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线性多步法

8.4 线性多步法

前面介绍的方法，统称为单步法，就是在计算 $y_{n+1}$ 时，只用到前面一步 $y_n$ 的值．本节我们将介绍利用前边已经算出来的若干个值 $y_{n-k}, y_{n-k+1}, \cdots, y_{n-1}, y_n$ 来求得 $y_{n+1}$的高精度公式一一线性多步方法．下面我们来看一种比较简单的方法．

如果初值问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime}=f(x, y), \\
y\left(x_0\right)=y_0
\end{array}\right.
$$

与积分方程

$$
\begin{equation*}
y\left(x_{n+1}\right)=y\left(x_n\right)+\int_{x_n}^{x_{n+1}} f(x, y(x)) \mathrm{d} x, \quad n=0,1,2, \cdots \tag{8.37}
\end{equation*}
$$

等价，则我们可以用一个插值多项式 $P(x)$ 来代替（8．37）中的被积函数 $f(x, y)$ ，然后用数值积分方法

$$
\begin{equation*}
y_{n+1}=y_n+\int_{x_n}^{k_{n+1}} P(x) \mathrm{d} x \tag{8.38}
\end{equation*}
$$

代替式（8．37）进行计算．由于选取不同的数值积分（或不同的插值多项式），就会得出不同的数值解法，所以我们可以得到类型比较丰富的数值微分方法。比如，若选择单点积分（常数函数），我们可以得到左矩形公式、右矩形公式、中点公式等，若选择两点积分关系（线性函数），则可以得到梯形公式或预估校正公式等。

这里我们讨论另一类叫亚当斯（Adams）方法，它包含一组显式方法和一组隐式方法。显式方法是亚当斯－巴什福斯（Adams－Bashforth）方法，隐式方法是亚当斯－莫尔顿（Adams－Moulton）方法。为方便起见，在不引起混淆的情况下，后面将亚当斯－巴什福斯方法直接叫亚当斯显式公式，而把亚当斯－莫尔顿方法叫亚当斯隐式公式．

8．4．1 亚当斯显式公式
对关系式（8．37），假设在点 $x_{n-k}, k=0,1,2, \cdots, p$ ，有精确解 $y\left(x_{n-k}\right)$ ，我们可以构造一个 $p$ 次拉格朗日插值多项式 $P(x)$ 来近似 $f(x, y)$ 。比如取基函数为

$$
\begin{equation*}
L_k(x)=\prod_{i=0, i \neq k}^p \frac{x-x_{n-i}}{x_{n-k}-x_{n-i}} . \tag{8.39}
\end{equation*}
$$

然后令

$$
P(x)=\sum_{k=0}^p L_k(x) f\left(x_{n-k}, y\left(x_{n-k}\right)\right),
$$

则积分关系（8．37）可由式（8．38）来近似，即

$$
\begin{equation*}
y\left(x_{n+1}\right)=y\left(x_n\right)+\int_{x_n}^{x_{n+1}} \sum_{k=0}^p L_k(x) f\left(x_{n-k}, y\left(x_{n-k}\right)\right) \mathrm{d} x+R_p\left(x_{n+1}\right), \tag{8.40}
\end{equation*}
$$

其中

$$
\begin{equation*}
R_p\left(x_{n+1}\right)=\int_{x_n}^{x_{n+1}} \frac{1}{(p+1)!}\left(x-x_n\right)\left(x-x_{n-1}\right) \cdots\left(x-x_{n-p}\right) y^{(p+2)}\left(\theta_{h, x}\right) \mathrm{d} x . \tag{8.41}
\end{equation*}
$$

假设 $y^{(p+2)}(x)$ 在区间 $\left[x_n, x_{n+1}\right]$ 上连续，则存在一个数 $\xi_n$ ，使得

$$
R_p\left(x_{n+1}\right)=y^{(p+2)}\left(\xi_n\right) \int_{x_n}^{x_{n+1}} \frac{1}{(p+1)!}\left(x-x_n\right)\left(x-x_{n-1}\right) \cdots\left(x-x_{n-p}\right) \mathrm{d} x
$$

若令

$$
r_p=\int_{x_n}^{x_{n+1}} \frac{1}{(p+1)!}\left(x-x_n\right)\left(x-x_{n-1}\right) \cdots\left(x-x_{n-p}\right) \mathrm{d} x,
$$

则式（8．41）可记为 $R_p\left(x_{n+1}\right)=r_p y^{(p+2)}\left(\xi_n\right)$ ．
这样一来，表达式（8．40）可以简化为

$$
y\left(x_{n+1}\right)=y\left(x_n\right)+\sum_{k=0}^p \lambda_k f\left(x_{n-k}, y\left(x_{n-k}\right)\right)+r_p y^{(p+2)}\left(\xi_n\right)
$$

