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三次样条插值（2）

2．用二阶导数值构造三次样条插值函数（三弯矩算法）
设样条插值函数在插值节点处的二阶导数值为

$$
S^{\prime \prime}\left(x_j\right)=M_j, \quad j=0,1,2, \cdots, n .
$$

记 $h_j=x_j-x_{j-1}(j=1,2, \cdots, n)$ ，因为 $S(x)$ 在每个小区间 $\left[x_{j-1}, x_j\right]$ 上是三次多项式，故 $S^{\prime \prime}(x)$ 是一次多项式，由线性插值公式可得

$$
S^{\prime \prime}(x)=\frac{x_j-x}{h_j} M_{j-1}+\frac{x-x_{j-1}}{h_j} M_j
$$

对上式左右两端同时积分，得

$$
S^{\prime}(x)=-\frac{\left(x_j-x\right)^2}{2 h_j} M_{j-1}+\frac{\left(x-x_{j-1}\right)^2}{2 h_j} M_j+c_1,
$$

继续积分，得 $S(x)$ 的表达式

$$
S(x)=\frac{1}{6 h_j}\left[\left(x_j-x\right)^3 M_{j-1}+\left(x-x_{j-1}\right)^3 M_j\right]+c_1 x+c_2
$$

将插值条件 $S\left(x_{j-1}\right)=y_{j-1}, S\left(x_j\right)=y_j$ 代入上式，确定积分常数 $c_1$ 和 $c_2$ ，可得三次样条插值多项式

条插值多项式

$$
\begin{gather*}
S(x)=\frac{1}{6 h_j}\left[\left(x_j-x\right)^3 M_{j-1}+\left(x-x_{j-1}\right)^3 M_j\right] \\
+\left(y_{j-1}-\frac{h_j^2}{6} M_{j-1}\right) \frac{x_j-x}{h_j}+\left(y_j-\frac{h_j^2}{6} M_j\right) \frac{x-x_{j-1}}{h_j} \\
\quad j=1,2, \cdots, n \tag{5.33}
\end{gather*}
$$

上式称为 $M$ 表达式，只需确定 $M_j(j=0,1,2, \cdots, n)$ ，即可得到三次样条插值函数的具体形式。

为了确定 $M_j(j=0,1,2, \cdots, n)$ ，将 $M$ 表达式两端对 $x$ 求导，得

$$
\begin{aligned}
S^{\prime}(x)= & \frac{1}{2 h_j}\left[-\left(x_j-x\right)^2 M_{j-1}+\left(x-x_{j-1}\right)^2 M_j\right] \\
& +\frac{1}{h_j}\left(y_j-y_{j-1}\right)+\frac{h_j}{6}\left(M_{j-1}-M_j\right)
\end{aligned}
$$

令 $x=x_j$ ，得左导数

$$
S^{\prime}\left(x_j-0\right)=\frac{h_j}{6} M_{j-1}+\frac{h_j}{3} M_j+\frac{y_j-y_{j-1}}{h_j},
$$

令 $x=x_{j-1}$ ，得右导数

$$
S^{\prime}\left(x_{j-1}+0\right)=-\frac{h_j}{3} M_{j-1}-\frac{h_j}{6} M_j+\frac{y_j-y_{j-1}}{h_j},
$$

故

$$
S^{\prime}\left(x_j+0\right)=-\frac{h_{j+1}}{3} M_j-\frac{h_{j+1}}{6} M_{j+1}+\frac{y_{j+1}-y_j}{h_{j+1}}
$$

因 $S(x)$ 满足一阶导数连续，即

$$
S^{\prime}\left(x_j-0\right)=S^{\prime}\left(x_j+0\right)
$$

得

$$
\frac{h_j}{6} M_{j-1}-\frac{h_j}{3} M_j+\frac{y_j-y_{j-1}}{h_j}=-\frac{h_{j+1}}{3} M_j-\frac{h_{j+1}}{6} M_{j+1}+\frac{y_{j+1}-y_j}{h_{j+1}} .
$$

