x_1, \cdots, x_n\right]=\sum_{i=0}^n \frac{f\left(x_i\right)}{\left(x_i-x_0\right) \cdots\left(x_i-x_{i-1}\right)\left(x_i-x_{i+1}\right) \cdots\left(x_i-x_n\right)} .
$$

（2）任意调换节点的顺序，均差的值不变，此即为均差的对称性．
如

$$
f\left[x_0, x_1, x_2\right]=f\left[x_0, x_2, x_1\right]=f\left[x_2, x_1, x_0\right] .
$$

（3）设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上具有 $n$ 阶导数，且 $x_0, x_1, \cdots, x_n \in[a, b]$ ，则 $n$ 阶均差与导数的关系可表示为

$$
f\left[x_0, x_1, \cdots, x_n\right]=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}, \quad \xi \in[a, b] .
$$

根据均差的定义，如果已知一个函数表数据，可从低阶到高阶依次计算出各阶均差，故可用表格法计算均差，如表 5．1．

![图片](/uploads/2026-06/3124fa.jpg)
 
 5.1  知函数$y=f(x)在五个点处的函数值如表5.2所示，试列出该函数的一阶三阶均差表.
 
 ![图片](/uploads/2026-06/7821c2.jpg)
 
 解  根据一阶均差、二阶均差、三阶均差的计算公式计算出各阶均差列表如表 5.3
 
 ![图片](/uploads/2026-06/a40dbe.jpg)
 
 5．3．2 牛顿插值公式
给定插值节点 $a \leqslant x_0<x_1<\cdots<x_n \leqslant b$ 及节点处的函数值

$$
y_i=f\left(x_i\right), \quad i=0,1,2, \cdots, n,
$$

若把 $x \neq x_i$ 看作区间 $[a, b]$ 上的一点，则由均差定义可得

$$
f\left[x_0, x_1, \cdots, x_k, x\right]=\frac{f\left[x_0, x_1, \cdots, x_k\right]-f\left[x_0, x_1, \cdots, x_{k-1}, x\right]}{x_k-x},
$$

即

$$
f\left[x_0, x_1, \cdots, x_{k-1}, x\right]=f\left[x_0, x_1, \cdots, x_k\right]+f\left[x_0, x_1, \cdots, x_k, x\right]\left(x-x_k\right) .
$$

由上式，

$$
\begin{gathered}
f(x)=f_0+f\left[x, x_0\right]\left(x-x_0\right), \\
f\left[x, x_0\right]=f\left[x_0, x_1\right]+f\left[x, x_0, x_1\right]\left(x-x_1\right), \\
\cdots \cdots \\
f\left[x, x_0, \cdots, x_{n-1}\right]=f\left[x_0, x_1, \cdots, x_n\right]+f\left[x, x_0, \cdots, x_n\right]\left(x-x_n\right),
\end{gathered}
$$

将后一式代入前一式，即可得

$$
\begin{aligned}
f(x)= & f\left(x_0\right)+f\left[x_0, x_1\right]\left(x-x_0\right) \\
& +f\left[x_0, x_1, x_2\right]\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)+\cdots \\
& +f\left[x_0, x_1, \cdots, x_n\right]\left(x-x_0\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right) \\
& +f\left[x, x_0, \cdots, x_n\right]\left(x-x_0\right) \cdots\left(x-x_n\right)
\end{aligned}
$$

记

$$
\begin{align*}
N_n(x)= & f\left(x_0\right)+f\left[x_0, x_1\right]\left(x-x_0\right) \\
& +f\left[x_0, x_1, x_2\right]\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)+\cdots \\
& +f\left[x_0, x_1, \cdots, x_n\right]\left(x-x_0\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right) \tag{5.16}
\end{align*}
$$

显然上式满足插值条件 $N_n\left(x_i\right)=y_i(i=0,1,2, \cdots, n)$ ，且次数不超过 $n$ ，称其为牛顿插值多项式。

$$
\begin{equation*}
R_n(x)=f(x)-N_n(x)=f\left[x, x_0, \cdots, x_n\right]\left(x-x_0\right) \cdots\left(x-x_n\right) \tag{5.17}
\end{equation*}
$$

为牛顿插值多项式的余项。
若记

$$
\omega_0(x)=1, \quad \omega_k(x)=\left(x-x_{k-1}\right) \omega_{k-1}(x), \quad k=1,2, \cdots, n,
$$

则

$$
\begin{gathered}
N_n(x)=f\left(x_0\right) \omega_0(x)+f\left[x_0, x_1\right] \omega_1(x)+\cdots+f\left[x_0, x_1, \cdots, x_n\right] \omega_n(x), \\
R_n(x)=f\left[x, x_0, \cdots, x_n\right] \omega_{n+1}(x),
\end{gathered}
$$

称 $\omega_k(x)(k=1,2, \cdots, n)$ 为牛顿插值多项式的基函数。
牛顿插值多项式的系数为均差表中各阶均差的第一个值。
例 5.2 根据表 5.2 的函数值表，求 3 次牛顿插值多项式。
解 根据表 5.3 的均差值表，对插值节点 $x_0=-2, x_1=1, x_2=0, x_3=1$ ， $x_4=3$ ，有

$$
\begin{aligned}
& f\left(x_0\right)=-56, \\
& f\left[x_0, x_1\right]=40, \\
& f\left[x_0, x_1, x_2\right]=-13, \\
& f\left[x_0, x_1, x_2, x_3\right]=2,
\end{aligned}
$$

故所求插值函数为

$$
N_3(x)=-56+40(x+2)-13(x+2)(x+1)+2(x+2)(x+1) x,
$$

根据代数插值的存在唯一性定理，$n$ 次牛顿插值公式与 $n$ 次拉格朗日插值公式是等价的，即

$$
N_n(x)=L_n(x),
$$

故牛顿插值余项也可以用拉格朗日插值余项表示，

$$
R_n(x)=f\left[x, x_0, \cdots, x_n\right] \omega_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \omega_{n+1}(x)
$$

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