其中

$$
\lambda_k=\int_{x_n}^{x_{n+1}} L_k(x) \mathrm{d} x
$$

通过去除残差项并将 $y\left(x_n\right)$ 置为近似值 $y_n$ ，我们得到如下的数值方法

$$
y_{n+1}=y_n+\sum_{k=0}^p \lambda_k f\left(t_{n-k}, y_{n-k}\right)
$$

该方法即为 $p+1$ 阶的亚当斯－巴什福斯方法．为简单起见，一般记 $f_{n-k}=f\left(t_{n-k}, y_{n-k}\right)$ ．
如果采取间距为 $h$ 的等距节点网格，则系数 $\lambda_k, R_p$ 的公式可以简化，如表 8.4所示．

![图片](/uploads/2026-06/cabab2.jpg)
 
 表8．4中这些方法都是显式方法，使用 $p+1$ 个节点，具有 $p+1$ 阶精度．例如实践中二阶显式方法常写为

$$
\begin{equation*}
y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}\left(3 f_n-f_{n-1}\right) . \tag{8.42}
\end{equation*}
$$

三阶方法为
$$
\begin{equation*}
y_{n+1}=y_n+\frac{h}{12}\left(23 f_n-16 f_{n-1}+5 f_{n-2}\right) \tag{8.43}
\end{equation*}
$$

四阶方法为

$$
\begin{equation*}
y_{n+1}=y_n+\frac{h}{24}\left(55 f_n-59 f_{n-1}+37 f_{n-2}-9 f_{n-3}\right) \tag{8.44}
\end{equation*}
$$

8．4．2 亚当斯隐式公式
和亚当斯－巴什福斯方法（显式）的推导过程类似，亚当斯－莫尔顿方法（隐式）采用节点 $x_n, x_{n-1}, \cdots, x_{n-p}$ 来定义的插值多项式 $P(x)$ 。如果我们使用相同数量的节点，但包括节点 $x=x_{n+1}$ ，则（8．40）变为

$$
y\left(x_{n+1}\right)=y\left(x_n\right)+\int_{x_n}^{x_{n+1}} \sum_{k=-1}^{p-1} L_k(x) f\left(x_{n-k}, y\left(x_{n-k}\right)\right) \mathrm{d} x+R_p\left(x_{n+1}\right)
$$

其中，拉格朗日基函数可以写为

$$
L_k(x)=\prod_{i=-1, i \neq k}^{p-1} \frac{x-x_{n-i}}{x_{n-k}-x_{n-i}}
$$

和前面显式方法的推导过程一样，我们可以得到 $p+1$ 阶的亚当斯－莫尔顿方法

$$
\begin{equation*}
y_{n+1}=y_n+\sum_{k=-1}^{p-1} \gamma_k f\left(t_{n-k}, y_{n-k}\right) \tag{8.45}
\end{equation*}
$$

其中，常数由下式给出：

$$
\gamma_k=\int_{x_n}^{x_{n+1}} L_k(x) \mathrm{d} x
$$

表 8.5 给出了一些典型系数．
 
 ![图片](/uploads/2026-06/ff2b62.jpg)
 
  请注意，亚当斯－莫尔顿方法是隐式的，且 $p+1$ 步方法为 $p+1$ 阶精度．实践中二阶方法常写为
 
$$
\begin{equation*}
y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}\left(f_{n+1}+f_n\right) . \tag{8.46}
\end{equation*}
$$

四阶方法为

$$
\begin{equation*}
y_{n+1}=y_n+\frac{h}{24}\left(9 f_{n+1}+19 f_n-5 f_{n-1}+f_{n-2}\right) . \tag{8.47}
\end{equation*}
$$

从表 8.4 和表 8.5 中数据可以看出，这些方法包含了我们已经研究过的三种方法（欧拉法、后向欧拉法和梯形方法）。

例 8.8 求 $y^{\prime}=x+y, y(0)=1$ ，当 $x=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5$ 时，步长 $h=0.1$ 的数值解．

解 先用前面讲过的方法计算出开头几个值

$$
y_0=1 ; \quad y_1=1.11034 ; \quad y_2=1.24281 ; \quad y_3=1.39972 .
$$

将上述值代入式（8．47），计算得

$$
y_4=1.58364 ; \quad y_5=1.79742 .
$$

例8．9 方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime}=-y \ln y, \\
y(0)=y_0
\end{array}\right.
$$

具有精确解 $y=\mathrm{e}^{-\ln 2} \mathrm{e}^{-t}$ ．
当 $y_0=0.5$ 时，我们可用二阶和四阶亚当斯－巴什福斯方法计算．具体来讲，我们先用二阶、四阶龙格－库塔法生成初始值，再通过二阶、四阶亚当斯－巴什福斯方法进行改进．最大误差（1 范数）如表 8.6 中．由于它们是高阶方法，结果比较好．

