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高斯积分

7.3 高 斯 积 分
高斯积分是数值积分中非常强大的数值积分方法。它的推导方式与梯形公式、辛普森公式和中点公式不同（尽管中点公式可以看作是高斯积分的特例），对高斯积分的完整讨论通常需要近似理论的背景知识，这里我们简单介绍一下。为方便起见，这里积分点的下标从 1 开始。

考虑函数 $f(x)$ 在对称区间 $[-1,1]$ 上的积分．一般来说，积分关系均基于预先计算或确定的权重和横坐标来构造．通常积分关系可以写为如下形式：

$$
\begin{equation*}
G_n(f)=\sum_{i=1}^n w_i f\left(x_i\right) \approx \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x . \tag{7.13}
\end{equation*}
$$

前面的积分公式，比如梯形、辛普森公式和中点公式，它们的推导是先在确定积分点 $\left\{x_i\right\}$ 的情况下，利用多项式逼近被积分函数来确定权重系数 $\left\{w_i\right\}$ 。在高斯积分中，我们希望构造一个近似积分，使它具有尽可能高的精度．

具体来讲，在高斯积分中，我们同时选择积分节点和权重以最大限度地提高代数精确度．换句话说，在构造高斯积分的过程中，我们可以选择更多的自由度．这样的好处在于可以构造精度尽可能高的积分公式，但是这也增加了我们计算的难度．下面首先看一个例子．

7．3．1 基本高斯公式
让我们来看一个简单的例子．选择恰当的积分节点及相应的积分系数，使下面的插值型求积分公式具有尽可能高的代数精度．

$$
\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x \approx A_1 f\left(x_1\right)+A_2 f\left(x_2\right) .
$$

这个积分关系有 4 个待定的参数 $A_1, A_2, x_1, x_2$ ，所以我们有可能获得 3 阶的代数精度．为检验这个想法，我们分别取 $f(x)=1, x, x^2, x^3$ 四个函数代入上面的积分关系．于是可得如下方程组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
A_1+A_2=2, \\
A_1 x_1+A_2 x_2=0, \\
A_1 x_1^2+A_2 x_2^2=\frac{2}{3}, \\
A_1 x_1^3+A_2 x_2^3=0 .
\end{array}\right.
$$

利用代入消元求解上面的方程组，我们可以得到一组有意义的解

$$
A_1=1, \quad A_2=1, \quad x_1=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad x_2=\frac{1}{\sqrt{3}},
$$

即我们可以得到下面的积分关系：

$$
\begin{equation*}
\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x \approx f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) . \tag{7.14}
\end{equation*}
$$

从上面的分析过程可以看出，通过积分关系（7．14），虽然我们只用到两个积分点，但却获得了 3 阶的代数精度，远好于梯形公式和辛普森公式。为方便起见，我们把具有这样高精度的积分点称为高斯积分点，简称高斯点。受这个例子的启发，我们自然会问：能否用更多的积分点来获得更高阶的数值积分关系？下面我们从一般情况来讨论一下。

值得注意的是：如果按照上面两点积分公式的方法来找 $n$ 个点的高精度积分公式，我们不仅要找到 $n$ 权重，还要找到 $n$ 个积分点，这需要求解有 $2 n$ 个变量的非线性方程组。很明显，这是比较困难的。为简单起见，下面换另一个思路来解决。为此首先引入高斯点的定义。

定义 7.3 如果求积分公式（7．13）具有 $2 n-1$ 阶的代数精度，则称其积分节点 $x_i(i=1,2, \cdots, n)$ 为高斯积分点，简称高斯点．

直观来看，因为 $2 n$ 阶的多项式具有 $2 n+1$ 个系数，如果采用 $n$ 个积分点，加上 $n$个权重，我们只能得到 $2 n$ 个方程，这样不能唯一确定 $2 n$ 阶的多项式，即 $n$ 点高斯公式不可能具有 $2 n$ 阶的代数精度。

现在我们讨论 $n$ 个节点对应代数精度为 $2 n-1$ 阶的情况。首先我们说明，如果一组点为高斯点，则与这组点对应的积分系数需要满足下面的关系。

定理 7.4 令 $\left\{w_i\right\}$ 为一组权重，$\left\{x_i\right\}$ 为一组高斯点，使得式（7．13）对所有 $2 n-1$ 次多项式均精确成立，则 $\left\{w_i\right\}$ 必须满足

$$
\begin{equation*}
w_i=\int_{-1}^1 l_i^{(n)}(x) \mathrm{d} x \tag{7.15}
\end{equation*}
$$

