最后更新: 2026-06-25 21:44 查看: 3 次纠错评论(0) 课件开VIP

数值积分概述

本章关注定积分的数值计算，这里假设需要求解的定积分为如下形式：

$$
I(f)=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$

我们感兴趣的是找到能够尽可能逼近 $I(f)$ 精确值的数值方法．通常，求定积分近似值的形式为

$$
I_n(f)=\sum_{i=i_0}^n w_i f\left(x_i\right)
$$

其中，通常将 $i_0$ 取为 0 或 1 ，选取不同的权重 $\left\{w_i\right\}$ 和积分节点 $\left\{x_i\right\}$ 就得到不同的数值积分方法，不同的数值积分方法使用不同的准则来定义权重和选择积分点．

在这一章，我们将介绍一些常见积分方法，在介绍这些方法的过程中，我们除了构造积分方法并分析其精度外，还将研究估计和提高这些积分精度的方法，以及自适应积分的思想。

在微积分中，为了构造函数的定积分，我们首先要求积分节点（或网格点）$\left\{x_i\right\}$ 满足如下关系：

$$
a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b .
$$

从每个子区间中取恰当的积分点 $\left\{\eta_i\right\}$ 。现在，如果我们假设

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left(x_i-x_{i-1}\right)\right]=0,
$$

在 $f(x)$ 满足黎曼（Riemann）可积的条件下，我们有部分和

$$
S_n(f)=\sum_{i=1}^n f\left(\eta_i\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)
$$

的极限是存在的

$$
I(f)=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} S_n(f) .
$$

这个极限值与网格点 $\left\{x_i\right\}$ 和积分点 $\left\{\eta_i\right\}$ 的选择无关，这个部分和被称为黎曼和．
从形式上看，定积分的定义给出了一种数值求定积分的方法，然而遗憾的是，黎曼和通常收敛很慢，这意味着它需要一个很大的 $n$ 值才能使部分和与精确值很接近，因此我们不能将其用作逼近积分值的实用方法．图7．1 显示了函数 $y=f(x)= 1 / 2+\sin (3 x)$ 的黎曼和在区间 $[1 / 2,3 / 2]$ 内的近似情况．

![图片](/uploads/2026-06/a72599.jpg)
 
 由于积分本质上是函数值之和的极限，因此考虑通过取函数值的有限和来逼近积分是数值积分的主要思想。比如基于定积分的定义，常见的计算方法有左矩形公式、右矩形公式和中点公式．下面我们讨论一下中点公式．

虽然直接用积分的定义来求定积分效率不高，但是这里有一个简单的积分公式一中点公式，它基于将线性泰勒近似用在积分的典型案例．

考虑积分

$$
I(f)=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$

和一阶泰勒近似

$$
P_1(x)=f(c)+f^{\prime}(c)(x-c),
$$

其中 $c=(a+b) / 2$ 是区间的中点。我们通过精确积分 $P_1(x)$ 来定义数值方法

$$
M_1(f)=\int_a^b P_1(x) \mathrm{d} x=(b-a) f(c)
$$

上面的公式称为单点中点公式．
图 7.2 展示了函数 $y=f(x)=1 / 2+\sin (3 x)$ ，在区间 $[1 / 4,5 / 4]$ 上积分示意图．
下面是对于函数

$$
f(x)=\frac{x^3}{\mathrm{e}^x-1}
$$

![图片](/uploads/2026-06/2148c3.jpg)

利用等距划分的左矩形公式、右矩形公式和中点公式在区间［ 0,5 ］上进行计算的结果比较（这里参考的精确值为 4．89999），计算结果如表7．1．

![图片](/uploads/2026-06/d29a20.jpg)
 
 从表 7.1 中的数据可以看出，在采用相同小区间个数的情况下，中点公式的计算要准确些。

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