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梯形公式

7.1 梯形公式

7．1．1 基本的梯形公式
梯形公式是数值积分的重要方法，也是线性插值最重要的应用之一．利用一次多项式 $P_1(x)$ 在区间端点 $x=a$ 和 $x=b$ 进行线性多项式插值

$$
P_1(x)=\frac{x-a}{b-a} f(b)+\frac{b-x}{b-a} f(a)
$$

然后在区间 $[a, b]$ 上通过精确积分 $P_1(x)$ 就可以定义基本梯形公式

$$
\begin{equation*}
T_1(f)=I\left(P_1\right)=\int_a^b P_1(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}(b-a)(f(b)+f(a)) \tag{7.1}
\end{equation*}
$$

图7．3 是对函数 $f(x)=\frac{1}{2}+\sin (3 x)$ 用梯形公式进行积分近似的示意图．
 
  ![图片](/uploads/2026-06/48097a.jpg)
  
  从图7．3可以看出，区间的长度越大，误差 $I(f)-T_1(f)$ 可能也越大．为了更好地了解积分的误差，我们需要细致分析梯形公式．借助前面插值的误差理论

$$
\begin{aligned}
I(f)-T_1(f) & =I(f)-I\left(P_1\right) \\
& =\int_a^b f(x) \mathrm{d} x-\int_a^b P_1(x) \mathrm{d} x \\
& =\int_a^b\left(f(x)-P_1(x)\right) \mathrm{d} x \\
& =\frac{1}{2} \int_a^b(x-a)(x-b) f^{\prime \prime}(\xi) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$

其中 $\xi \in[a, b]$ 和函数有关，也取决于区间的位置．由于 $x-a, x-b$ 在区间 $[a, b]$ 上不会改符号，因此可以应用积分中值定理来获得基本梯形公式的误差估计

$$
\begin{aligned}
\int_a^b(x-a)(x-b) f^{\prime \prime}\left(\xi_x\right) \mathrm{d} x & =f^{\prime \prime}(\eta) \int_a^b(x-a)(x-b) \mathrm{d} x \\
& =-\frac{1}{6}(b-a)^3 f^{\prime \prime}(\eta)
\end{aligned}
$$

从而有

$$
I(f)-T_1(f)=-\frac{1}{12}(b-a)^3 f^{\prime \prime}(\eta),
$$

其中 $\eta \in[a, b]$ ．
从上面的分析可以看出，梯形公式只有在积分间隔 $b-a$ 很小时误差才会很小．为解决比较长区间的积分问题，我们可以采取复合方法来提高积分的精度和效率，下面就介绍该方法．

在区间 $[a, b]$ 上，我们使用更多的网格点 $\left\{x_i\right\} \in[a, b], i=0,1,2, \cdots, n$ ，将区间 $[a, b]$细分为 $n$ 个子区间：$a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ ．

在每个子区间 $\left[x_{i-1}, x_i\right]$ 上，应用基本梯形公式（7．1）就可获得复合梯形公式

$$
\begin{aligned}
I(f) & =\sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) \mathrm{d} x \\
& \approx \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(x_i-x_{i-1}\right)\left(f\left(x_{i-1}\right)+f\left(x_i\right)\right) \\
& \triangleq T_n(f)
\end{aligned}
$$

如果我们使用均匀的网格，在网格节点的间距相等，即当 $x_i-x_{i-1}=h$ 时，对于所有 $i$ ，复合梯形公式可以简化为

$$
\begin{equation*}
T_n(f)=\frac{h}{2}\left(f\left(x_0\right)+2 f\left(x_1\right)+2 f\left(x_2\right)+\cdots+2 f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_n\right)\right) . \tag{7.2}
\end{equation*}
$$

图7．4 显示了与图7．3中具有相同被积函数 $f(x)=\frac{1}{2}+\sin (3 x)$ 的积分．这里注意，即使网格中的节点比较少，与以前的情况（图7．3）相比，误差也大大降低了．实际上，在这里复合积分所做的就是采取了分段线性插值近似的思想．
 ![图片](/uploads/2026-06/6f64e7.jpg)
 
