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三次样条插值（1）

5.6 三次样条插值

分段线性插值导数不连续，连接点处有尖点，分段三次埃尔米特插值虽具有较好的光滑性，但是只有当被插值函数在插值节点处的函数值和导数值已知时才能使用，这在实际问题中是不现实的，因为一般情况下不可能也没有必要知道函数在插值节点处的导数值．样条插值方法克服了上述缺点，只需要在插值区间端点多加两个边界条件，就可以构造出光滑性更好的插值函数．

样条插值的思想来源于工程实际问题．在早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条用压铁固定在样点上，其他地方自然弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线。样条曲线本质上是由一段一段的三次多项式拼合而成的，在拼接处，不仅函数是连续的，且一阶和二阶导数也是连续的． 1946 年，勋伯格（Schoenberg）将样条的概念引入数学，即所谓的样条函数．

5．6．1 三次样条插值函数的定义
给定区间 $[a, b]$ 上的一个划分

$$
a \leqslant x_0<x_1<\cdots<x_n \leqslant b
$$

已知函数 $f(x)$ 在节点 $x_i$ 处的函数值为

$$
y_j=f\left(x_j\right), \quad j=0,1,2, \cdots, n,
$$

如果存在分段函数

$$
S(x)=\left\{\begin{align*}
S_1(x), & x \in\left[x_0, x_1\right],  \tag{5.26}\\
S_2(x), & x \in\left[x_1, x_2\right], \\
& \ldots \ldots \\
S_n(x), & x \in\left[x_{n-1}, x_n\right],
\end{align*}\right.
$$

其中 $S_j(x)(j=1,2, \cdots, n)$ 是三次多项式，且 $S(x)$ 在每一个内接点 $x_j(j=1,2, \cdots, n-1)$ 上具有直到二阶的连续导数，则称 $S(x)$ 为节点 $x_0, x_1, \cdots, x_n$ 上的三次样条函数。

若在节点 $x_0, x_1, \cdots, x_n$ 上还满足插值条件

$$
\begin{equation*}
S\left(x_j\right)=y_j, \quad j=0,1,2, \cdots, n, \tag{5.27}
\end{equation*}
$$

则称 $S(x)$ 为三次样条插值函数。
5．6．2 三次样条插值函数的确定
由于 $S(x)$ 在每个小区间 $\left[x_{j-1}, x_j\right]$ 上是一个三次多项式，可将该区间上的多项式记为 $S_j(x)$ ，设

$$
S_j(x)=a_j x^3+b_j x^2+c_j x+d_j, \quad x \in\left[x_{j-1}, x_j\right], \quad i=1,2, \cdots, n,
$$

则分段函数 $S(x)$ 有 $4 n$ 个待定系数．
分析三次样条插值函数的条件，由于 $S(x)$ 在每一个内接点 $x_j(j=1,2, \cdots, n-1)$ 上具有直到二阶的连续导数，即 $S(x), S^{\prime}(x), S^{\prime \prime}(x)$ 在 $x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}$ 处连续，则

$$
\begin{aligned}
& S\left(x_j-0\right)=S\left(x_j+0\right), \\
& S^{\prime}\left(x_j-0\right)=S^{\prime}\left(x_j+0\right), \quad j=1,2, \cdots, n-1 \\
& S^{\prime \prime}\left(x_j-0\right)=S^{\prime \prime}\left(x_j+0\right),
\end{aligned}
$$

共有 $3 n-3$ 个条件．
又由 $S(x)$ 在节点 $x_0, x_1, \cdots, x_n$ 上满足插值条件 $S\left(x_i\right)=y_i, i=0,1,2, \cdots, n$ ，可得 $n+1$个条件，共有 $4 n-2$ 个条件，需要确定 $4 n$ 个未知数，为了保证样条插值问题求解的唯一性，需要添加两个约束条件．在实际应用中，通常规定插值函数在区间 $[a, b]$ 的左右端点处满足某种条件，称边界条件．常见的边界条件有三类．

第一类：转角边界条件，即给定端点处的一阶导数值，

$$
S^{\prime}\left(x_0+0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right), \quad S^{\prime}\left(x_n-0\right)=f^{\prime}\left(x_n\right) .
$$

第二类：弯矩边界条件，即给定端点处的二阶导数值，

$$
S^{\prime \prime}\left(x_0+0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right), \quad S^{\prime \prime}\left(x_n-0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_n\right) .
$$

第三类：周期边界条件，即当 $f(x)$ 是以 $b-a$ 为周期的周期函数时，则要求 $S(x)$也是周期函数，这时边界条件应满足当 $f(a)=f(b)$（即 $f\left(x_0\right)=f\left(x_n\right)$ ）时，

$$
S^{\prime}\left(x_0\right)=S^{\prime}\left(x_n\right), \quad S^{\prime \prime}\left(x_0\right)=S^{\prime \prime}\left(x_n\right) .
$$