上式整理可得

$$
\frac{h_j}{h_j+h_{j+1}} M_{j-1}+2 M_j+\frac{h_{j+1}}{h_j+h_{j+1}} M_{j+1}=\frac{6}{h_j+h_{j+1}}\left(\frac{y_{j+1}-y_j}{h_{j+1}}-\frac{y_j-y_{j-1}}{h_j}\right) .
$$

若记

$$
\begin{gathered}
\mu_j=\frac{h_j}{h_j+h_{j+1}}, \quad \lambda_j=\frac{h_{j+1}}{h_j+h_{j+1}}=1-\mu_j, \\
d_j=\frac{6}{h_j+h_{j+1}}\left(\frac{y_{j+1}-y_j}{h_{j+1}}-\frac{y_j-y_{j-1}}{h_j}\right)=6 f\left(x_{j-1}, x_j, x_{j+1}\right),
\end{gathered}
$$

则可得关于 $M_j$ 的 $n-1$ 个方程

$$
\mu_j M_{j-1}+2 M_j+\lambda_j M_{j+1}=d_j, \quad j=1,2, \cdots, n .
$$

添加边界条件，即可确定 $M_j$ ．
对于自然边界条件，可直接得 $M_0=M_n=0$ ．
对于转角边界条件，$S^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right)=y_0^{\prime}, S^{\prime}\left(x_n\right)=f^{\prime}\left(x_n\right)=y_n^{\prime}$ ，得

$$
\begin{gathered}
S^{\prime}\left(x_0+0\right)=-\frac{h_1}{3} M_0-\frac{h_1}{6} M_1+\frac{y_1-y_0}{h_1}=y_0^{\prime} \\
S^{\prime}\left(x_n-0\right)=\frac{h_n}{6} M_{n-1}+\frac{h_n}{3} M_n+\frac{y_n-y_{n-1}}{h_n}=y_n^{\prime}
\end{gathered}
$$

或记为

$$
\left\{\begin{array}{l}
2 M_0+M_1=d_0 \\
M_{n-1}+2 M_n=d_n
\end{array}\right.
$$

其中

$$
d_0=\frac{6}{h_0}\left(\frac{y_1-y_0}{h_1}-y_0^{\prime}\right), \quad d_n=\frac{6}{h_n}\left(y_n^{\prime}-\frac{y_n-y_{n-1}}{h_n}\right),
$$

则求 $M_j$ 的线性方程组的矩阵形式为

$$
\left(\begin{array}{cccccc}
2 & \lambda_0 & & & & \\
\mu_1 & 2 & \lambda_1 & & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & & \\
& & & \mu_{n-1} & 2 & \lambda_{n-1} \\
& & & & \mu_n & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
M_0 \\
M_1 \\
\vdots \\
M_{n-1} \\
M_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
d_0 \\
d_1 \\
\vdots \\
d_{n-1} \\
d_n
\end{array}\right)
$$

对于周期边界条件，$M_0=M_n, y_0=y_n$ ，只需确定 $n$ 个未知量 $M_j(j=1,2, \cdots, n)$即可。由

$$
\mu_j M_{j-1}+2 M_j+\lambda_j M_{j+1}=d_j
$$

当 $j=n$ 时，$M_{n+1}=M_1, y_{n+1}=y_1, h_{n+1}=h_1$ ，故

$$
\mu_n M_{n-1}+2 M_n+\lambda_n M_1=d_n
$$

求 $M_j$ 的线性方程组的矩阵形式为

$$
\left(\begin{array}{cccccc}
2 & \lambda_1 & & & & \\
\mu_2 & 2 & \lambda_2 & & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & & \\
& & & \mu_{n-1} & 2 & \lambda_{n-1} \\
\lambda_n & & & & \mu_n & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
M_1 \\
M_2 \\
\vdots \\
M_{n-1} \\
M_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
d_1 \\
d_2 \\
\vdots \\
d_{n-1} \\
d_n
\end{array}\right) .
$$

$M_j$ 在力学上解释为细梁在 $x_j$ 截面处的弯矩，称为样条函数 $S(x)$ 的矩，故上述方程组又称为三弯矩方程组．该方程组是严格对角占优的三对角方程组，有唯一解，可用追赶法求解．

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