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辛普森公式

7．2．1 辛普森公式和精确度
利用线性插值我们获得了积分的梯形公式，根据插值误差的分析结果，我们有理由认为使用更高阶的多项式可能获得比梯形公式更好的近似结果。下面我们就来分析一下基于二次插值来生成积分关系的辛普森（Simpson）公式。

设 $P_2(x)$ 是在三点 $x_0=a, x_2=b$ 和 $x_1=c=(a+b) / 2$（区间中点）处关于 $f(x)$ 的插值二次多项式．然后即可定义基本的辛普森公式，记

$$
S_2(f)=I\left(P_2\right)=\int_a^b\left(l_0(x) f(a)+l_1(x) f(c)+l_2(x) f(b)\right) \mathrm{d} x .
$$

在这里定义拉格朗日基函数为

$$
l_0(x)=\frac{(x-c)(x-b)}{(a-c)(a-b)}, \quad l_1(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}, \quad l_2(x)=\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}
$$

对上面的三个基函数进行积分，有

$$
A_0=\int_a^b l_0(x) \mathrm{d} x, \quad A_1=\int_a^b l_1(x) \mathrm{d} x, \quad A_2=\int_a^b l_2(x) \mathrm{d} x
$$

为了计算这些积分，我们可以假设 $h=b-c=c-a=(b-a) / 2$ ，于是我们有

$$
A_0=\int_a^{a+2 h} l_0(x) \mathrm{d} x, \quad A_1=\int_a^{a+2 h} l_1(x) \mathrm{d} x, \quad A_2=\int_a^{a+2 h} l_2(x) \mathrm{d} x .
$$

然后

$$
\begin{aligned}
A_0 & =\int_a^{a+2 h} l_0(x) \mathrm{d} x \\
& =\frac{1}{2 h^2} \int_a^{a+2 h}(x-(a+h))(x-(a+2 h)) \mathrm{d} x \\
& =\frac{h}{6}
\end{aligned}
$$

类似地计算可以得出 $A_2=A_0$ 和 $A_1=4 h / 6$ ．因此，辛普森公式变成

$$
S_2(f)=\frac{h}{6}(f(a)+4 f(c)+f(b)),
$$

其中 $h=b-a$ ，即 $h$ 是区间 $[a, b]$ 的长度．
需要稍微注意的是，这一小部分的 $h$ 表示把整个积分区间分成若干小区间的长度，表示单独一个积分区间的长度，与前后两节 $h$ 的意义略有不同．但是为统一和简单起见，我们都选 $h$ 来表示所讨论单独积分区间的长度．
例 7.3 在区间 $[1 / 4,5 / 4]$ 中，将辛普森公式的原始形式应用于函数 $y=f(x)= 1 / 2+\sin \pi x$ ，我们有

$$
\begin{aligned}
S_2(f) & =\frac{1}{6}\left(\frac{1}{2}+\sin \frac{1}{4} \pi+4\left(\frac{1}{2}+\sin \frac{3}{4} \pi\right)+\frac{1}{2}+\sin \frac{5}{4} \pi\right) \\
& =\frac{1}{6}\left(3+\frac{1}{2} \sqrt{2}+2 \sqrt{2}-\frac{1}{2} \sqrt{2}\right)=0.9714045208
\end{aligned}
$$

该积分比较准确的结果为：$I(f)=0.9501581580$ ，这表明即使仅使用单个抛物线函数来近似，得到的近似值还是相当准确的．图7．5 显示了辛普森公式在此示例中的应用情况．通过将各子区间对的辛普森公式的相加，我们可以轻松构造如下的复合公式

$$
\begin{equation*}
S_n(f)=\sum_{i=1}^{n / 2} \frac{h_i}{3}\left[f\left(x_{2 i-2}\right)+4 f\left(x_{2 i-1}\right)+f\left(x_{2 i}\right)\right], \tag{7.9}
\end{equation*}
$$