加上边界条件，即可得 $4 n$ 个方程，可唯一地确定 $4 n$ 个待定系数．
在第二类边界条件中，当 $S^{\prime \prime}\left(x_0+0\right)=S^{\prime \prime}\left(x_n-0\right)=0$ 时称为自然边界条件，工程中常用自然边界条件求样条插值函数，这类插值函数称为自然样条．

利用样条函数的插值条件和连续性条件列出线性方程组并求解，是一种构造样条的原始方法．

例 5.4 取函数 $f(x)=x^2$ 的三个函数值 $f(-1)=1, f(0)=0, f(1)=1$ ，求 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的三次自然样条插值函数，并比较两个函数的曲线．

解 设

$$
S(x)= \begin{cases}a_1 x^3+b_1 x^2+c_1 x+d_1, & x \in[-1,0], \\ a_2 x^3+b_2 x^2+c_2 x+d_2, & x \in[0,1],\end{cases}
$$

由插值条件 $S(-1)=1, S(0)=0, S(1)=1$ 可得

$$
-a_1+b_1-c_1+d_1=1, \quad d_1=0, \quad d_2=0, \quad a_2+b_2+c_2+d_2=1
$$

由 $S(x)$ 在 $x=0$ 处一阶和二阶导数连续，$S^{\prime}\left(0^{-}\right)=S^{\prime}\left(0^{+}\right), S^{\prime \prime}\left(0^{-}\right)=S^{\prime \prime}\left(0^{+}\right)$可得

$$
c_1=c_2, \quad b_1=b_2
$$

由自然边界条件 $S^{\prime \prime}\left(-1^{+}\right)=S^{\prime \prime}\left(1^{-}\right)=0$ 得

$$
-6 a_1+2 b_1=0, \quad 6 a_2+2 b_2=0
$$

联立上面的 8 个方程，可得

$$
a_1=\frac{1}{2}, \quad a_2=-\frac{1}{2}, \quad b_1=\frac{3}{2}, \quad b_2=\frac{3}{2}, \quad c_1=c_2=d_1=d_2=0
$$

代入 $S(x)$ 的表达式，得

$$
S(x)= \begin{cases}\frac{1}{2} x^3+\frac{3}{2} x^2, & x \in[-1,0], \\ -\frac{1}{2} x^3+\frac{3}{2} x^2, & x \in[0,1] .\end{cases}
$$

被插值函数和样条函数的图形比较如图 5.3 所示．

![图片](/uploads/2026-06/5b7d54.jpg)
 
 
 5．6．3 三次样条插值函数的构造

1．用一阶导数值构造三次样条插值函数（三转角算法）
设样条插值函数在插值节点处的导数值为

$$
S^{\prime}\left(x_j\right)=m_j, \quad j=0,1,2, \cdots, n .
$$

若计算出一阶导数值 $m_j(j=0,1,2, \cdots, n)$ ，即可通过分段两点三次埃尔米特插值得到分段三次样条插值多项式。

不妨设插值节点是等距节点，步长为 $h$ ，即 $x_{j+1}-x_j=h, j=0,1,2, \cdots, n-1$ ，当 $x \in\left[x_j, x_{j+1}\right]$ 时，利用分段三次埃尔米特插值多项式表示 $S(x)$ 可得

$$
\begin{equation*}
S_{j+1}(x)=y_j \alpha_j(x)+y_{j+1} \alpha_{j+1}(x)+m_j \beta_j(x)+m_{j+1} \beta_{j+1}(x) \tag{5.28}
\end{equation*}
$$

其中

$$
\begin{gathered}
\alpha_j(x)=\left(1+2 \frac{x-x_j}{x_{j+1}-x_j}\right)\left(\frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}}\right)^2, \\
\alpha_{j+1}(x)=\left(1+2 \frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}}\right)\left(\frac{x-x_j}{x_{j+1}-x_j}\right)^2, \\
\beta_j(x)=\left(x-x_j\right)\left(\frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}}\right)^2,
\end{gathered}
$$

$$
\beta_{j+1}(x)=\left(x-x_{j+1}\right)\left(\frac{x-x_j}{x_{j+1}-x_j}\right)^2
$$

可利用样条插值函数的二阶连续性

$$
S^{\prime \prime}\left(x_j-0\right)=S^{\prime \prime}\left(x_j+0\right)
$$

即

$$
S_j^{\prime \prime}\left(x_j\right)=S_{j+1}^{\prime \prime}\left(x_j\right)
$$

建立 $m_j(j=0,1,2, \cdots, n)$ 满足的方程．首先在小区间 $\left[x_j, x_{j+1}\right]$ 的左端点 $x_j$ 处，有

$$
\left\{\begin{array}{l}
\alpha_j^{\prime \prime}\left(x_j\right)=\left[\frac{-8}{h^3}\left(x_{j+1}-x\right)+\left(1+2 \frac{x-x_j}{h}\right) \frac{2}{h^2}\right]_{x=x_j}=-\frac{6}{h^2} \\
\alpha_{j+1}^{\prime \prime}\left(x_j\right)=\left[\frac{-8}{h^3}\left(x-x_j\right)+\left(1+2 \frac{x_{j+1}-x}{h}\right) \frac{2}{h^2}\right]_{x=x_j}=\frac{6}{h^2}
\end{array}\right.
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}
\beta_j^{\prime \prime}\left(x_j\right)=\left[\frac{4}{h^2}\left(x-x_{j+1}\right)+\left(x-x_j\right) \frac{2}{h^2}\right]_{x=x_j}=-\frac{4}{h} \\
\beta_{j+1}^{\prime \prime}\left(x_j\right)=\left[\frac{4}{h^2}\left(x-x_j\right)+\left(x-x_{j+1}\right) \frac{2}{h^2}\right]_{x=x_j}=\frac{2}{h}
\end{array}\right.
$$