  此外，从前面单区间梯形公式的误差分析结果可以很容易地确定 $n$ 个子区间积分的误差情况。我们有如下结果。
定理7．1 设 $f \in C^2([a, b])$ 和 $T_n(f)$ 是使用均匀网格的复合梯形公式（7．2）得到的近似值 $I(f)$ ，则存在依赖于 $h$ 的 $\xi_h \in[a, b]$ ，使得

$$
\begin{equation*}
I(f)-T_n(f)=-\frac{b-a}{12} h^2 f^{\prime \prime}\left(\xi_h\right) \tag{7.3}
\end{equation*}
$$

证明 我们只需将先前的误差结果应用于每个子区间，于是

$$
\begin{aligned}
I(f)-T_n(f) & =\sum_{i=1}^n\left(\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{2}\left(x_i-x_{i-1}\right)\left(f\left(x_i\right)+f\left(x_{i-1}\right)\right)\right) \\
& =-\sum_{i=1}^n \frac{1}{12} h^3 f^{\prime \prime}\left(\xi_{i, h}\right) \quad\left(\xi_{i, h} \in\left[x_{i-1}, x_i\right]\right) \\
& =-\frac{1}{12} h^3 \sum_{i=1}^n f^{\prime \prime}\left(\xi_{i, h}\right) \\
& =-\frac{1}{12} h^2 \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n f^{\prime \prime}\left(\xi_{i, h}\right) \\
& =-\frac{b-a}{12} h^2\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f^{\prime \prime}\left(\xi_{i, h}\right)\right)
\end{aligned}
$$

应用离散平均值定理（定理 1．5），存在 $\xi_h \in[a, b]$ 使得

$$
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f^{\prime \prime}\left(\xi_{i, h}\right)=f^{\prime \prime}\left(\xi_h\right),
$$

其中 $\xi_h \in[a, b]$ 取决于 $h$ ．这样就完成了定理的证明．

这个定理告诉我们一些关于 $n$ 子区间梯形公式的有意义结果．首先，它告诉我们只要 $f \in C^2([a, b])$ ，数值积分 $T_n(f)$ 就会收敛到精确值

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|I(f)-T_n(f)\right|=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{b-a}{12} h^2\left|f^{\prime \prime}\left(\xi_h\right)\right| \leqslant\left(\lim _{h \rightarrow 0} \frac{b-a}{12} h^2\right)\left(\max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime \prime}\right|\right)=0 .
$$

从而 $\lim _{n \rightarrow \infty} T_n(f)=I(f)$ ．
其次，因为误差像 $h^2$ 一样下降，所以它告诉我们这种收敛的速度是 $O\left(h^2\right)$ ，该结果的直观的解释是：积分小区间的长度减少一半，则误差下降大约 4 倍．

需要说明的是，尽管有时我们可以使用误差理论来估计误差，但是误差估计的价值不仅是我们能够先验地预测误差，更重要的是误差估计可以告诉我们误差随着网格尺寸 $h$ 的减小而减小的速度怎么样，这可以为科学计算和工程计算提供指导意义。

下面我们将通过一个例子说明该算法的具体应用．

例 7.1 令 $f(x)=\mathrm{e}^x$ ，且 $[a, b]=[0,1]$ ，若 $I(f)=\mathrm{e}-1=1.712828 \cdots$ ．使用单个子间距的梯形公式，有

$$
T_1(f)=\frac{1}{2} \times 1 \times\left(\mathrm{e}^0+\mathrm{e}^1\right)=(1+\mathrm{e}) / 2=1.859140914 .
$$

而使用两个子区间的梯形公式，有

$$
T_2(f)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times\left(\mathrm{e}^0+2 \mathrm{e}^{1 / 2}+\mathrm{e}^1\right)=\frac{1}{4}(1+2 \sqrt{\mathrm{e}}+\mathrm{e})=1.753931092 .
$$