其中 $h_i=\left(x_{2 i}-x_{2 i-2}\right) / 2$ ．如果我们假设网格点的间距均匀，即对于所有 $i, h_i=h$ ，那么复合辛普森积分公式可以简化为

$$
\begin{align*}
S_n(f)= & \frac{h}{3}\left(f\left(x_0\right)+4 f\left(x_1\right)+2 f\left(x_2\right)+4 f\left(x_3\right)+\cdots+2 f\left(x_{n-2}\right)\right. \\
& \left.+4 f\left(x_{n-1}\right)+f(x)\right) \tag{7.10}
\end{align*}
$$

![图片](/uploads/2026-06/d3d0d7.jpg)
 
 例 7.4 对于前面的例子，如果现在使用两个区间的抛物线来近似，则我们可以得到
 
$$
S_4(f)=\frac{1 / 4}{3}(f(1 / 4)+4 f(1 / 2)+2 f(3 / 4)+4 f(1)+f(5 / 4))=0.9511844634 .
$$

可以看出，$S_4$ 比 $S_2$ 的值更准确。
值得说明的是，辛普森公式的积分点可以为非均匀网格分布的，这里就不再详细说明其推导过程。下面看一个例子。

例 7.5 如果我们将辛普森公式应用于定义在区间 $[0,1]$ 上的 $f(x)=\mathrm{e}^x$ ，并使用一系列递减的网格，则得到的结果如表 7.5 所示．

![图片](/uploads/2026-06/1113fb.jpg)
 
 请注意，当 $h$ 减半时，相应的误差约为原来的 $1 / 16$ ．因此，根据梯形公式的经验，我们猜测

$$
I(f)-S_n(f)=O\left(h^4\right) .
$$

但是，对二次插值的插值误差的研究以及辛普森公式的定义（即分段二次插值的精确积分），表明

$$
f-P_2=O\left(h^3\right) \Rightarrow I(f)-S_n(f)=I(f)-I\left(P_2\right)=\int_a^b\left(f(x)-P_2(x)\right) \mathrm{d} x=O\left(h^3\right)
$$

因此，辛普森公式似乎比插值理论所示的更为准确。这是怎么导致的？理论上我们可以类似于梯形公式的方式直接证明辛普森公式的误差估计，但是比较复杂。下面我们从另外一个角度来说明。为方便讨论，我们引入下面关于数值积分代数精度的概念。

定义 7.1 （代数精度）设 $I_n$ 为一个积分关系，如果它对所有阶数低于 $m$ 的多项式都是精确的，我们说该积分公式的代数精度为 $m$ 阶．

一般来说，代数精度 $m$ 阶越高，积分越准确，所以我们一般会期望得到的积分方法具有更高的代数精度．
从前面的分析中可以看出中点公式的代数精度为 1 阶，梯形公式的代数精度也是 1 阶，即 $m=1$ ，因为它们都能精确地近似所有线性多项式的积分．此外通过构造直接可知，辛普森公式显然至少应该具有精度等级 $m=2$ ．但是我们可以证明它实际上具有 3 阶代数精度，即 $m=3$ 。下面我们简单分析一下。

令 $Q_3(x)$ 为任意三次多项式，我们可将其写为

$$
Q_3(x)=A x^3+Q_2(x),
$$

其中 $Q_2(x)$ 包含 $Q_3(x)$ 中的所有低阶项．然后，使用辛普森公式积分 $Q_3(x)$ 的误差变为

$$
I\left(Q_3\right)-S_2\left(Q_3\right)=A\left(I\left(x^3\right)-S_2\left(x^3\right)\right)+\left(I\left(Q_2\right)-S_2\left(Q_2\right)\right) .
$$

