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最佳平方逼近

6.3 最佳平方逼近

若已知给定区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x)$ ，寻求一个简单、易于计算的函数 $P(x)$来代替 $f(x)$ ，即用 $P(x)$ 去近似 $f(x)$ ，这就是函数逼近要研究的问题。它与插值问题类似，都是在某一函数关系中求函数 $P(x)$ ，使它与被逼近函数 $f(x)$ 之间满足一定的近似条件．但在这里，近似条件常用逼近函数与被逼近函数之间的某种＂距离＂来表示，并以此来确定两个函数在给定区间 $[a, b]$ 上的逼近程度如何．逼近的方法有很多，下面主要讨论比较容易计算的最佳平方逼近．

6．3．1 最佳平方逼近及其计算
定义 6.6 设 $\varphi_0(x), \varphi_1(x), \cdots, \varphi_n(x)$ 是区间 $[a, b]$ 上线性无关的连续函数，$a_0, a_1, \cdots, a_n$是任意实数，则

$$
S(x)=a_0 \varphi_0(x)+a_1 \varphi_1(x)+\cdots+a_n \varphi_n(x)
$$

的全体是 $C[a, b]$ 的一个子集，记为

$$
\Phi=\operatorname{span}\left\{\varphi_0(x), \varphi_1(x), \cdots, \varphi_n(x)\right\}
$$

并称 $\varphi_0(x), \varphi_1(x), \cdots, \varphi_n(x)$ 是该集合的一个基底。
例如，$P_n=\operatorname{span}\left\{1, x, \cdots, x^n\right\}$ 表示由基底 $1, x, \cdots, x^n$ 生成的普通多项式的集合。

例 6.3 已知 $f(x) \in C[0,1]$ ，求多项式

$$
P(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n
$$

使得

$$
L=\int_0^1[P(x)-f(x)]^2 \mathrm{~d} x
$$

取值最小，试建立对应的线性方程组．
解 令

$$
L\left(a_0, a_1, \cdots, a_n\right)=\int_0^1\left[\sum_{j=0}^n a_j x^j-f(x)\right]^2 \mathrm{~d} x
$$

即

$$
L\left(a_0, a_1, \cdots, a_n\right)=\int_0^1\left[\sum_{j=0}^n a_j x^j\right]^2 \mathrm{~d} x-2 \sum_{j=0}^n a_j \int_0^1 x^j f(x) \mathrm{d} x+\int_0^1[f(x)]^2 \mathrm{~d} x
$$

对变量求导数，可得

$$
\frac{\partial L}{\partial a_k}=2 \sum_{j=0}^n a_j \int_0^1 x^{j+k} \mathrm{~d} x-2 \int_0^1 x^k f(x) \mathrm{d} x
$$

由极值必要条件 $\frac{\partial L}{\partial a_k}=0$ ，得方程组

$$
\sum_{j=0}^n \frac{1}{j+k+1} a_j=\int_0^1 x^k f(x) \mathrm{d} x, \quad k=0,1, \cdots, n .
$$

令 $b_k=\int_0^1 x^k f(x) \mathrm{d} x$ ，将方程组改写成矩阵形式

$$
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 / 2 & \cdots & 1 /(n+1) \\
1 / 2 & 1 / 3 & \cdots & 1 /(n+2) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 /(n+1) & 1 /(n+2) & \cdots & 1 /(2 n+1)
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
a_0 \\
a_1 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
b_0 \\
b_1 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right) .
$$

方程组的系数矩阵是希尔伯特矩阵，是严重的病态矩阵．

定义 6.7 对于给定区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x)$ ，如果存在函数

$$
S^*(x) \in \Phi=\operatorname{span}\left\{\varphi_0(x), \varphi_1(x), \cdots, \varphi_n(x)\right\},
$$

使

$$
\begin{equation*}
\int_a^b \rho(x)\left[f(x)-S^*(x)\right]^2 \mathrm{~d} x=\min _{S(x) \in \mathbb{Q}} \int_a^b \rho(x)[f(x)-S(x)]^2 \mathrm{~d} x, \tag{6.7}
\end{equation*}
$$

则称 $S^*(x)$ 为函数 $f(x)$ 在集合 $\Phi$ 中的最佳平方逼近函数．
当 $\Phi=P_n=\operatorname{span}\left\{1, x, \cdots, x^n\right\}$ 时，满足上述条件的 $S^*(x)$ 是 $f(x)$ 的 $n$ 次最佳平方逼近多项式，简称 $n$ 次最佳平方逼近．

设

$$
S(x)=a_0 \varphi_0(x)+a_1 \varphi_1(x)+\cdots+a_n \varphi_n(x)=\sum_{j=0}^n a_j \varphi_j(x),
$$

