最后更新: 2026-06-22 15:33 查看: 2 次纠错评论(0) 课件开VIP

埃尔米特插值

5.5 埃尔米特插值

拉格朗日插值和牛顿插值虽然构造比较简单，但当插值区间上给定节点较多时，如果直接利用高次插值会出现龙格现象，若采用分段低次插值，则存在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点。可采用节点处的函数值和导数值都相等作为插值条件来解决插值曲线不光滑的问题，满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite）插值多项式．

5．5．1 埃尔米特插值公式及余项
给定插值节点 $a \leqslant x_0<x_1<\cdots<x_n \leqslant b$ ，

$$
y_i=f\left(x_i\right), \quad m_i=f^{\prime}\left(x_i\right), \quad i=0,1,2, \cdots, n,
$$

求插值多项式 $H(x)$ ，满足条件

$$
\begin{equation*}
H\left(x_i\right)=y_i, \quad H^{\prime}\left(x_i\right)=m_i, \quad i=0,1,2, \cdots, n, \tag{5.20}
\end{equation*}
$$

$H(x)$ 即为埃尔米特插值多项式。
插值条件中给出了 $2 n+2$ 个条件，可以唯一确定一个次数不超过 $2 n+1$ 次的多项式

$$
\begin{equation*}
H_{2 n+1}(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_{2 n+1} x^{2 n+1} \tag{5.21}
\end{equation*}
$$

多项式 $H_{2 n+1}(x)$ 有 $2 n+2$ 个待定系数，若直接根据条件（5．20）来确定的话显然比较复杂，可采用拉格朗日插值多项式的基函数方法进行构造。

设

$$
H_{2 n+1}(x)=\sum_{i=0}^n\left[\alpha_i(x) y_i+\beta_i(x) m_i\right]
$$

其中 $\alpha_i(x), \beta_i(x)$ 为插值基函数，都是 $2 n+1$ 次多项式，且满足条件

$$
\begin{gathered}
\alpha_i\left(x_k\right)=\delta_{i k}= \begin{cases}0, & i \neq k, \\
1, & i=k,\end{cases} \\
\alpha_i^{\prime}\left(x_k\right)=0, \\
\beta_i\left(x_k\right)=0, \\
\beta_i^{\prime}\left(x_k\right)=\delta_{i k}=\left\{\begin{array}{ll}
0, & i \neq k, \\
1, & i=k,
\end{array} \quad i, k=0,1,2, \cdots, n\right.
\end{gathered}
$$

显然，满足上述条件的 $H_{2 n+1}(x)$ 也满足插值条件（5．20）．利用待定系数法确定插值基函数 $\alpha_i(x), \beta_i(x)$ 即可。

若 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内的 $2 n+2$ 阶导数存在，则埃尔米特插值多项式的余项表达式为

$$
\begin{equation*}
R_n(x)=f(x)-H_{2 n+1}(x)=\frac{f^{(2 n+2)}(\xi)}{(2 n+2)!} \omega_{n+1}^2(x), \tag{5.22}
\end{equation*}
$$

其中 $\xi \in(a, b)$ 且与 $x$ 有关．具体证明过程略．

若插值多项式的次数太高则会出现龙格现象，影响收敛性和稳定性，因此 $2 n+1$不宜太大，当插值节点较多时，可采用分段插值的思想，即每相邻两个节点进行三次埃尔米特插值，这样既能避免多项式次数太高，又保证了连接点处的光滑性。

下面将以 $n=1$ 为例具体介绍两点三次埃尔米特插值多项式的构造方法．
5．5．2 两点三次埃尔米特插值多项式
已知函数 $f(x)$ 在节点 $x_0, x_1$ 处的函数值为 $y_0, y_1$ ，一阶导数值为 $m_0, m_1$ ，构造三次插值多项式 $H_3(x)$ ，满足条件

$$
\begin{array}{ll}
H_3\left(x_0\right)=y_0, & H_3\left(x_1\right)=y_1, \\
H_3^{\prime}\left(x_0\right)=m_0, & H_3^{\prime}\left(x_1\right)=m_1 . \tag{5.23}
\end{array}
$$