其中 $l_i^{(n)}(x)=\prod_{k=1, k \neq i}^n \frac{x-x_k}{x_i-x_k}$ ．

证明 注意 $l_i^{(n)}(x)$ 的阶数为 $n-1$ 阶，并记 $l_i^{(n)}\left(x_j\right)=\delta_{i j}$ ．这样一来，对于所有阶数 $m \leqslant 2 n-1$ 次的多项式，由于积分关系式（7．13）是准确的，所以有

$$
\int_{-1}^1 l_i^{(m)}(x) \mathrm{d} x=\sum_{k=1}^n w_k l_i^{(m)}\left(x_k\right)=w_i .
$$

这样就完成了证明．
定理7．4说明，在积分点确定的情况下，积分关系（7．13）中的积分系数 $\left\{w_i\right\}$ 其实就是由这些积分点 $\left\{x_i\right\}$ 所生成的 $n-1$ 阶拉格朗日插值基函数在区间 $[-1,1]$ 上的积分．在了解了积分系数与积分点之间的关系后，我们可以集中精力找高斯点。为此，定义下面的 $n$ 阶多项式函数

$$
\begin{equation*}
P_n(x)=\prod_{i=1}^n\left(x-x_i\right), \tag{7.16}
\end{equation*}
$$

其中 $\left\{x_i\right\}$ 是高斯点，并且我们假定它们是互不相同的，所以 $P_n(x)$ 有 $n$ 个根．

令 $Q(x)$ 为阶数不超过 $n-1$ 的任意次多项式，则乘积 $P_n Q$ 的阶数不超过 $2 n-1$ 。这表示高斯积分关系应该准确地成立，即

$$
\int_{-1}^1 P_n(x) Q(x) \mathrm{d} x=\sum_{i=1}^n w_i P_n\left(x_i\right) Q\left(x_i\right) .
$$

由 $P_n(x)$ 的构造意味着 $P_n\left(x_i\right)=0$ ，因此，我们有

$$
\int_{-1}^1 P_n(x) Q(x) \mathrm{d} x=\sum_{i=1}^n w_i P_n\left(x_i\right) Q\left(x_i\right)=0 .
$$

对所有阶数为 $n-1$ 的多项式 $Q(x)$ 都成立．
上式积分等于零意味着多项式 $P_n(x)$ 与 $Q(x)$ 正交，由于 $Q(x)$ 的任意性，我们得到 $P_n(x)$ 是正交多项式。于是我们可以得出高斯点 $\left\{x_i\right\}$ 其实就是给定区间上正交多项式族的根。很明显，利用前面关于正交多项式的讨论，在区间 $[-1,1]$ 上我们自然可以利用勒让德多项式的根作为高斯积分的积分点．于是我们有如下结果．

定理 7.5 （高斯积分的构造）对于 $2 n-1$ 次多项式，存在一个高斯点集 $\left\{x_i\right\}$ 和权重 $\left\{w_i\right\}$ ，权重由（7．15）给出，使得（7．13）对于所有不超过 $2 n-1$ 次多项式均成立。

证明 我们首先将高斯点集 $\left\{x_i\right\}$ 定义为正交多项式族的根。令 $P(x)$ 为不超过 $2 n-1$ 次的任意多项式．注意，我们可以将 $P(x)$ 写为

$$
P(x)=P_n(x) Q(x)+R(x),
$$

其中 $Q(x)$ 和 $R(x)$ 为不超过 $n-1$ 次的多项式，$P_n(x)$ 为（7．16）中定义的 $n$ 阶多项式．因此我们有

$$
R(x)=\sum_{i=1}^n R\left(x_i\right) l_i^{(n)}(x)
$$

另外，由于 $P_n\left(x_i\right)=0$ ，意味着 $P\left(x_i\right)=R_n\left(x_i\right)$ 。于是我们有

$$
\begin{aligned}
\int_{-1}^1 P(x) \mathrm{d} x & =\int_{-1}^1\left(P_n(x) Q(x)+R(x)\right) \mathrm{d} x \\
& =\int_{-1}^1 P_n(x) Q(x) \mathrm{d} x+\int_{-1}^1 R(x) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$

根据 $P_n(x)$ 的正交性，上式积分的第一项为零。因此，

$$
\begin{aligned}
\int_{-1}^1 P(x) \mathrm{d} x & =\int_{-1}^1 R(x) \mathrm{d} x=\int_{-1}^1 \sum_{i=1}^n R\left(x_i\right) l_i^{(n)}(x) \mathrm{d} x \\
& =\sum_{i=1}^n R\left(x_i\right) \int_{-1}^1 l_i^{(n)}(x) \mathrm{d} x=\sum_{i=1}^n R\left(x_i\right) w_i \\
& =\sum_{i=1}^n P\left(x_i\right) w_i .
\end{aligned}
$$