从上面结果可以看出，第二个值比第一个要准确得多。
如果现在使用 $n=2,4,8, \cdots, 2048$ 的等距网格序列继续计算，则结果如表7．2所示。请注意，最后一栏显示了前一个错误与当前错误的比率，当我们加倍点数时，误差率达到 4 ．

![图片](/uploads/2026-06/de875d.jpg)
 
 除此以外，有时可以使用误差理论来预测需要多少个网格才能达到指定的精度．例如，考虑如下的积分

$$
I(f)=\int_0^1 \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x
$$

问 $h$ 应该有多小才能保证 $\left|I(f)-T_n(f)\right| \leqslant 10^{-3}$ ？
我们知道

$$
\left|I(f)-T_n(f)\right|=\frac{1}{12} h^2\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \leqslant \frac{1}{12} h^2 \max _{x \in[0,1]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| .
$$

而

$$
f^{\prime \prime}(x)=\mathrm{e}^{-x^2}\left(4 x^2-2\right) .
$$

这样，对于所有 $x \in[0,1]$ ，有

$$
\left|f^{\prime \prime}(x)\right|=\left|\mathrm{e}^{-x^2}\left(4 x^2-2\right)\right| \leqslant\left|\mathrm{e}^0(0-2)\right|=2 .
$$

因此，

$$
\left|I(f)-T_n(f)\right| \leqslant 10^{-3} \Rightarrow \frac{1}{12} h^2(2) \leqslant 10^{-3} .
$$

这意味着我们需要 $h \leqslant \sqrt{0.006}=0.0774596669 \cdots$ ．
由于数值积分也是一种迭代法，所以有必要分析数值积分方法的稳定性．下面简要讨论复合梯形公式的稳定性。对积分

$$
I(f)=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x,
$$

$$
T_n(f)=\frac{h}{2}\left[f\left(x_0\right)+2 f\left(x_1\right)+2 f\left(x_2\right)+\cdots+2 f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_n\right)\right],
$$

我们可以得到

$$
T_n(f)-T_n(g)=\frac{h}{2}\left(f\left(x_0\right)-g\left(x_0\right)+2 \sum_{k=1}^{n-1}\left[f\left(x_k\right)-g\left(x_k\right)\right]+f\left(x_n\right)-g\left(x_n\right)\right) .
$$

所以

$$
\begin{aligned}
\left|T_n(f)-T_n(g)\right| & =\frac{h}{2}\left|\varepsilon\left(x_0\right)+2 \sum_{k=1}^{n-1} \varepsilon\left(x_k\right)+\varepsilon\left(x_n\right)\right| \\
& \leqslant\left|\varepsilon\left(x_0\right)\right| \frac{h}{2}+(n-1) h \max _{k=1, \cdots, n}\left|\varepsilon\left(x_k\right)\right|+\left|\varepsilon\left(x_n\right)\right| \frac{h}{2} \\
& \leqslant \max _{k=0, \cdots, n}\left|\varepsilon\left(x_k\right)\right| n h \leqslant \max _{x \in[a, b]}|\varepsilon(x)|(b-a)
\end{aligned}
$$

因此，如果 $\max _{x \in[a, b]}|\varepsilon(x)|$＂较小＂，则 $\left|T_n f-T_n g\right|$ 也比较小。进一步，如果 $\max _{x \in[a, b]}|\varepsilon(x)| \rightarrow 0$ ，那么 $T_n(g) \rightarrow T_n(f)$ 。因此，我们的复合梯形公式是一种稳定的数值方法．

注 实际上，采取和上面类似的分析方法，可以得到几乎所有用于数值逼近积分的方法都是稳定的，所以对于后续积分方法，我们不再单独讨论这些方法的稳定性——这与下一章数值微分的情况明显不同．

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