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正交多项式

6.2 正交多项式

正交多项式是由多项式构成的正交函数系，在很多方面都有重要的应用，比如函数逼近、统计回归、数值积分等．
6．2．1 正交函数系与正交多项式

1．正交函数系的概念
定义 6.2 设 $f(x), g(x) \in C[a, b], \rho(x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的非负函数，则称

$$
(f, g)=\int_a^b \rho(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x
$$

为 $[a, b]$ 上以 $\rho(x)$ 为权函数的内积．
定义 6.3 设 $f(x), g(x) \in C[a, b], \rho(x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的权函数，若

$$
(f, g)=\int_a^b \rho(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x=0
$$

成立，则称 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上带权正交．当 $\rho(x)=1$ 时简称正交．
例 6.1 设 $f(x)=x, g(x)=3 x^2-1$ ，试分析这两个函数在区间 $[-1,1]$ 上是否正交．
解 由于

$$
\int_{-1}^1 f(x) g(x) \mathrm{d} x=\int_{-1}^1\left(3 x^3-x\right) \mathrm{d} x=0,
$$

故 $f(x), g(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上正交．

定义 6.4 给定区间 $[a, b]$ 上的函数系 $\left\{\varphi_0(x), \varphi_1(x), \cdots, \varphi_n(x)\right\}$ ，若满足条件

$$
\left(\varphi_j(x), \varphi_k(x)\right)=\left\{\begin{array}{ll}
0, & j \neq k, \\
A_k>0, & j=k,
\end{array} \quad j, k=0,1,2, \cdots,\right.
$$

则称该函数系为 $[a, b]$ 上带权 $\rho(x)$ 正交的函数系．
例 6.2 分析函数系 $\{1, \cos \theta, \cos 2 \theta, \cdots, \cos k \theta, \cdots\}$ 在区间 $[-\pi, \pi]$ 上的正交性．
解 当 $m \neq n$ 时，

$$
\int_{-\pi}^\pi \cos (m \theta) \cos (n \theta) \mathrm{d} \theta=\frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi[\cos (m+n) \theta+\cos (m-n) \theta] \mathrm{d} \theta=0
$$

当 $m=n$ 时，

$$
\int_{-\pi}^\pi \cos (n \theta) \cos (n \theta) \mathrm{d} \theta=\pi,
$$

故函数系 $\{1, \cos \theta, \cos 2 \theta, \cdots, \cos k \theta, \cdots\}$ 是区间 $[-\pi, \pi]$ 上的正交函数系．
2．正交多项式
定义6．5 设 $\varphi_n(x)$ 是区间 $[a, b]$ 上首项系数 $a_n \neq 0$ 的 $n$ 次多项式，$\rho(x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的权函数，若多项式序列 $\left\{\varphi_k(x)\right\}(k=0,1,2, \cdots)$ 满足关系式

$$
\left(\varphi_j(x), \varphi_k(x)\right)=\int_a^b \rho(x) \varphi_j(x) \varphi_k(x) \mathrm{d} x= \begin{cases}0, & j \neq k,  \tag{6.6}\\ A_k>0, & j=k,\end{cases}
$$

则称多项式序列 $\left\{\varphi_k(x)\right\}(k=0,1,2, \cdots)$ 在区间 $[a, b]$ 上带权正交，$\varphi_n(x)$ 是区间 $[a, b]$ 上带权 $\rho(x)$ 的 $n$ 次正交多项式．

6．2．2 常用的正交多项式
下面给出几种常见的正交多项式．
1．勒让德多项式
勒让德（Legendre）多项式是区间［－1，1］上关于权函数 $\rho(x)=1$ 的正交多项式序列，其表达式为

$$
P_n(x)=\frac{1}{2^n n!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{~d} x^n}\left[\left(x^2-1\right)^n\right], \quad n=0,1,2, \cdots .
$$

勒让德多项式有以下一些重要性质。
1）正交性
勒让德多项式系 $\left\{P_n(x)\right\}$ 是在区间 $[-1,1]$ 上关于权函数 $\rho(x)=1$ 的正交多项式序列，满足

$$
\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) \mathrm{d} x= \begin{cases}0, & m \neq n, \\ \frac{2}{2 n+1}, & m=n .\end{cases}
$$