和前面的拉格朗日插值方法类似，这里采用基函数的方法进行。设

$$
\begin{equation*}
H_3(x)=\alpha_0(x) y_0+\alpha_1(x) y_1+\beta_0(x) m_0+\beta_1(x) m_1, \tag{5.24}
\end{equation*}
$$

这里基函数 $\alpha_0(x), \alpha_1(x), \beta_0(x), \beta_1(x)$ 均为三次多项式，且在插值节点 $x_0, x_1$ 上满足条件

$$
\alpha_0\left(x_0\right)=1, \quad \alpha_0\left(x_1\right)=0, \quad \alpha_0^{\prime}\left(x_0\right)=0, \quad \alpha_0^{\prime}\left(x_1\right)=0 ;
$$

$$
\begin{array}{llll}
\alpha_1\left(x_0\right)=0, & \alpha_1\left(x_1\right)=1, & \alpha_1^{\prime}\left(x_0\right)=0, & \alpha_1^{\prime}\left(x_1\right)=0 ; \\
\beta_0\left(x_0\right)=0, & \beta_0\left(x_1\right)=0, & \beta_0^{\prime}\left(x_0\right)=1, & \beta_0^{\prime}\left(x_1\right)=0 ; \\
\beta_1\left(x_0\right)=0, & \beta_1\left(x_1\right)=0, & \beta_1^{\prime}\left(x_0\right)=0, & \beta_1^{\prime}\left(x_1\right)=1 .
\end{array}
$$

显然，满足上述条件的 $H_3(x)$ 是满足插值条件（5．23）的．
下面进行基函数 $\alpha_0(x), \alpha_1(x), \beta_0(x), \beta_1(x)$ 的确定。由条件 $\alpha_0\left(x_1\right)=0$ 和 $\alpha_0^{\prime}\left(x_1\right)=0$可知，$x_1$ 是 $\alpha_0(x)$ 的二重零点，故可假设

$$
\alpha_0(x)=\left(x-x_1\right)^2(a x+b) .
$$

再由 $\alpha_0\left(x_0\right)=1$ 和 $\alpha_0^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ，可得

$$
\begin{gathered}
a=-\frac{2}{\left(x_0-x_1\right)^3}, \\
b=\frac{1}{\left(x_0-x_1\right)^2}+\frac{2 x_0}{\left(x_0-x_1\right)^3},
\end{gathered}
$$

故

$$
\alpha_0(x)=\left(x-x_1\right)^2\left(-\frac{2 x}{\left(x_0-x_1\right)^3}+\frac{1}{\left(x_0-x_1\right)^2}+\frac{2 x_0}{\left(x_0-x_1\right)^3}\right),
$$

化简得

$$
\alpha_0(x)=\left(1+2 \frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)^2,
$$

或记为

$$
\alpha_0(x)=\left(1+2 l_1(x)\right) \cdot l_0^2(x)
$$

其中 $l_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}, ~ l_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$ 为拉格朗日线性插值基函数．
同理可得

$$
\begin{gathered}
\alpha_1(x)=\left(1+2 \frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)\left(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)^2=\left(1+2 l_0(x)\right) \cdot l_1^2(x), \\
\beta_0(x)=\left(x-x_0\right)\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)^2=\left(x-x_0\right) \cdot l_0^2(x), \\
\beta_1(x)=\left(x-x_1\right)\left(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)^2=\left(x-x_1\right) \cdot l_1^2(x) .
\end{gathered}
$$
 将上面式子代入式（5．24）即可得两点三次埃尔米特插值多项式．
由式（5．22），三次埃尔米特插值多项式的余项表达式为

$$
\begin{equation*}
R_3(x)=f(x)-H_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}\left(x-x_0\right)^2\left(x-x_1\right)^2 . \tag{5.25}
\end{equation*}
$$

证明过程请读者自行完成．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：分段低次插值

下一篇：三次样条插值（1）

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)