这样一来，我们证明了积分关系（7．13）对于阶数不超过 $2 n-1$ 次的任意多项式是精确的。这样就完成了证明．

下面我们分析一下高斯积分的误差．通过前面的讨论，我们可以看出高斯积分的精度来自其能够很好地近似高次多项式的能力。

设 $G_n$ 是要被精确地积分的阶数不超过 $2 n-1$ 次的多项式近似值。令 $P_{2 n-1}(x)$ 为任意阶数不超过 $2 n-1$ 次的多项式．然后，

$$
\begin{equation*}
I(f)-G_n(f)=I\left(P_{2 n-1}\right)+I\left(f-P_{2 n-1}\right)-G_n\left(P_{2 n-1}\right)-G_n\left(f-P_{2 n-1}\right) . \tag{7.17}
\end{equation*}
$$

由于高斯积分关系对于 $P_{2 n-1}(x)$ 时是精确的，因此，

$$
I\left(P_{2 n-1}\right)-G_n\left(P_{2 n-1}\right)=0 .
$$

这样（7．17）变成

$$
\begin{equation*}
I(f)-G_n(f)=I\left(f-P_{2 n+1}\right)-G_n\left(f-P_{2 n+1}\right) . \tag{7.18}
\end{equation*}
$$

利用埃尔米特插值多项式的特点，通过一些计算，我们可以得到下面的误差公式

$$
\begin{equation*}
I(f)-G_n(f)=\frac{2^{2 n+1}(n!)^4}{(2 n+1)[(2 n)!]^3} f^{(2 n)}\left(\eta_n\right) . \tag{7.19}
\end{equation*}
$$

由于分子和分母中的阶乘效应，这种衰减的速度有多快目前尚不明显。因此，利用斯特林（Stirling）公式．我们有

$$
n!=c_n \sqrt{n}(n / \mathrm{e})^n, \quad(2 n)!=c_{2 n} \sqrt{2 n}(2 n / \mathrm{e})^{2 n},
$$

其中 $c_n, c_{2 n}$ 均为常数．于是

$$
\frac{2^{2 n+1}(n!)^4}{(2 n+1)[(2 n)!]^3}=\frac{2^{2 n+1} c_n^4 n^2(n / \mathrm{e})^{4 n}}{(2 n+1) c_{2 n}^3(2 n)^{3 / 2}(2 n / \mathrm{e})^{6 n}}=K_n \frac{\sqrt{n}}{n+\frac{1}{2}}\left(\frac{\mathrm{e}}{16 n}\right)^{2 n}
$$

其中 $K_n=\frac{c_n^4}{2^{3 / 2} c_{2 n}^3}$ 在 0.7 和 1.04 之间．此估算值表明只要被积函数足够平滑，误差就会随着 $n$ 呈指数下降．例如，我们注意到对于 $n=16$ ，有

$$
\frac{2^{2 n+1}(n!)^4}{(2 n+1)[(2 n)!]^3}=K_n \frac{\sqrt{n}}{n+\frac{1}{2}}\left(\frac{\mathrm{e}}{16 n}\right)^{2 n}=K_n \times 1.653181657 \times 10^{-64}
$$

这解释了高斯积分的快速收敛。因此，高斯求积的误差等于多项式积分误差的近似值，这适用于阶数不超过 $2 n-1$ 次的多项式．区间 $[-1,1]$ 上常见的 2 点和 3 点高斯积分点和积分系数如表 7．6．

![图片](/uploads/2026-06/edf58b.jpg)
 
 7．3．2 其他区间隔和其他公式
对于通常的积分，其积分区间可能不在区间 $[-1,1]$ 上，我们可以应用简单的变量代换来将 $[a, b]$ 上的任何积分重写为 $[-1,1]$ 上的积分．比如我们可以采取如下的变量代换，从而可以将 $[a, b]$ 上积分变化为

$$
\int_a^b g(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}(b-a) \int_{-1}^1 g\left(a+\frac{1}{2}(b-a)(z+1)\right) \mathrm{d} z=\int_{-1}^1 f(z) \mathrm{d} z .
$$