2）递推关系
相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式

$$
\left\{\begin{array}{l}
P_0(x)=1, \quad P_1(x)=x, \\
P_{n+1}(x)=\frac{2 n+1}{n+1} x P_n(x)-\frac{n}{n+1} P_{n-1}(x) .
\end{array}\right.
$$

由此可得

$$
\begin{aligned}
& P_2(x)=\frac{1}{2}\left(3 x^2-1\right) \\
& P_3(x)=\frac{1}{2}\left(5 x^3-3 x\right) \\
& P_4(x)=\left(35 x^4-30 x^2+3\right) / 8 \\
& P_5(x)=\left(63 x^5-70 x^3+15 x\right) / 8
\end{aligned}
$$

$$
P_6(x)=\left(231 x^6-351 x^4+105 x^2-5\right) / 16,
$$

3）零点性质
$n$ 次勒让德多项式系 $P_n(x)$ 的零点是 $n$ 个互异的实数，且全部落在区间 $[-1,1]$内部。
$P_2(x)$ 的两个零点：$\quad x_1=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad x_2=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ．
$P_3(x)$ 的三个零点：$x_1=-\sqrt{\frac{3}{5}}, x_2=0, x_3=\sqrt{\frac{3}{5}}$ ．
2．切比雪夫多项式
对于定义在区间 $[-1,1]$ 上的函数 $f(x)$ ，令 $x=\cos \theta$ ，则函数 $g(\theta)=f(\cos \theta)$ 是偶函数，展开成余弦级数，有

$$
g(\theta)=\frac{1}{2} a_0+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \theta
$$

如果将 $\theta$ 换为原来的变量 $x$ ，令

$$
T_0(x)=1, \quad T_n(x)=\cos (n \theta), \quad n=1,2, \cdots,
$$

则有级数展开式

$$
f(x)=\frac{1}{2} a_0 T_0(x)+\sum_{n=1}^{\infty} a_n T_n(x)
$$

上式中 $T_n(x)$ 实际上是 $x$ 的 $n$ 次多项式，这就是第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式，即

$$
T_1(x)=x, \quad T_n(x)=\cos (n \arccos x), \quad n=2,3, \cdots
$$

切比雪夫多项式有如下重要性质。
1）正交性
切比雪夫多项式在区间 $[-1,1]$ 上关于权函数 $\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 正交，且

$$
\int_{-1}^1 \frac{T_n(x) T_m(x)}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x= \begin{cases}0, & n \neq m \\ \frac{\pi}{2}, & n=m \neq 0 \\ \pi, & n=m=0\end{cases}
$$

2）递推关系
因为 $x=\cos \theta$ ，由

$$
\cos (n+1) \theta+\cos (n-1) \theta=2 \cos \theta \cos n \theta
$$

得递推公式

$$
T_{n+1}(x)=2 x T_n(x)-T_{n-1}(x)
$$

规定 $T_0(x)=1, T_1(x)=x$ ，递推可得

$$
\begin{aligned}
& T_2(x)=2 x^2-1 \\
& T_3(x)=4 x^3-3 x \\
& T_4(x)=8 x^4-8 x^2+1 \\
& T_5(x)=16 x^5-20 x^3+5 x \\
& T_6(x)=32 x^6-48 x^4+18 x^2-1
\end{aligned}
$$

由递推关系可得 $T_n(x)$ 的最高项系数是 $2^{n-1}, n \geqslant 1$ ．
3）零点性质
$T_n(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 内有 $n$ 个零点

$$
x_k=\cos \left(\frac{(2 k+1) \pi}{2 n}\right), \quad k=0,1, \cdots, n-1 .
$$

4）极值点和极值
$T_n(x)$ 的极值为 $\pm 1$ ，极值点为

$$
\begin{array}{ll}
\tilde{x}_k=\cos \left(\frac{k \pi}{n}\right), & k=0,1, \cdots, n-1, \\
T_n\left(\tilde{x}_k\right)=(-1)^k, & k=0,1, \cdots, n-1 .
\end{array}
$$
利用切比多项式的根作多项式插值，可以部分消除高次等插值多项式的
龙格现象，如)6.1所示

![图片](/uploads/2026-06/f61892.jpg)
 从)6.1可以出，用相同个数的插值节点进行多项式插值，切比多项式
插值函数离原线的幅度比等节点的拉格朗日插值多项式要小些.

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