故

$$
\begin{equation*}
S_{j+1}^{\prime \prime}\left(x_j\right)=-\frac{6}{h^2} y_j+\frac{6}{h^2} y_{j+1}-\frac{4}{h} m_j-\frac{2}{h} m_{j+1}, \tag{5.29}
\end{equation*}
$$

同理可得

$$
\begin{equation*}
S_j^{\prime \prime}\left(x_j\right)=\frac{6}{h^2} y_{j-1}-\frac{6}{h^2} y_j+\frac{2}{h} m_{j-1}+\frac{4}{h} m_j, \tag{5.30}
\end{equation*}
$$

令式（5．29）和（5．30）右端相等，整理得

$$
\begin{equation*}
m_{j-1}+4 m_j+m_{j+1}=\frac{3}{h}\left(y_{j+1}-y_{j-1}\right), \quad j=1,2, \cdots, n-1, \tag{5.31}
\end{equation*}
$$

可得 $n-1$ 个方程．
补充自然样条的边界条件，$S^{\prime \prime}\left(x_0\right)=S^{\prime \prime}\left(x_n\right)=0$ ，得

$$
\left\{\begin{array}{l}
2 m_0+m_1=\frac{3}{h}\left(y_1-y_0\right),  \tag{5.32}\\
m_{n-1}+2 m_n=\frac{3}{h}\left(y_n-y_{n-1}\right),
\end{array}\right.
$$

记

$$
g_0=\frac{3\left(y_1-y_0\right)}{h}, \quad g_n=\frac{3\left(y_n-y_{n-1}\right)}{h}, \quad g_j=\frac{3\left(y_{j+1}-y_{j-1}\right)}{h}, \quad j=1,2, \cdots, n-1 .
$$

将式（5．31）和（5．32）联立，可得关于 $m_j(j=0,1,2, \cdots, n)$ 的 $n+1$ 个方程构成的线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
2 m_0+m_1=g_0 \\
m_0+4 m_1+m_2=g_1 \\
\quad \ldots \ldots \\
m_{n-2}+4 m_{n-1}+m_n=g_{n-1} \\
m_{n-1}+2 m_n=g_n
\end{array}\right.
$$

其矩阵形式为

$$
\left(\begin{array}{cccccc}
2 & 1 & & & & \\
1 & 4 & 1 & & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & & \\
& & & 1 & 4 & 1 \\
& & & & 1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
m_0 \\
m_1 \\
\vdots \\
m_{n-1} \\
m_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
g_0 \\
g_1 \\
\vdots \\
g_{n-1} \\
g_n
\end{array}\right)
$$

求解该线性方程组（可用追赶法）可得样条插值函数在插值节点处的一阶导数值 $m_j(j=0,1,2, \cdots, n)$ ，代入式（5．28）便可得到三次样条插值的表达式。

例 5.5 对龙格反例中的函数 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}(-5 \leqslant x \leqslant 5)$ 作三次样条插值．
解 取插值节点 $x_k=-5+k(k=0,1, \cdots, 10)$ ，计算函数值

$$
y_k=f\left(x_k\right), \quad k=0,1, \cdots, 10
$$

利用数据 $\left(x_k, y_k\right)(k=0,1, \cdots, 10)$ 构造三次自然样条函数 $S(x)$ ，计算 $t_k=-5+ 0.01 k(k=0,1, \cdots, 200)$ 处的样条函数值 $u_k=S\left(x_k\right)$ ，利用数据 $\left(t_k, u_k\right)(k=0,1, \cdots, 200)$ 绘图如图 5．4．

![图片](/uploads/2026-06/4cf265.jpg)
 
 从图 5.4 可见，样条插值完全克服了高次多项式插值的振荡现象．
当插值节点不是等距节点时，令 $x_j-x_{j-1}=h_j, j=1,2, \cdots, n$ ，则插值节点处的一阶导数值 $m_j(j=0,1,2, \cdots, n)$ 满足的三对角方程组如下：

$$
\frac{1}{h_{j-1}} m_{j-1}+2\left(\frac{1}{h_{j-1}}+\frac{1}{h_j}\right) m_j+\frac{1}{h_j} m_{j+1}=3\left[\frac{y_{j+1}-y_j}{h_j^2}+\frac{y_j-y_{j-1}}{h_{j-1}^2}\right], \quad j=1,2, \cdots, n-1 .
$$

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