显然求最佳平方逼近函数

$$
S^*(x)=\sum_{j=0}^n a_j^* \varphi_j(x)
$$

的问题可归结为求其系数 $a_0^*, a_1^*, \cdots, a_n^*$ ，使多元函数

$$
I\left(a_0, a_1, \cdots, a_n\right)=\int_a^b \rho(x)\left[f(x)-\sum_{j=0}^n a_j \varphi_j(x)\right]^2 \mathrm{~d} x
$$

取得最小值。点 $a_0^*, a_1^*, \cdots, a_n^*$ 是 $a_0, a_1, \cdots, a_n$ 的极值点．
由于 $I\left(a_0, a_1, \cdots, a_n\right)$ 是关于 $a_0, a_1, \cdots, a_n$ 的二次函数，利用多元函数求极值的必要条件

$$
\frac{\partial I}{\partial a_k}=0, \quad k=0,1, \cdots, n,
$$

即

$$
\frac{\partial I}{\partial a_k}=2 \int_a^b \rho(x)\left[f(x)-\sum_{j=0}^n a_j \varphi_j(x)\right]\left[-\varphi_k(x)\right] \mathrm{d} x=0, \quad k=0,1, \cdots, n,
$$

可得

$$
\sum_{j=0}^n a_j \int_a^b \rho(x) \varphi_k(x) \varphi_j(x) \mathrm{d} x=\int_a^b \rho(x) f(x) \varphi_k(x) \mathrm{d} x, \quad k=0,1, \cdots, n
$$

采用函数内积记号

$$
\begin{aligned}
& \left(\varphi_k(x), \varphi_j(x)\right)=\int_a^b \rho(x) \varphi_k(x) \varphi_j(x) \mathrm{d} x \\
& \left(\varphi_k(x), f(x)\right)=\int_a^b \rho(x) f(x) \varphi_k(x) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$

上式可简写为

$$
\begin{equation*}
\sum_{j=0}^n\left(\varphi_k(x), \varphi_j(x)\right) a_j=\left(\varphi_k(x), f(x)\right), \quad k=0,1, \cdots, n \tag{6.8}
\end{equation*}
$$

这是关于 $a_0, a_1, \cdots, a_n$ 的线性方程组，称正规方程组，其矩阵形式为

$$
\left(\begin{array}{cccc}
\left(\varphi_0(x), \varphi_0(x)\right) & \left(\varphi_0(x), \varphi_1(x)\right) & \cdots & \left(\varphi_0(x), \varphi_n(x)\right) \\
\left(\varphi_1(x), \varphi_0(x)\right) & \left(\varphi_1(x), \varphi_1(x)\right) & \cdots & \left(\varphi_1(x), \varphi_n(x)\right) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\left(\varphi_n(x), \varphi_0(x)\right) & \left(\varphi_n(x), \varphi_1(x)\right) & \cdots & \left(\varphi_n(x), \varphi_n(x)\right)
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
a_0 \\
a_1 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\left(\varphi_0(x), f(x)\right) \\
\left(\varphi_1(x), f(x)\right) \\
\vdots \\
\left(\varphi_n(x), f(x)\right)
\end{array}\right) .
$$

求解该方程组即可得到 $a_0, a_1, \cdots, a_n$ 的解．
由于 $\varphi_0(x), \varphi_1(x), \cdots, \varphi_n(x)$ 线性无关，故正规方程组系数矩阵非奇异，该方程组有唯一解 $a_k=a_k^*(k=0,1, \cdots, n)$ ，从而得到

$$
S^*(x)=a_0^* \varphi_0(x)+a_1^* \varphi_1(x)+\cdots+a_n^* \varphi_n(x)
$$

例6．4 在区间 $\left[\frac{1}{4}, 1\right]$ 上给定函数 $f(x)=\sqrt{x}$ ，求其在集合 $\operatorname{span}\{1, x\}$ 上 $\rho(x)=1$ 的最佳平方逼近函数．
解 由 $\operatorname{span}\{1, x\}$ 的定义知，$\varphi_0(x)=1, \varphi_1(x)=x, x \in\left[\frac{1}{4}, 1\right]$ ，故所求的最佳平方逼近函数是形如 $P_1(x)=a_0^*+a_1^* x$ 的多项式函数．

先计算六个内积：

$$
\begin{gathered}
\left(\varphi_0, \varphi_0\right)=\int_{\frac{1}{4}}^1 1^2 \mathrm{~d} x=\frac{3}{4} \\
\left(\varphi_0, \varphi_1\right)=\left(\varphi_1, \varphi_0\right)=\int_{\frac{1}{4}}^1 x \mathrm{~d} x=\frac{15}{32} \\
\left(\varphi_1, \varphi_1\right)=\int_{\frac{1}{4}}^1 x^2 \mathrm{~d} x=\frac{21}{64} \\
\left(\varphi_0, f\right)=\int_{\frac{1}{4}}^1 \sqrt{x} \mathrm{~d} x=\frac{7}{12} \\
\left(\varphi_1, f\right)=\int_{\frac{1}{4}}^1 x \sqrt{x} \mathrm{~d} x=\frac{31}{80}
\end{gathered}
$$