由于 $x^3$ 和二次多项式的任意组合可以代表任意三次多项式。因此，这里只需要检查当辛普森积分公式对 $x^3$ 精确时，辛普森公式对所有三次多项式都是精确的．通过简单计算，我们有

$$
\begin{aligned}
\frac{b-a}{6}\left(a^3+4((a+b) / 2)^3+b^3\right) & =\frac{b-a}{6}\left(a^3+\frac{1}{2}(a+b)^3+b^3\right) \\
& =\frac{b-a}{12}\left(2 a^3+(a+b)^3+2 b^3 2 a^3+(a+b)^3+2 b^3\right) \\
& =\frac{b-a}{4}\left(a^3+a^2 b+a b^2+b^3\right) \\
& =\frac{1}{4}\left(b^4-a^4\right)=I\left(x^3\right) .
\end{aligned}
$$

因此，辛普森公式对于所有三次多项式都是精确的．这样一来我们证明了以下定理．

定理7．2 设 $P_3(x)$ 为小于或等于 3 的任意多项式，则辛普森公式可以精确地积分 $P_3(x)$ ，即对任何积分区间 $[a, b]$ ，

$$
S_2\left(Q_3\right)=\int_a^b Q_3(x) \mathrm{d} x .
$$

7．2．2 插值型求积分公式
根据前面的多项式插值理论，梯形公式、辛普森公式可以分别看成利用线性函数、二次函数近似一般函数进行积分的结果；更一般地，我们有如下基于一般多项式的拉格朗日积分法．

一般自然的想法是用 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的插值多项式 $L_n(x)$ 代替 $f(x)$ ，由于代数多项式的原函数是容易求出的，我们以 $L_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上的积分值作为所求积分 $I(f)$ 的近似值，即

$$
I(f) \approx \int_a^b L_n(x) \mathrm{d} x
$$

这样得到的求积分公式称为插值型求积分公式．这里的插值方法通常采用拉格朗日插值。

设 $[a, b]$ 上有 $n+1$ 个互异节点 $x_0, x_1, \cdots, x_n, f(x)$ 的 $n$ 次拉格朗日插值多项式为

$$
L_n(x)=\sum_{i=0}^n l_i(x) f\left(x_i\right),
$$

其中 $l_i(x)=\prod_{k=0, k \neq i}^n \frac{x-x_k}{x_i-x_k}$ ，插值型求积分公式为

$$
\begin{equation*}
I(f) \approx \int_a^b L_n(x) \mathrm{d} x=\sum_{i=0}^n A_i f\left(x_i\right), \tag{7.11}
\end{equation*}
$$

其中 $A_i=\int_a^b l_i(x) \mathrm{d} x, i=0,1, \cdots, n$ ．所以 $\left\{A_i\right\}$ 仅由积分区间 $[a, b]$ 与插值节点 $\left\{x_i\right\}$ 确定，与被积函数 $f(x)$ 的形式无关．求积分公式（7．11）的截断误差为

$$
R_n(f)=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x-\int_a^b L_n(x) \mathrm{d} x=\int_a^b \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \omega_{n+1}(x) \mathrm{d} x .
$$

定义 7.2 求积分公式

$$
\begin{equation*}
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x \approx \sum_{i=0}^n A_i f\left(x_i\right) \tag{7.12}
\end{equation*}
$$

如其系数 $A_i=\int_a^b l_i(x) \mathrm{d} x$ ，则称此求积分公式为插值型求积分公式．
定理7．3 形如（7．12）的求积分公式至少有 $n$ 次代数精度的充分必要条件是该公式为插值型的。

证明 如果求积分公式（7．12）是插值型的，由公式（7．12）可知，对于次数不超过 $n$ 的多项式 $f(x)$ ，其余项 $R[f]$ 等于零，因而这时求积分公式至少具有 $n$ 次代数精度．

反之，如果求积分公式（7．12）至少具有 $n$ 次代数精度，那么对于任意 $n$ 次插值基函数 $l_i(x)$ 应准确成立，并注意到 $l_i\left(x_j\right)=\delta_{i j}$ ，即有

$$
\int_a^b l_i(x) \mathrm{d} x=\sum_{k=0}^n A_k l_j\left(x_k\right)=A_i
$$

所以求积分公式（7．12）是插值型的．

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