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分段低次插值

5.4 分段低次插值

对于一个确定的插值区间，如果插值节点的间距较小，插值节点对应就会增多，当插值节点增多的时候，如果直接用拉格朗日插值或者牛顿插值的话，插值多项式的次数就会升高，一般会认为插值多项式的次数越高，逼近被插值函数的精度也会越好，但实际并非如此。

5．4．1 高次插值的龙格现象
20 世纪初，龙格（Runge）给出了一个等距节点高次插值多项式不收敛的例子，称为龙格反例．

例 5.3 设 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}(-5 \leqslant x \leqslant 5)$ ，取等距插值节点构造 10 次插值多项式，并绘图比较插值多项式与被插值函数的差异．

解 函数 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ 在区间 $[-5,5]$ 上各阶导数均存在．
取插值节点 $x_k=-5+k(k=0,1, \cdots, 10)$ ，计算函数值

$$
y_k=f\left(x_k\right) \quad(k=0,1, \cdots, 10) .
$$

构造 10 次拉格朗日插值多项式 $L_{10}(x)$ ，画出 $y=L_{10}(x)$ 及 $y=\frac{1}{1+x^2}$ 在区间 $[-5,5]$上的图形，见图 5．1．

![图片](/uploads/2026-06/974bd4.jpg)
 
 图 5.1 中实线为被插值函数 $f(x)$ 的图形，虚线为插值函数 $y=L_{10}(x)$ 的图形，小圆圈则是插值节点处的函数值．由图5．1 上可以看出，在 $x= \pm 5$ 附近 $L_{10}(x)$ 与 $f(x)= \frac{1}{1+x^2}$ 偏离很远，这说明用高次插值多项式逼近 $f(x)$ 时效果并不好，因此一般不用高次插值。

既然高次插值会出现插值多项式发生振荡的龙格现象，那么当插值区间确定时，如何处理才能使插值效果更好些呢？通常采用的方法是分段低次插值．

5．4．2 分段线性插值
分段线性插值是指在任意两个相邻的插值节点上构造拉格朗日线性插值多项式，用分段线性函数逼近被插值函数 $f(x)$ ．

设给定插值节点 $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ 及节点处的函数值

$$
y_i=f\left(x_i\right), \quad i=0,1,2, \cdots, n,
$$

任取两个相邻的节点 $x_k, x_{k+1}$ ，构成插值区间 $\left[x_k, x_{k+1}\right]$ ，在该区间上构造拉格朗日线性插值多项式

$$
\begin{aligned}
L_1^{(k)}(x) & =y_k l_k(x)+y_{k+1} l_{k+1}(x) \\
& =y_k \frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}}+y_{k+1} \frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k}
\end{aligned}
$$

在每两个相邻节点对应的区间上都进行拉格朗日线性插值，则在整个区间 $[a, b]$上得到了分段插值多项式

$$
L_1(x)= \begin{cases}L_1^{(0)}(x), & x_0 \leqslant x<x_1  \tag{5.18}\\ L_1^{(1)}(x), & x_1 \leqslant x<x_2 \\ \cdots \cdots & \\ L_1^{(n-1)}(x), & x_{n-1} \leqslant x \leqslant x_n .\end{cases}
$$

显然，分段函数 $L_1(x)$ 满足插值条件

$$
L_1\left(x_i\right)=y_i, \quad i=0,1, \cdots, n,
$$

称 $L_1(x)$ 为分段线性拉格朗日插值多项式。
分段线性插值的图像是连接插值节点的一条折线，如图 5.2 所示．

![图片](/uploads/2026-06/f31269.jpg)
 
 故分段线性插值也称折线插值．
如果增加插值节点的数量，减小步长 $h$ ，则分段线性插值多项式 $L_1(x)$ 逼近 $f(x)$的效果会更好．若 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则

$$
\lim _{h \rightarrow 0} L_1(x)=f(x) .
$$

分段线性拉格朗日插值多项式的误差估计可由插值余项表达式（5．11）得到

$$
\begin{align*}
R_1(x) & =f(x)-L_1(x)=f(x)-L_1^{(k)}(x) \\
& =\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2}\left(x-x_k\right)\left(x-x_{k+1}\right), \quad \xi, x \in\left[x_k, x_{k+1}\right], \text { 且 } \xi \text { 与 } x \text { 有关. } \tag{5.19}
\end{align*}
$$

故

$$
\begin{aligned}
\left|R_1(x)\right| & \leqslant \frac{1}{2} \cdot \max _{a \leqslant x \leqslant b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \cdot \max _{a \leqslant x \leqslant b}\left|\left(x-x_k\right)\left(x-x_{k+1}\right)\right| \\
& \leqslant \frac{1}{2} \cdot M_2 \cdot \frac{1}{4} h^2=\frac{1}{8} M_2 h^2,
\end{aligned}
$$

其中 $M_2=\max _{a \leqslant x \leqslant b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．

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