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改进梯形公式

7．1．2 改进梯形公式
在前一部分，我们介绍了基本梯形公式。对于等距点，近似值的形式为

$$
T_n(f)=\frac{h}{2}\left(f\left(x_0\right)+2 f\left(x_1\right)+\cdots+2 f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_n\right)\right) .
$$

误差为

$$
\begin{equation*}
I(f)-T_n(f)=-\frac{b-a}{12} h^2 f^{\prime \prime}\left(\xi_h\right), \tag{7.4}
\end{equation*}
$$

其中 $\xi_h$ 为区间 $[a, b]$ 中的某一值。基本的梯形公式方法简单，但是精度不高，下面我们讨论提高计算精度的方法．

首先对基本梯形公式误差中的二阶导数项进行一些灵敏度分析。我们可以将误差估计（7．4）改写为

$$
I(f)-T_n(f)=-\frac{1}{12} h^3 \sum_{i=1}^n f^{\prime \prime}\left(\xi_{i, h}\right) .
$$

仔细地观察一下总和项，我们有

$$
h^3 \sum_{i=1}^n f^{\prime \prime}\left(\xi_{i, h}\right)=h^2 \sum_{i=1}^n h f^{\prime \prime}\left(\xi_{i, h}\right) .
$$

并且该和可以解释为积分的黎曼和

$$
I\left(f^{\prime \prime}\right)=\int_a^b f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x=f^{\prime}(b)-f^{\prime}(a)
$$

由于我们知道

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n h f^{\prime \prime}\left(\xi_{i, h}\right)=f^{\prime}(b)-f^{\prime}(a)
$$

所以

$$
\sum_{i=1}^n h f^{\prime \prime}\left(\xi_{i, h}\right) \approx f^{\prime}(b)-f^{\prime}(a)
$$

于是有

$$
\begin{equation*}
I(f)-T_n(f) \approx-\frac{1}{12} h^2\left(f^{\prime}(b)-f^{\prime}(a)\right) \tag{7.5}
\end{equation*}
$$

这样一来，我们可以通过两种方式（7．4）和（7．5）来解释梯形公式的误差关系．此外，基于误差公式（7．5），我们还可以进一步改进梯形积分关系。

误差估计 我们可以分析误差 $\hat{E}_n(f)=-\frac{1}{12} h^2\left[f^{\prime}(b)-f^{\prime}(a)\right]$ 来作为＂可计算的误差估计＂，并使用它来预测有多少个点需要获得给定的精度．
逼近改进 定义新的积分关系，

$$
\begin{equation*}
T_n^C(f)=T_n(f)-\frac{1}{12} h^2\left[f^{\prime}(b)-f^{\prime}(a)\right] . \tag{7.6}
\end{equation*}
$$

我们将（7．6）称为校正的梯形公式．该值将比使用普通梯形公式所获得的值更加准确，只是计算成本仅稍高一些。

例 7.2 考虑下面的积分

$$
I(f)=\int_0^1 \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x
$$

假设我们想要 $\left|I(f)-I_n(f)\right| \leqslant 10^{-6}$ ，可以计算梯形公式值以及

$$
E_n(f)=-\frac{h^2}{12}\left[f^{\prime}(b)-f^{\prime}(a)\right]=\frac{h^2}{6 \mathrm{e}} .
$$

当 $\left|E_n(f)\right| \leqslant 10^{-6}$ 时，我们将接受 $T_n(f)$ 作为 $I(f)$ 的足够精确的近似值；此时只需要 $n=256$ 即可。因为

$$
\left|E_n(f)\right|=\frac{h^2}{6 \mathrm{e}} \leqslant 10^{-6} \Rightarrow h \leqslant \sqrt{6 \mathrm{e}} \times 10^{-3}=4.04 \times 10^{-3},
$$

$1 / 256<4.04 \times 10^{-3}$ ，但 $1 / 128>4.04 \times 10^{-3}$ ，所以 $n=256$ 比较合适．

作为改进的梯形公式的计算情况，请看表 7．3，该表显示了通过使用 $T_n^C$ 近似积分 $I(f)=\int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$ 的值．当点数加倍时，误差减少大约 16 倍，这表明校正后的公式中的误差类似于 $h^4$ ．在表 7.3 最后两行中损失了一些精度，主要受到舍入误差的影响．

![图片](/uploads/2026-06/66131d.jpg)
 
 最后，需要说明的是（7．6）中的导数的计算是不必要的，因为我们可使用第 8 章关于导数单侧近似值关系来近似，比如我们可以用下面的关系来近似。

$$
\begin{gather*}
f^{\prime}(b)=f^{\prime}\left(x_n\right)=\frac{3 f\left(x_n\right)-4 f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_{n-2}\right)}{2 h}+\frac{h^2}{3} f^{\prime \prime \prime}\left(\xi_b\right)  \tag{7.7}\\
f^{\prime}(a)=f^{\prime}\left(x_0\right)=\frac{-3 f\left(x_0\right)+4 f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{2 h}+\frac{h^2}{3} f^{\prime \prime \prime}\left(\xi_a\right) \tag{7.8}
\end{gather*}
$$

这样我们就可以将校正后的梯形公式写为

$$
\begin{aligned}
T_n^C(f)= & T_n(f)-\frac{h}{24}\left[3 f\left(x_n\right)-4 f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_{n-2}\right)+3 f\left(x_0\right)-4 f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right] \\
& +\frac{h^4}{36}\left[f^{(3)}\left(\xi_a\right)-f^{(3)}\left(\xi_b\right)\right] .
\end{aligned}
$$

现在定义

$$
T_n^C(f)=T_n(f)-\frac{h}{24}\left[3 f\left(x_n\right)-4 f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_{n-2}\right)+3 f\left(x_0\right)-4 f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right] .
$$

因为由导数近似引起的附加误差项为

$$
T_n(f)-T_n^C(f)=\frac{h^4}{36}\left[f^{\prime \prime \prime}\left(\xi_a\right)-f^{\prime \prime \prime}\left(\xi_b\right)\right],
$$

所以校正后的梯形公式的精度为 $O\left(h^4\right)$ 。
表7．4显示了将该近似方法应用于与之前相同示例的结果，对于同样 $h$ ，我们确实将预期误差减小因子保持足够小．

![图片](/uploads/2026-06/fba4fc.jpg)

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