虽然由于变量变化中的 $(b-a) / 2$ 会影响误差估计，但是采取和前面类似的分析方法，我们还是可以得到

$$
I(f)-G_n(f)=\frac{(b-a)^{2 n+1}(n!)^4}{(2 n+1)[(2 n)!]^3} f^{(2 n)}\left(\eta_n\right)
$$

例 7.6 假设我们要利用高斯积分来计算下面的积分：

$$
I(f)=\int_1^2 x \ln x \mathrm{~d} x=0.6362943610
$$

利用线性变换，我们得到

$$
x=1+\frac{1}{2}(z+1) .
$$

为了简单起见，我们将新的被积函数定义为

$$
F(z)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}(z+1)\right) \ln \left(1+\frac{1}{2}(z+1)\right) .
$$

然后就可以非常简单地计算 $n=2$ 高斯积分逼近

$$
G_2(F)=w_1 F\left(x_1\right)+w_2 F\left(x_2\right)=0.6361494997 .
$$

上面的积分公式是基于勒让德正交多项式族的，所以通常称为高斯－勒让德 （Gauss－Legendre）积分公式．除了上面的积分公式，我们也可以利用其他函数来建立高斯型的积分公式。实际上，任何正交多项式族都可以作为＂模板＂来生成高斯积分关系。
定理7．6（通用高斯积分）令 $w(x) \geqslant 0$ 是区间 $[a, b]$ 上的权重函数，并且令 $\phi_n(x)$是与此权重函数和区间有关的正交多项式族。定义积分关系为

$$
G_n(f)=\sum_{i=1}^n w_i f\left(x_i\right) .
$$

对于 $\phi_n(x)$ 的根为 $\left\{x_i\right\}$ ，令 $\left\{w_i\right\}$ 由下式定义：

$$
w_i=\int_a^b w(x)\left(\prod_{k=1}^n \frac{x-x_k}{x_i-x_k}\right) \mathrm{d} x
$$

那么 $G_n(P(x))$ 对于所有 $2 n-1$ 阶多项式都是精确的，并且存在 $\xi_n \in[a, b]$ 使得

$$
\int_a^b w(x) f(x) \mathrm{d} x-G_n(f)=\frac{1}{(2 n)!}\left(\int_a^b \psi_n(x) \mathrm{d} x\right) f^{(2 n)}\left(\xi_n\right)
$$

对于所有 $f \in C^{2 n}([a, b])$ 均成立，其中

$$
\psi_n(x)=\prod_{k=1}^n\left(x-x_k\right)^2 .
$$

例7．7 我们可以应用定理7．6构造一些特殊的高斯积分关系，比如设

$$
I(f)=\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} f(x) \mathrm{d} x
$$

这里的权重函数为 $w(x)=\mathrm{e}^{-x}$ ，因此我们需要构造与该权函数相应的正交多项式族．比如在区间 $[0, \infty)$ 上关于权函数 $w(x)=\mathrm{e}^{-x}$ 几个低次的正交基函数为
$$
L_0(x) \equiv 1, \quad L_1(x)=-x+1, \quad L_2(x)=\frac{1}{2}\left(x^2-4 x+2\right) .
$$

为了比较容易处理，我们仅构造 $n=2$ 的积分关系。令 $L_2(x)=\frac{1}{2}\left(x^2-4 x+2\right)=0$ 。我们可以得到对应的高斯点是

$$
x_1=2-\sqrt{2}=0.5857864376, \quad x_2=2+\sqrt{2}=3.414213562 .
$$

相应的权重是

$$
\begin{aligned}
& w_1=\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x}\left(\frac{x-x_2}{x_1-x_2}\right) \mathrm{d} x=\frac{1}{4}(2+\sqrt{2})=0.8535533906, \\
& w_2=\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x}\left(\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\right) \mathrm{d} x=\frac{1}{4}(2-\sqrt{2})=0.1464466094 .
\end{aligned}
$$

这样一来，我们可以通过上述公式来进行数值积分．对于两点的高斯积分公式，同样具有 3 阶的代数精度．
下面我们看一个具体计算例子．求下面的积分 $\int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^3 \mathrm{~d} x$ ，该积分的精确值为
6．对于这个积分，高斯－勒让德近似为

$$
\begin{aligned}
G_2(f) & =w_1 f\left(x_1\right)+w_2 f\left(x_2\right) \\
& =0.8535533906 \times(0.5857864376)^3+0.1464466094 \times(3.414213562)^3 \\
& =5.9999999978 .
\end{aligned}
$$

顺便说一下，在 $G_2(f)$ 的计算中没有使用权重函数进行显式计算；$w(x)$ 没有出现在公式中，仅出现在 $f(x)$ 中．

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