故 $a_0^*, a_1^*$ 应满足的正规方程组为

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{3}{4} a_0^*+\frac{15}{32} a_1^*=\frac{7}{12}, \\
\frac{15}{32} a_0^*+\frac{27}{64} a_1^*=\frac{31}{80},
\end{array}\right.
$$

解得

$$
a_0^*=\frac{10}{27}, \quad a_1^*=\frac{88}{135},
$$

故所求多项式函数为

$$
P_1(x)=\frac{10}{27}+\frac{88}{135} x .
$$

上面方法中，需要计算六个积分值，同时还需要求解线性方程组，计算量较大．
6．3．2 用正交函数系做最佳平方逼近
实际应用中，对于一般的基底 $\varphi_0(x), \varphi_1(x), \cdots, \varphi_n(x)$ ，当 $n$ 稍大时，求解正规方程组的工作量是很大的．若采用 $1, x, \cdots, x^n$ 作基底，当 $\rho(x)=1$ 时，虽然计算简单，但其正规方程组的系数矩阵往往是病态的，一般来说，当 $n \geqslant 4$ 时，其计算结果就不能令人满意。可采用正交多项式作基底的方法使问题简化。

设 $P_0(x), P_1(x), \cdots, P_n(x)$ 为区间 $[a, b]$ 上的正交多项式，即

$$
\left(P_k, P_j\right)=\int_a^b \rho(x) P_k(x) P_j(x) \mathrm{d} x=0, \quad k \neq j, \quad k, j=0,1, \cdots, n .
$$

用 $P_0(x), P_1(x), \cdots, P_n(x)$ 作基底进行最佳平方逼近，即求

$$
P(x)=a_0 P_0(x)+a_1 P_1(x)+\cdots+a_n P_n(x)
$$

使得

$$
L=\int_a^b[P(x)-f(x)]^2 \mathrm{~d} x
$$

最小。
由正交多项式的性质，正规方程组

可化为
$$
\left(\begin{array}{cccc}
\left(P_0, P_0\right) & & & \\
& \left(P_1, P_1\right) & & \\
& & \ddots & \\
& & & \left(P_n, P_n\right)
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
a_0 \\
a_1 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\left(P_0, f\right) \\
\left(P_1, f\right) \\
\vdots \\
\left(P_n, f\right)
\end{array}\right),
$$

即

$$
\left(P_k, P_k\right) a_k=\left(P_k, f\right), \quad k=0,1, \cdots, n,
$$

可得

$$
a_k=\frac{\left(P_k, f\right)}{\left(P_k, P_k\right)}, \quad k=0,1, \cdots, n
$$

则

$$
P(x)=\frac{\left(P_0, f\right)}{\left(P_0, P_0\right)} P_0(x)+\frac{\left(P_1, f\right)}{\left(P_1, P_1\right)} P_1(x)+\cdots+\frac{\left(P_n, f\right)}{\left(P_n, P_n\right)} P_n(x) .
$$

例6．5 用正交多项式系求函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 在区间 $\left[\frac{1}{4}, 1\right]$ 上的最佳平方逼近函数．
解 在区间 $\left[\frac{1}{4}, 1\right]$ 上，取

$$
P_0(x)=1, \quad P_1(x)=x-\frac{5}{8}
$$
显然，这是相互正交的两个函数，故取最佳平方逼近函数形式为

$$
P_1(x)=a_0+a_1\left(x-\frac{5}{8}\right) .
$$

计算积分如下：

$$
\begin{gathered}
\left(P_0, P_0\right)=\int_{\frac{1}{4}}^1 1^2 \mathrm{~d} x=\frac{3}{4} \\
\left(P_1, P_1\right)=\int_{\frac{1}{4}}^1\left(x-\frac{5}{8}\right)^2 \mathrm{~d} x=\frac{9}{256} \\
\left(P_0, f\right)=\int_{\frac{1}{4}}^1 \sqrt{x} \mathrm{~d} x=\frac{7}{12} \\
\left(P_1, f\right)=\int_{\frac{1}{4}}^1\left(x-\frac{5}{8}\right) \sqrt{x} \mathrm{~d} x=\frac{11}{480}
\end{gathered}
$$

所以

$$
a_0=\frac{\left(P_0, f\right)}{\left(P_0, P_0\right)}=\frac{7}{9}, \quad a_1=\frac{\left(P_1, f\right)}{\left(P_1, P_1\right)}=\frac{88}{135},
$$

故所求最佳平方逼近函数为

$$
P(x)=\frac{7}{9}+\frac{88}{135}\left(x-\frac{5}{8}\right) .
$$

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