![图片](/uploads/2026-06/a82ac7.jpg)
 
 比较显式法和隐式法的截断误差可知，在同样利用 $k+1$ 个已知值时，亚当斯隐式法的截断误差阶比显式法高一阶，因而隐式法更精确．

但隐式法（8．48）及（8．51）是隐式的，需要解方程．为了提高精度，通常流行的做法是用迭代法求解。例如可将 3 阶显式和 4 阶隐式方法联合起来交替使用

$$
\begin{gather*}
y_{n+1}^{(0)}=y_n+\frac{h}{12}\left(23 f_n-16 f_{n-1}+5 f_{n-2}\right)  \tag{8.48}\\
y_{n+1}=y_n+\frac{h}{24}\left[9 f\left(x_{n+1}, y_{n+1}^{(0)}\right)+19 f_n-5 f_{n-1}+f_{n-2}\right]
\end{gather*}
$$

第一个方程的精度为 $O\left(h^4\right)$ ，用第二个方程迭代一次精度仍达 $O\left(h^5\right)$ ．这样两个方程交替使用可达较好的效果。一般来说只要 $h$ 选得适当时，一般迭代二、三次即可得到满足精度要求的 $y_{n+1}$ 值。如果按照前面的叫法，我们可以把第一个方程称为预报方程，第二个方程称为校正方程。

例8．10 对例8．8用隐式法求解。
解 先用前面讲过的方法计算出前面几个数据

$$
y_0=1 ; \quad y_1=1.11034 ; \quad y_2=1.24281 .
$$

再用式（8．43）的第一个式子计算出 $y_3^{(0)}=1.39964$ ，最后用（8．48）的第二个式子进行迭代，得

$$
y_3=1.39972 .
$$

同样，可算出 $y_4$ 及 $y_5$ 。
此外，通常来说亚当斯隐式公式具有比亚当斯显式方法更好的稳定性．

8．4．3 有限差分法的稳定性理论
稳定性在微分方程求解过程中具有重要意义．先考虑下面的初始值问题：

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime}=-100 y, \\
y(0)=1,
\end{array}\right.
$$

此处的精确解是 $y=\mathrm{e}^{-100 x}$ ，该函数衰减比较快，我们可以用上述数值方法来得到稳定的数值解．然而对于下面的微分方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime}=100 y \\
y(0)=\frac{1}{100}
\end{array}\right.
$$

此处的精确解是 $y=-\mathrm{e}^{\frac{1}{100} x}$ ，理论上这是一个有界的、连续、光滑的函数．然而由于 $\mathrm{e}^{100 x}$ 这项的存在，因此任何近似解几乎都将取决于项 $\mathrm{e}^{100 x}$ 。这样一来，即便初始计算只存在比较小的误差，用数值方法来计算时，由于解迅速增长最终会导致大部分的数值方法都会失败．所以数值计算的稳定性和模型方程有关．

此外，对于一阶常微分方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime}=-a y, \\
y(0)=1,
\end{array}\right.
$$

其解析解为 $y=\mathrm{e}^{-a x}$ 。当 $x \rightarrow \infty$ 时，$y \rightarrow 0$ 。对于显式欧拉法而言，

$$
y_{n+1}=y_n+h f\left(t_n, y_n\right)=y_n-a h y_n=(1-a h) y_n=(1-a h)^2 y_{n-1}=\cdots=(1-a h)^{n+1} y_0,
$$

所以为了保证上式收敛，需要保证 $|1-a h|<1$ ，得 $h<a / 2$ ，即为了保证显式欧拉法的稳定性，需要保证时间步长 $h<a / 2$ ，所以欧拉显式公式是条件稳定的．

而根据欧拉隐式格式

$$
y_{n+1}=y_n+h f\left(t_{n+1}, y_{n+1}\right)=y_n-a h y_{n+1},
$$

则

$$
y_{n+1}=\frac{y_n}{1+a h}
$$

又因为 $a>0, h>0$ ，所以 $1+a h$ 恒大于 1 ．即不管时间步长为多大，隐式欧拉始终稳定，即无条件稳定。

所以从上面的例子可以看出，微分方程数值解法的稳定性和模型方程有关，也和方法有关。但是一般来说尽管稳定性是微分方程本身所固有的性质，但是我们在分析数值方法的稳定性时，还是主要以模型方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime}=-\lambda y \\
y(0)=1
\end{array}\right.
$$

来说明，可以证明一般方法的稳定性比较复杂，详细结果请参阅相关文献．

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